人教版九年級數(shù)學上冊同步精品講義第28課概率的計算（原卷版+解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

知識精講
知識點01 古典概型
滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.
(1)一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是；
(2)一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的 .
古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.
【注意】
如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)= .
知識點02 用列舉法求概率
常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.
1．列表法：
當一次試驗要涉及，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.
【注意】
(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；
(2)列表法適用于涉及的隨機事件發(fā)生的概率.
2．樹形圖：當一次試驗要涉及時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.
樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.
【注意】
(1) 樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；
(2)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性 .
知識點03 利用頻率估計概率
當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.
【注意】
用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能，當試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.
能力拓展
考法01 用列舉法求概率
【典例1】某校組織了一場英語演講比賽，有名女生和名男生獲得學校一等獎，現(xiàn)準備從這名獲獎選手中選出名學生，代表學校參加市里組織的英語演講比賽，最后選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是( )
A．B．C．D．
【典例2】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“美”、“麗”、“油”、“城”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率（）
A．B．C．D．
【典例3】有4條線段長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）
A．B．C．D．1
【典例4】第十四屆全國運動會會徽吉祥物發(fā)布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的設(shè)計方案是以陜西秦嶺獨有的四種國寶級動物“朱鹮、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創(chuàng)意原型．小明和小彬各從四個吉祥物中選擇一個制作成繪畫作品，參與學校舉辦的繪畫展，則他們選中“朱朱”和“金金”的概率為（）
A．B．C．D．
考法02 利用頻率估計概率
【典例5】在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和15個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋中白球約有（）
A．5個B．10個C．15個D．25個
【典例6】某實驗小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機出的是“石頭”
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽取一張牌的花色是方塊
C．布袋中有1個紅球和2個黃球，它們只是顏色上有區(qū)別，從中任取一球是黃球
D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的點數(shù)是4
【典例7】一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的球，其中有6個白球m個籃球，每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色然后再放回盒子里，通過如此大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則m的值約為（）
A．4B．6C．9D．12
【典例8】如圖，小紅在一張長為6m，寬為5m的長方形紙上畫了一個老虎圖案，他想知道該圖案的面積大小，于是想了這樣一個辦法，朝長方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形紙外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果整理成統(tǒng)計表，由此他估計此圖案的面積大約為（）
A．B．C．D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）
A．B．C．D．
2．我縣將面向全縣中小學開展“中小學誦讀”比賽，某中學要從2名男生，2名女生中選派2名學生參賽，則選派的學生中，恰好為1名男生1名女生的概率為（）
A．B．C．D．
3．小亮3分鐘共投籃80次，進了64個球，則小亮進球的頻率是（）
A．80B．64C．1.2D．0.8
4．小明和同學做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗”獲得的數(shù)據(jù)如下表，若拋擲硬幣的次數(shù)為1000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（）
A．200B．300C．500D．800
5．垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用，減少了對環(huán)境的危害．王老師教上幼兒園的兒子學習垃圾分類，將一個飲料瓶和一個用過的電池交給兒子，調(diào)皮的兒子將兩件垃圾隨意投放到兩個不同的垃圾桶中，他投放正確的概率只有（）
A．B．C．D．
6．某城市啟動“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對這種樹苗進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：
估計樹苗移植成活的概率是（）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）
A．0.81B．0.8C．0.9D．無法計算
7．一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是1，個位數(shù)字是拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1-6）朝上一面的數(shù)字．任意拋擲這枚骰子一次，得到的兩位數(shù)是4的倍數(shù)概率等于______．
8．烏魯木齊市林業(yè)局要考察一種樹苗移植的成活率，對該市這種樹苗移植成活情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，估計該樹苗成活的概率為____________．
9．2021年我省開始實施“”高考新方案，其中語文、數(shù)學、外語三門為統(tǒng)考科目（必考），物理和歷史兩個科目中任選1門，另外在思想政治、地理、化學、生物四門科目中任選2門，共計6門科目，總分750分，假設(shè)小麗在選擇科目時不考慮主觀性．請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析小麗在思想政治（A）、地理（B）、化學（C）、生物（D）四門科目中任選2門選到化學（C）、生物（D）的概率．
