知識精講
知識點01 垂徑定理
1．垂徑定理
垂直于弦的直徑 這條弦，并且平分弦所對的 .
2．推論
平分弦(不是直徑)的直徑 ，并且平分弦所對的 .
【注意】
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
知識點02 垂徑定理的拓展
根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：
平分弦(該弦不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?br>弦的 經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
.
【注意】
在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑)
能力拓展
考法01 應用垂徑定理進行計算與證明
【典例1】如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為，水面寬為，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
【即學即練】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（ ）
A．（4﹣）米B．2米C．3米D．（4+）米
【典例2】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．
(1)求證：AC＝BD；
(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．
【即學即練】如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，交⊙O于點C．若⊙O的半徑為10，OM：MC＝3：2，求AB的長．
考法02 垂徑定理的綜合應用
【典例3】如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
【即學即練】工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的寬口，如果鋼珠的直徑為10mm，鋼珠上項端離零件上表面的距離為8mm，如圖，則這個零件小孔的寬口AB等于（ ）mm．
A．4B．6C．7D．8
【典例4】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
(1)求所在圓的半徑r的長；
(2)當洪水上升到跨度只有30米時，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？并說明理由．
【即學即練】如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點，以O為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點A，B和點C，D，連結OA，此時有OA∥PE．
（1）求證:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的長．
分層提分
題組A 基礎過關練
1．如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（ ）
A．3B．C．6D．
2．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（ ）
A．B．C．D．
3．小明想知道一塊扇形鐵片中的的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形按如圖方式擺放，點恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據(jù)以上操作，的拱高約是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．D．
5．下列語句中不正確的有（ ）
①長度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧；⑤半圓是圓中最長的?。虎薏辉谕粭l直線上的三個點可以確定一個圓.
A．5個B．4個C．3個D．2個
6．如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
7．如圖，在⊙O中，弦AB⊥OC于E點，C在圓上，AB＝8，CE＝2，則⊙O的半徑AO＝___________．
8．如圖，⊙O的直徑AB的長是20，弦CD⊥AB，垂足為點E， CD=16，則CE=____，BE=_____．
9．如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．
10．如圖所示，已知為⊙的直徑，是弦，且于點，連接AC、OC、BC．
（1）求證：；
（2）若，，求⊙的直徑．
題組B 能力提升練
1．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（ ）
A．2mB．4mC．6mD．8m
2．如圖，的半徑為，，經(jīng)過點的的最短弦的長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長是（ ）
A．B．C．D．8
4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結論中不成立的是（）
A．∠COE=∠DOEB．CE=DE
C．OE=BED．
5．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（ ）
A．22寸B．24寸C．26寸D．28寸
6．工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口的長度為（ ）
A．8mmB．6mmC．10mmD．0.9mm
7．如圖，M是⊙O內(nèi)一點，已知過點M的⊙O最長的弦為20cm，最短的弦長為16cm，則OM=_______cm．
8．如圖，點O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點，以OD為對角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為______．
9．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如圖EM經(jīng)過圓心交⊙O于點E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑．
10．如圖，AB是圓O的直徑，點C、D為圓O上的點，滿足：，AD交OC于點E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的長；
（2）請過點C作AB的平行線交弦AD于點F，求線段EF的長．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
2．如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（ ）
A．2B．C．D．
3．如圖，矩形ABCD是由邊長為1的五個小正方形拼成，O是第2個小正方形的中心，將矩形ABCD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形，現(xiàn)用一個最小的圓覆蓋這個圖形，則這個圓的半徑是（ ）
A．B．C．D．
4．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
5．如圖，AC是的直徑，弦于E，連接BC，過點O作于F，若，，則OE的長為（ ）
A．3B．4C．D．5
6．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在⊙O內(nèi)有折線ABCO，點A、B在圓上，點C在⊙O內(nèi)，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，則BC的長為_____.
8．如圖， 在⊙O中，AB是⊙O的直徑，，AB=8，M是AB上的一動點，CM+DM的最小值是_____________．
9．已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點C、D．
(1)求證：AC＝BD；
(2)若大圓的半徑r＝8，小圓的半徑r＝6，且圓心O到直線AB的距離為4，求AC的長．
10．已知AB是半圓O的直徑，OD⊥弦AC于D，過點O作交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC＝2，
(1)求OF的長；
(2)連接BE，若BE=，求半徑OA的長．
課程標準
（1）理解圓的對稱性；
（2）掌握垂徑定理及其推論；
（3）學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題．
第20課 垂徑定理
目標導航
知識精講
知識點01 垂徑定理
1．垂徑定理
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
2．推論
平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
【注意】
(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.