10．“一方有難，八方支援”．2020年初，武漢發(fā)現(xiàn)多起新冠肺炎病例，牽動著全國人民的心，威寧縣人民醫(yī)院準備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和、兩名護士中選取一位醫(yī)生和一名護士支援武漢參與疫情防控救援工作．
(1)若隨機選一位醫(yī)生和一名護士，用樹狀圖（或列表法）表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．
(2)求恰好選中醫(yī)生甲和護士的概率．
題組B 能力提升練
1．現(xiàn)有5盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期．隨機抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
2．穎穎從家去體育館需要經(jīng)過兩個紅綠燈，如果每個紅綠燈可直接通過和需等待的概率相同，那么穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的概率是（）
A．B．C．D．
3．把分別畫有“冰墩墩”、“雪融融”的兩張形狀、大小相同的圖片，全部從中間剪成相同的兩段，再把這四張形狀相同的小圖片混合在一起，從這四張圖片中隨機抽出兩張，則這兩張小圖片恰好能組成一張完整的“冰墩墩”或“雪融融”圖片的概率為（）
A．B．C．D．
4．只有顏色不同的個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則袋中紅球與白球共有( )
A．個B．個C．個D．個
5．不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別．把“從袋子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回搖勻，再進行下一次試驗．試驗數(shù)據(jù)顯示：大量重復試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于0.2，則下列對于袋子中球的數(shù)量的估計，最合理的是（）
A．紅球有2個B．黃球有10個
C．黃球的數(shù)量是紅球的4倍D．黃球和紅球的數(shù)量相等
6．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小時隨機出的是“剪刀”
B．袋子中有1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球
C．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是偶數(shù)
D．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃
7．4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0，，，2022，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的概率為___．
8．對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：
根據(jù)上表，估計任抽一件襯衣是合格品的概率是___________．（保留小數(shù)點后兩位）
9．一袋中裝有形狀大小都相同的四個小球，每個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1，3，4，7，現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的個位數(shù)；然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的十位數(shù)．
(1)寫出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù)；
(2)從這些兩位數(shù)中任取一個，求其算術(shù)平方根大于5且小于8的概率．
10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
(1)根據(jù)上表估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約為______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
(2)小明想了解該運動員連續(xù)兩次射擊都“射中九環(huán)以上”的概率，他將這個問題進行了簡化，制作了三張不透明卡片，其中兩張卡片的正面寫有“中”，第三張卡片的正面寫有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄文字后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．將分別標有“文”“明”“寧“安”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率是（）
A．B．C．D．
2．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（）
A．B．C．D．
3．如圖①為三等分的圓形轉(zhuǎn)盤，圖②為裝有小球（小球除顏色不同外，其他均相同）的不透明口袋，隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，然后再從不透明的口袋中隨機摸出一個球，則指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色的概率是（）
A．B．C．D．
4．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為（）
A．B．C．D．
5．在一個不透明的盒子中裝有a個黑白顏色的球，小明又放入了5個紅球，這些球大小相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為（）
A．15B．20C．25D．30
6．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，下列表達正確的是（）
A．的值一定是
B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近
D．隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性
7．某疫苗接種點有北京生物，科興中維，武漢生物三個廠家可供市民隨機選擇，若張先生和李小姐對這三種疫苗都不了解，那么張先生和李小姐選擇同一廠家的概率為_______．
8．在一個不透明的袋子里裝有4張數(shù)字卡片，數(shù)字分別是1，-3，0，2，它們除數(shù)字外其他均相同．充分搖勻后，先摸出1張不放回，再摸出1張．如果把第一次摸出的數(shù)字作為橫坐標，第二次摸出的數(shù)字作為縱坐標，那么組成的點在坐標軸上的概率是____________．
9．有3張背面相同的紙牌，，，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．
(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；
(2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用，，表示）
10．下面是某學校生物興趣小組在相同的實驗條件下，對某植物種子發(fā)芽率進行研究時所得到的數(shù)據(jù)：
(1)求表中，的值；
(2)任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率約是多少？（精確到0.01）
(3)若該學校勞動基地需要這種植物幼苗7600棵，試估算需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育．
課程標準
（1）通過具體情境了解概率的意義，體會概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學模型，理解概率的取值范圍的意義，能夠運用列舉法(包括列表、畫樹形圖)計算簡單事件發(fā)生的概率；
（2）能夠通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.