知識點02 垂徑定理的拓展
根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：
平分弦(該弦不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?br>平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.
圓的兩條平行弦所夾的弧相等.
【注意】
在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑)
能力拓展
考法01 應用垂徑定理進行計算與證明
【典例1】如圖表示一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果輸水管的半徑為，水面寬為，則水的最大深度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：如圖所示：
輸水管的半徑為，水面寬為，水的最大深度為，
，
，，
，
∴
水的最大深度為：．
故選：C．
【即學即練】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（ ）
A．（4﹣）米B．2米C．3米D．（4+）米
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)題意和圓的性質(zhì)知點C為的中點，
連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即點到弦所在直線的距離是（4﹣）米，
故選：A．
【典例2】如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點．
(1)求證：AC＝BD；
(2)連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：
則CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
【即學即練】如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥AB于點M，交⊙O于點C．若⊙O的半徑為10，OM：MC＝3：2，求AB的長．
【答案】
【詳解】解：如圖，連接OA．
∵OM：MC＝3：2，OC＝10，
∴OM＝=6．
∵OC⊥AB，
∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．
在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，
∴AM＝8．
∴AB＝2AM =16．
考法02 垂徑定理的綜合應用
【典例3】如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
【答案】B
【詳解】解：∵點D為的中點，
∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故選：B．
【即學即練】工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的寬口，如果鋼珠的直徑為10mm，鋼珠上項端離零件上表面的距離為8mm，如圖，則這個零件小孔的寬口AB等于（ ）mm．
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【詳解】連接OA，過點O作OD⊥AB于點D，
則AB=2AD，
∵鋼珠的直徑是10mm，
∴鋼珠的半徑是5mm．
∵鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故選D
【典例4】如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
(1)求所在圓的半徑r的長；
(2)當洪水上升到跨度只有30米時，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時，是否要采取緊急措施？并說明理由．
【答案】(1)34
(2)不需要采取緊急措施，見解析
【詳解】（1）解：連結OA，
由題意得：AD＝AB＝30，OD＝(r?18)，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
，
解得，r＝34．
（2）解：連結，
∵OE＝OP?PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：＝16．
∴＝32．
∵＝32＞30，
∴不需要采取緊急措施．
【即學即練】如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上的一點，以O為圓心，13為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于點A，B和點C，D，連結OA，此時有OA∥PE．
（1）求證:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的長．
【答案】（1）見解析（2）
【詳解】（1）證明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）過點O作OH⊥AB于點H，如圖，
根據(jù)垂徑定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
則OP的長為
故答案為：
分層提分
題組A 基礎過關練
1．如圖，⊙O的半徑為4，弦心距OC＝2，則弦AB的長為（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】D
【詳解】如圖所示，連接
由題意知，弦心距OC＝2，
則根據(jù)垂徑定理，有
在中，
則
根據(jù)垂徑定理可知，
故選D．
2．如圖，為的直徑，為的弦，為優(yōu)弧的中點，，垂足為，，，則的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接，延長交于點T，設的半徑為，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
故選：B．
3．小明想知道一塊扇形鐵片中的的拱高（弧的中點到弦的距離）是多少？但他沒有任何測量工具，聰明的小明觀察發(fā)現(xiàn)身旁的墻壁是由的正方形瓷磚密鋪而成（接縫忽略不計）．他將扇形按如圖方式擺放，點恰好與正方形瓷磚的頂點重合，根據(jù)以上操作，的拱高約是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖所示，通過數(shù)瓷磚的個數(shù)，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D為中點，
∴由垂徑定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高為cm，
故選D．
4．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結論不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．D．
【答案】B
【詳解】解：是的直徑，弦于點，
，， ．
故選：B．
5．下列語句中不正確的有（ ）
①長度相等的弧是等??；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.
A．5個B．4個C．3個D．2個
【答案】B
【詳解】因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；
垂直于弦的直徑平分弦說法正確；
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；
平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；
半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；
不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，
∴不正確的語句有4個，
故選：B
6．如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（ ）
A．3cmB．5cmC．6cmD．8cm
【答案】B
【詳解】解：如圖所示：過點O作OD⊥AB于點D，連接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4cm，
設OA＝r，則OD＝r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm．
∴該輸水管的半徑為5cm；
故選：B．
7．如圖，在⊙O中，弦AB⊥OC于E點，C在圓上，AB＝8，CE＝2，則⊙O的半徑AO＝___________．
【答案】5
【詳解】解：設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=OC-CE=r-2，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=AB=4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半徑長為5，
故答案為：5．
8．如圖，⊙O的直徑AB的長是20，弦CD⊥AB，垂足為點E， CD=16，則CE=____，BE=_____．
【答案】 8 4
【詳解】解：∵為直徑，弦CD⊥AB，
∴，
連接，如下圖：
由題意可得：
由勾股定理可得：
∴
故答案為：8，4
9．如圖，AB是⊙O的弦，C、D為直線AB上兩點，OC＝OD，求證：AC＝BD．
【答案】見解析
【詳解】解：證明：作OH⊥AB于H，如圖，
則AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
10．如圖所示，已知為⊙的直徑，是弦，且于點，連接AC、OC、BC．
（1）求證：；
（2）若，，求⊙的直徑．
【答案】（1）證明見解析；（2）10
【詳解】（1）證明：∵
∴
又∵為直徑，
∴，
又∵
∴，
∴
∴
（2）∵，為直徑
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
即，解得，
∴．
題組B 能力提升練
1．一個圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB＝16m，半徑OA＝10m，則高度CD的長為（ ）
A．2mB．4mC．6mD．8m
【答案】B
【詳解】∵CD垂直平分AB，
∴AD＝＝8m
∴OD＝＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝10﹣6＝4m
故選：B．
2．如圖，的半徑為，，經(jīng)過點的的最短弦的長為（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【詳解】解：如圖，過點作弦，交于點、，連接；過點作弦，交于點、，過點作，連接，
∴，，
∴在中，，
∵在和中，，
，，
∴，
∴，
∴為過點的最短弦，
∵的半徑為，，
∴在中，
，
∴，
∴經(jīng)過點的的最短弦的長為．
故選：C．
3．已知：如圖，在以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB和小圓交于點C，D，大圓的半徑是13，，，則OC的長是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【詳解】解：過點O作OE⊥AB于點E，
∵大圓和小圓的圓心都為點O，OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∵，
∴AE=BE=12，
∵OA=13，
∴，
設，
則CE=12-x，
在Rt△COE中，，
解得：，
即OC的長為，
故選：B．
4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結論中不成立的是（）
A．∠COE=∠DOEB．CE=DE
C．OE=BED．
【答案】C
【詳解】∵AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，
∴，DE=CE，，
∴B，D選項正確；
∵，
∴，
∴∠COE=∠DOE，
∴A選項正確；
只有當∠COE=60°時，才有OE=BE．
∴C選項不成立；
故選：C．
5．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸長一尺，問徑如何？”這段話的意思是：如圖，現(xiàn)有圓形木材，埋在墻壁里，不知木材大小，用鋸子將它鋸下來，深度CD為1寸，鋸長AB為1尺（10寸），問圓材直徑幾寸？則該問題中圓的直徑為（ ）
A．22寸B．24寸C．26寸D．28寸
【答案】C
【詳解】解：設圓材的圓心為O，延長CD，交于點E，連接OA，如圖所示：
由題意知：CE過點O，且，
則．
設圓形木材半徑為r，
則，．
∵，
∴，
解得 ，
即的半徑為13寸，
∴的直徑為26寸．
故選：C．
6．工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口的長度為（ ）
A．8mmB．6mmC．10mmD．0.9mm
【答案】A
【詳解】解：如圖，點O為圓心，過點O作OC⊥AB，
根據(jù)垂進定理可得：AC=BC，
∵直徑是10mm，
∴OA=5mm，OC=8-5=3mm，
在Rt△AOC中，∠OCA=90°，
∴，
∴AB=2AC=8mm，
故選：A．
7．如圖，M是⊙O內(nèi)一點，已知過點M的⊙O最長的弦為20cm，最短的弦長為16cm，則OM=_______cm．
【答案】6
【詳解】解：過點M的⊙O最長的弦就是直徑，
∴BO=10cm，
最短的弦就是垂直于直徑的弦，即BM=8cm．
所以利用勾股定理可得OM==6cm．
故答案為：6．
8．如圖，點O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點，以OD為對角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為______．
【答案】