試驗次數(shù)m
60
120
180
240
300
360
420
480
小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)n
22
38
65
83
102
126
151
168
小球落在圖案內(nèi)的頻率
0.37
0.32
0.36
0.35
0.34
0.35
0.36
0.35
拋擲次數(shù)
100
200
300
400
500
正面朝上的頻數(shù)
53
98
156
202
244
移植總數(shù)
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活數(shù)量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活頻率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
抽取件數(shù)（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格頻數(shù)
42
88
131
176
445
724
901
合格頻率
0.84
0.88
0.87
0.88
0.89
0.91
0.90
射擊次數(shù)
20
80
100
200
400
800
1000
1500
“射中九環(huán)以上”的頻數(shù)
15
49
71
137
264
534
666
1001
“射中九環(huán)以上”的頻率
0.750
0.613
0.710
0.685
0.660
0.668
0.666
0.667
試驗的種子數(shù)n
500
1000
1500
2000
3000
4000
發(fā)芽的粒數(shù)m
471
946
1425
1898
2853
3812
發(fā)芽頻率
0.942
0.946
0.949
0.953
第28課概率求解的多種類型
目標導航
知識精講
知識點01 古典概型
滿足下列兩個特點的概率問題稱為古典概型.
(1)一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的；
(2)一次試驗中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等的.
古典概型可以從事件所包含的各種可能的結(jié)果在全部可能的試驗結(jié)果中所占的比例分析事件的概率.
【注意】
如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=.
知識點02 用列舉法求概率
常用的列舉法有兩種：列表法和樹形圖法.
1．列表法：
當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.
【注意】
(1)列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；
(2)列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.
2．樹形圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖.
樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.
【注意】
(1) 樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；
(2)在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.
知識點03 利用頻率估計概率
當試驗的可能結(jié)果不是有限個，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.
【注意】
用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應(yīng)盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結(jié)果將較為精確.
能力拓展
考法01 用列舉法求概率
【典例1】某校組織了一場英語演講比賽，有名女生和名男生獲得學校一等獎，現(xiàn)準備從這名獲獎選手中選出名學生，代表學校參加市里組織的英語演講比賽，最后選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意畫出樹狀圖，
由樹狀圖可知：所有等可能的結(jié)果共有種，選出的結(jié)果是“一男一女”的情況有種，
所以選出的結(jié)果是“一男一女”的概率是，
故選：C．
【典例2】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“美”、“麗”、“油”、“城”的四個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的結(jié)果數(shù)為2，
所以取出的兩個球上的漢字能組成“美城”的概率，
故選：C．
【典例3】有4條線段長度分別為2cm，3cm，4cm，5cm，從中任意取三條線段能組成三角形的概率是（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【詳解】解：共有2、4、5；2、3、4；3、4、5；2、3、5；4種情況，其中2、3、5這種情況不能組成三角形，即能組成三角形的有3種，
所以P（任取三條，能構(gòu)成三角形）＝．
故選：A．
【典例4】第十四屆全國運動會會徽吉祥物發(fā)布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的設(shè)計方案是以陜西秦嶺獨有的四種國寶級動物“朱鹮、大熊貓、羚牛、金絲猴”為創(chuàng)意原型．小明和小彬各從四個吉祥物中選擇一個制作成繪畫作品，參與學校舉辦的繪畫展，則他們選中“朱朱”和“金金”的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的結(jié)果有2種，
∴小明和小彬選中“朱朱”和“金金”的概率為，
故選：C．
考法02 利用頻率估計概率
【典例5】在一個不透明的盒子里裝有若干個白球和15個紅球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋中白球約有（）
A．5個B．10個C．15個D．25個
【答案】B
【詳解】解：經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，
摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
袋中裝有若干個白球和15個紅球，
袋中球的總數(shù)為：，
袋中白球約有：（個，
故選：B．
【典例6】某實驗小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機出的是“石頭”
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽取一張牌的花色是方塊
C．布袋中有1個紅球和2個黃球，它們只是顏色上有區(qū)別，從中任取一球是黃球
D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的點數(shù)是4
【答案】D
【詳解】解：A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小剛隨機出的是“剪刀”的概率是，不符合題意；
B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是，不符合題意；
C．布袋中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是紅球的概率是，不符合題意；
D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4的概率是，符合題意；
故選：D．
【典例7】一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的球，其中有6個白球m個籃球，每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色然后再放回盒子里，通過如此大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則m的值約為（）
A．4B．6C．9D．12
【答案】C
【詳解】解：由題意可得，
，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
故選：C．
【典例8】如圖，小紅在一張長為6m，寬為5m的長方形紙上畫了一個老虎圖案，他想知道該圖案的面積大小，于是想了這樣一個辦法，朝長方形的紙上扔小球，并記錄小球落在老虎圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形紙外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果整理成統(tǒng)計表，由此他估計此圖案的面積大約為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)老虎圖案的面積為，由已知條件，可知長方形紙張的面積為，
根據(jù)幾何概率公式，小球落在老虎圖案上的概率為，
當事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率的估計值，
小球落在老虎圖案上的概率大約為0.35，
所以，解得．
故選：B．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：把“5G時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題的結(jié)果有3種，
∴小明和小剛恰好選擇同一個主題的概率為．
故選：C．
2．我縣將面向全縣中小學開展“中小學誦讀”比賽，某中學要從2名男生，2名女生中選派2名學生參賽，則選派的學生中，恰好為1名男生1名女生的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：
共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中“一男一女”的有8種，
∴ P （一男一女）= ．
故選：A．
3．小亮3分鐘共投籃80次，進了64個球，則小亮進球的頻率是（）
A．80B．64C．1.2D．0.8
【答案】D
【詳解】解：∵小亮共投籃80次，進了64個球，
∴小明進球的頻率為：64÷80=0.8．
故選：D．
4．小明和同學做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗”獲得的數(shù)據(jù)如下表，若拋擲硬幣的次數(shù)為1000，則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（）
A．200B．300C．500D．800
【答案】C
【詳解】解：觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增加，正面朝上的頻率逐漸穩(wěn)定到附近，
∴當拋擲硬幣的次數(shù)為1000時，“正面朝上”的頻數(shù)最接近次．
故選：C．
5．垃圾分類可以把有用的垃圾回收再利用，減少了對環(huán)境的危害．王老師教上幼兒園的兒子學習垃圾分類，將一個飲料瓶和一個用過的電池交給兒子，調(diào)皮的兒子將兩件垃圾隨意投放到兩個不同的垃圾桶中，他投放正確的概率只有（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，樹狀圖如下：
∴調(diào)皮的兒子將兩件垃圾隨意投放到兩個不同的垃圾桶中，共有12種情況，其中投放正確的情況有一種
∴他投放正確的概率只有
故選：C．
6．某城市啟動“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對這種樹苗進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：
估計樹苗移植成活的概率是（）（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）
A．0.81B．0.8C．0.9D．無法計算
【答案】C
【詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可以估計樹苗移植成活的概率是0.9，
故選：C．
7．一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是1，個位數(shù)字是拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個面分別標有數(shù)字1-6）朝上一面的數(shù)字．任意拋擲這枚骰子一次，得到的兩位數(shù)是4的倍數(shù)概率等于______．
【答案】
【詳解】解：根據(jù)題意，得到的兩位數(shù)有11、12、13、14、15、16這6種等可能結(jié)果，其中兩位數(shù)是4的倍數(shù)有12、16這2種結(jié)果，
∴得到的兩位數(shù)是4的倍數(shù)的概率等于；
故答案為：．