【詳解】解：如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，
∵四邊形OCDE是正方形，
∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，
∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，
∴，
∴，
故答案為：．
9．如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，如圖EM經(jīng)過圓心交⊙O于點E，EM⊥CD，并且CD＝4cm，EM＝6cm，求⊙O的半徑．
【答案】
【詳解】解：連接OC，
∵EM過圓心，EM⊥CD，
∴CM＝CD，
∵CD＝4cm，
∴CM＝2cm，
設圓的半徑是xcm，
在Rt△COM中，OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴圓的半徑長是cm．
10．如圖，AB是圓O的直徑，點C、D為圓O上的點，滿足：，AD交OC于點E．已知OE＝3，EC＝2
（1）求弦AD的長；
（2）請過點C作AB的平行線交弦AD于點F，求線段EF的長．
【答案】（1）8；（2）
【詳解】解：（1），得CO⊥AD，AE＝DE．
在△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝3，OA＝OC＝OE＋CE＝5，
得AE＝，
所以AD＝AE＋DE＝8；
（2）由CFAB，得，
則．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（ ）
A．第一塊B．第二塊C．第三塊D．第四塊
【答案】A
【詳解】解：第一塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．
故選：A．
2．如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【詳解】連接，過點，分別作于，于，則四邊形是矩形，
，，
，
，
，
（HL），
，
則，
，
，
，
．
故選：A．
3．如圖，矩形ABCD是由邊長為1的五個小正方形拼成，O是第2個小正方形的中心，將矩形ABCD繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得矩形，現(xiàn)用一個最小的圓覆蓋這個圖形，則這個圓的半徑是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】作線段BC、的垂直平分線MH、NH，兩線的交點為H點，連接BH，如圖，
∵MH、NH為線段BC、的垂直平分線，
∴BM=BC=，==，
∴HM=-1=，
∴，
故選：C．
4．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】D
【詳解】解：連接，過點作于點，如圖所示，
則，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故選：D
5．如圖，AC是的直徑，弦于E，連接BC，過點O作于F，若，，則OE的長為（ ）
A．3B．4C．D．5
【答案】A
【詳解】解：連接OB、AB，
中
故選：A．
6．如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，作BE⊥AD于E， OF⊥CB于F，連接OB，
在等腰梯形ABCD中，
∵OF⊥CB，
∴BF＝BC＝1，
∴OE＝1，
設AE＝x，
∵OA、OB是⊙O的半徑，
∴OB＝OA＝x+1，
由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，
整理得2x2+2x﹣1＝0，
解得或（不合題意，舍去）
∴OA＝AE+OE＝+1＝．
故選：A．
7．如圖，在⊙O內(nèi)有折線ABCO，點A、B在圓上，點C在⊙O內(nèi)，其中AB=9，OC=3，∠B=∠C=60°，則BC的長為_____.
【答案】6
【詳解】延長CO交AB于點D，過點O作OE⊥AB垂足為E，
因為∠B=∠C=60°，
所以∠BDC=60°，
所以△BDC是等邊三角形，
所以BC=BD=CD，∠DOE=30°．
因為OE⊥AB，AB=9，
所以BE=AE=4.5．
設OD=x，OC=3
所以DE= ，BD=4.5+，CD=OC+DO=x+3，
所以4.5+=x+3，
解得x=3，
所以BC=CD=OC+OD=3+3=6，
故答案為：6．
8．如圖， 在⊙O中，AB是⊙O的直徑，，AB=8，M是AB上的一動點，CM+DM的最小值是_____________．
【答案】8
【詳解】解：如圖，作點C關于AB的對稱點，連接D與AB相交于點M，則CM＝M，
此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，
由垂徑定理，，
∴，
∵，AB為直徑，
∴D為直徑，
即CM+DM=D＝AB，
∵AB=8，
∴CM+DM的最小值是8．
故答案為：8．
9．已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于點C、D．
(1)求證：AC＝BD；
(2)若大圓的半徑r＝8，小圓的半徑r＝6，且圓心O到直線AB的距離為4，求AC的長．
【答案】(1)見解析
(2)AC＝
【詳解】（1）證明：作OE⊥AB，則AE＝BE，CE＝DE，
故BE﹣DE＝AE﹣CE；
即AC＝BD；
（2）解：連接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE＝4，CE＝DE，
∴DE＝CE＝＝＝2，
AE＝＝＝4，
∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2．
10．已知AB是半圓O的直徑，OD⊥弦AC于D，過點O作交半圓O于點E，過點E作EF⊥AB于F．若AC＝2，
(1)求OF的長；
(2)連接BE，若BE=，求半徑OA的長．
【答案】(1)OF＝1
(2)半徑為3
【詳解】（1）解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
∵在△ADO和△OFE中，，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1．
（2）解：設OA=OB=OE= x，則：BF=OB-OF=x-1，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠OFE＝90°，
∴，
∴，
解得：，（舍去）
∴半徑OA=3．
課程標準
（1）理解圓的對稱性；
（2）掌握垂徑定理及其推論；
（3）學會運用垂徑定理及其推論解決有關的計算、證明和作圖問題．

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