8．烏魯木齊市林業(yè)局要考察一種樹苗移植的成活率，對該市這種樹苗移植成活情況進行了調(diào)查統(tǒng)計，并繪制了統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，估計該樹苗成活的概率為____________．
【答案】0.9
【詳解】解：由統(tǒng)計圖可知，該樹苗成活的頻率在0.9附近擺動，
∴估計該樹苗成活的概率為0.9，
故答案為：0.9．
9．2021年我省開始實施“”高考新方案，其中語文、數(shù)學、外語三門為統(tǒng)考科目（必考），物理和歷史兩個科目中任選1門，另外在思想政治、地理、化學、生物四門科目中任選2門，共計6門科目，總分750分，假設(shè)小麗在選擇科目時不考慮主觀性．請用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析小麗在思想政治（A）、地理（B）、化學（C）、生物（D）四門科目中任選2門選到化學（C）、生物（D）的概率．
【答案】
【詳解】設(shè)思想政治為 A，地理為 B，化學為 C，生物為 D，畫出樹狀圖如下：
∵共有 12 種等可能情況，選中化學、生物的有2 種
∴P（選中化學、生物）==．
10．“一方有難，八方支援”．2020年初，武漢發(fā)現(xiàn)多起新冠肺炎病例，牽動著全國人民的心，威寧縣人民醫(yī)院準備從甲、乙、丙三位醫(yī)生和、兩名護士中選取一位醫(yī)生和一名護士支援武漢參與疫情防控救援工作．
(1)若隨機選一位醫(yī)生和一名護士，用樹狀圖（或列表法）表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．
(2)求恰好選中醫(yī)生甲和護士的概率．
【答案】(1)見解析
(2)
【詳解】（1）解：用列表法或樹狀圖表示所有可能結(jié)果如下：
（2）
解：
因為共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好選中醫(yī)生甲和護士A的有1種，
所以P（恰好選中醫(yī)生甲和護士A）=．
題組B 能力提升練
1．現(xiàn)有5盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過期．隨機抽取2盒，至少有一盒過期的概率是（）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【答案】D
【詳解】解：把2盒不過期的牛奶記為A、B、C，2盒已過期的牛奶記為D、E，
畫樹狀圖如圖：
共有20種等可能的結(jié)果，至少有一盒過期的結(jié)果有14種，
∴至少有一盒過期的概率為0.7，
故選：D．
2．穎穎從家去體育館需要經(jīng)過兩個紅綠燈，如果每個紅綠燈可直接通過和需等待的概率相同，那么穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意畫圖如下：
共有4種等可能的結(jié)果，其中穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的有1種結(jié)果，
∴穎穎從家去體育館在這兩個紅綠燈路口都需等待的概率為，
故選C．
3．把分別畫有“冰墩墩”、“雪融融”的兩張形狀、大小相同的圖片，全部從中間剪成相同的兩段，再把這四張形狀相同的小圖片混合在一起，從這四張圖片中隨機抽出兩張，則這兩張小圖片恰好能組成一張完整的“冰墩墩”或“雪融融”圖片的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：用A、a表示“冰墩墩”圖片被剪成的兩半，用B、b表示“雪融融”圖片被剪成的兩半，列樹狀圖為：
故有12種等可能結(jié)果，符合恰好能組成一張完整的“冰墩墩”或“雪融融”圖片有4種，
∴．
故選：A．
4．只有顏色不同的個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則袋中紅球與白球共有( )
A．個B．個C．個D．個
【答案】C
【詳解】解：設(shè)袋中白球有個，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解，
故袋中白球有個，共有個球．
故選：C．
5．不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別．把“從袋子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回搖勻，再進行下一次試驗．試驗數(shù)據(jù)顯示：大量重復試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于0.2，則下列對于袋子中球的數(shù)量的估計，最合理的是（）
A．紅球有2個B．黃球有10個
C．黃球的數(shù)量是紅球的4倍D．黃球和紅球的數(shù)量相等
【答案】C
【詳解】解：設(shè)袋子中球的總數(shù)為n，則由題意可得，
紅球的個數(shù)為0.2n，黃球的個數(shù)為n-0.2n=0.8n，
因為n的值不確定，所以唯一能確定的是黃球的數(shù)量是紅球的4倍，
故選C
6．某小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的試驗最有可能的是（）
A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小時隨機出的是“剪刀”
B．袋子中有1個紅球和2個黃球，從中任取一球是黃球
C．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是偶數(shù)
D．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌花色是紅桃
【答案】C
【詳解】解：A、在“石關(guān)、剪刀、布”的游戲中，小時隨機出的是“剪刀”為，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；
B、從一個裝有1個紅球2個黃球的袋子中任取一球，取到的是黃球的概率為：，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；
C、擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是偶數(shù)的概率是=0.5，符合這一結(jié)果，故此選項正確；
D、一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為：0.25，不符合這一結(jié)果，故此選項錯誤；
故選：C．
7．4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字0，，，2022，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字記錄下來，再從余下的3張卡片中任意抽取1張，同樣將卡片上的數(shù)字記錄下來，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的概率為___．
【答案】##0.5
【詳解】解：列表如下：
由表知，共有12種等可能結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的有6種等可能結(jié)果，
所以兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積是0的概率為：，
故答案為：．
8．對一批襯衣進行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，得到合格襯衣的頻數(shù)表如下：
根據(jù)上表，估計任抽一件襯衣是合格品的概率是___________．（保留小數(shù)點后兩位）
【答案】0.90
【詳解】解：∵抽取件數(shù)為1000時，合格的頻率趨近于0.90，
∴任取一件襯衣是合格品的概率是0.90．
故答案為：0.90．
9．一袋中裝有形狀大小都相同的四個小球，每個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1，3，4，7，現(xiàn)規(guī)定從袋中任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為一個兩位數(shù)的個位數(shù)；然后將小球放回袋中并攪拌均勻，再任取一個小球，對應(yīng)的數(shù)字作為這個兩位數(shù)的十位數(shù)．
(1)寫出按上述規(guī)定得到所有可能的兩位數(shù)；
(2)從這些兩位數(shù)中任取一個，求其算術(shù)平方根大于5且小于8的概率．
【答案】(1)11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77
(2)
【詳解】（1）解：畫樹狀圖如下：
所得兩位數(shù)為11、31、41、71、13、33、43、73、14、34、44、74、17、37、47、77這16種等可能結(jié)果；
（2）由（1）知所得兩位數(shù)算術(shù)平方根大于5且小于8，即該數(shù)大于25且小于64的有8種，
∴其算術(shù)平方根大于5且小于8的概率為．
10．某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：
(1)根據(jù)上表估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約為______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
(2)小明想了解該運動員連續(xù)兩次射擊都“射中九環(huán)以上”的概率，他將這個問題進行了簡化，制作了三張不透明卡片，其中兩張卡片的正面寫有“中”，第三張卡片的正面寫有“未中”，卡片除正面文字不同外，其余均相同將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄文字后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖（或列表）的方法，求兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率．
【答案】(1)0.67
(2)兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率是．
【詳解】(1)解：從頻率的波動情況可以發(fā)現(xiàn)頻率穩(wěn)定在0.67附近，
這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約為0.67．
故答案為：0.67；
(2)解：根據(jù)題意列表如下：
共有9種等可能的情況數(shù)，其中兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的有1種，
則兩次抽取的卡片上都寫有“未中”的概率是．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．將分別標有“文”“明”“寧“安”漢字的四個小球裝在一個不透明的口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機摸出一球，不放回；再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的結(jié)果有2種，
∴兩次摸出的球上的漢字組成“寧安”的概率為，
故選：B．
2．現(xiàn)有3包同一品牌的餅干，其中2包已過期，隨機抽取2包，2包都過期的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：把1包不過期的餅干記為A，2包已過期的餅干記為B、 C，
畫樹狀圖如圖：
共有6種等可能的結(jié)果，兩包都過期的結(jié)果有2種，
∴兩包都不過期的概率為，
故選：D．
3．如圖①為三等分的圓形轉(zhuǎn)盤，圖②為裝有小球（小球除顏色不同外，其他均相同）的不透明口袋，隨機轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，然后再從不透明的口袋中隨機摸出一個球，則指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意，列表如下：
由表可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色的結(jié)果有2種，
（指針指向區(qū)域的顏色和摸出的球的顏色均為藍色），
故選：B．
4．如圖，電路連接完好，且各元件工作正常．隨機閉合開關(guān)，，中的兩個，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的有2種情況，
∴能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的概率為；
故選：D．
5．在一個不透明的盒子中裝有a個黑白顏色的球，小明又放入了5個紅球，這些球大小相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值大約為（）
A．15B．20C．25D．30
【答案】B
【詳解】由題意可得，摸到紅球的概率為0.2，則有，
，
∴，
∴；
故選：B．
6．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上n次，下列表達正確的是（）
A．的值一定是
B．的值一定不是
C．m越大，的值越接近
D．隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性
【答案】D
【詳解】投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上的概率是，而投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上是隨機事件，是它的頻率，隨著m的增加，的值會在附近擺動，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性；
故選：D
7．某疫苗接種點有北京生物，科興中維，武漢生物三個廠家可供市民隨機選擇，若張先生和李小姐對這三種疫苗都不了解，那么張先生和李小姐選擇同一廠家的概率為_______．
【答案】
【詳解】解：將北京生物、科興中維，武漢生物三廠家的疫苗分別記作A、B、C，畫樹狀圖如下：
所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，即AA、AB、AC、 BA、BB、BC、CA、CB、CC ；
共有9種等可能的結(jié)果，其中張先生和李小姐選擇同一廠家的疫苗的結(jié)果有3種，
∴張先生和李小姐選擇同一廠家的概率為，
故答案為：．
8．在一個不透明的袋子里裝有4張數(shù)字卡片，數(shù)字分別是1，-3，0，2，它們除數(shù)字外其他均相同．充分搖勻后，先摸出1張不放回，再摸出1張．如果把第一次摸出的數(shù)字作為橫坐標，第二次摸出的數(shù)字作為縱坐標，那么組成的點在坐標軸上的概率是____________．
【答案】
【詳解】解：列表得：
所有情況有12種，符合要求的一共有6種，
故組成的點在坐標軸上的概率為：．
故答案為：．
9．有3張背面相同的紙牌，，，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．
(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；
(2)小華和小明玩游戲，規(guī)則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用，，表示）
【答案】(1)
(2)不公平，理由見解析
【詳解】（1）解：由題意，隨機地摸出一張共有3種等可能的結(jié)果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結(jié)果有紙牌，共2種，
則摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率為．（2）
解：由題意，畫出樹狀圖如下：
由圖可知，摸出兩張牌共有9種等可能的結(jié)果，其中摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結(jié)果有4種、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的結(jié)果有5種，
則摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是，摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率是，
因為，
所以這個游戲不公平．
10．下面是某學校生物興趣小組在相同的實驗條件下，對某植物種子發(fā)芽率進行研究時所得到的數(shù)據(jù)：
(1)求表中，的值；
(2)任取一粒這種植物種子，估計它能發(fā)芽的概率約是多少？（精確到0.01）
(3)若該學校勞動基地需要這種植物幼苗7600棵，試估算需要準備多少粒種子進行發(fā)芽培育．
【答案】(1)；；
(2)這種種子在此條件下發(fā)芽的概率約為0.95．
(3)需要準備8000粒種子進行發(fā)芽培育．
【詳解】（1）解：；；
（2）解：概率是大量重復試驗的情況下，頻率的穩(wěn)定值可以作為概率的估計值，即次數(shù)越多的頻率越接近于概率；
這種種子在此條件下發(fā)芽的概率約為0.95．
（3）解：若該學校勞動基地需要這種植物幼苗7600棵，
需要準備（粒種子進行發(fā)芽培育．
課程標準
（1）通過具體情境了解概率的意義，體會概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學模型，理解概率的取值范圍的意義，能夠運用列舉法(包括列表、畫樹形圖)計算簡單事件發(fā)生的概率；
（2）能夠通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；利用穩(wěn)定后的頻率值來估計概率的大小，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.
試驗次數(shù)m
60
120
180
240
300
360
420
480
小球落在圖案內(nèi)的次數(shù)n
22
38
65
83
102
126
151
168
小球落在圖案內(nèi)的頻率
0.37
0.32
0.36
0.35
0.34
0.35
0.36
0.35
拋擲次數(shù)
100
200
300
400
500
正面朝上的頻數(shù)
53
98
156
202
244
移植總數(shù)
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活數(shù)量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活頻率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
護士
醫(yī)生
A
B
甲
（甲，A）
（甲，B）
乙
（乙，A）
（乙，B）
丙
（丙，A）
（丙，B）
0
2022
0
0
0
0
0
0
2022
0
抽取件數(shù)（件）
50
100
150
200
500
800
1000
合格頻數(shù)
42
88
131
176
445
724
901
合格頻率
0.84
0.88
0.87
0.88
0.89
0.91
0.90
射擊次數(shù)
20
80
100
200
400
800
1000
1500
“射中九環(huán)以上”的頻數(shù)
15
49
71
137
264
534
666
1001
“射中九環(huán)以上”的頻率
0.750
0.613
0.710
0.685
0.660
0.668
0.666
0.667
藍球1
藍球2
紅球
紅1
（紅1，藍球1）
（紅1，藍球2）
（紅1，紅球）
紅2
（紅2，藍球1）
（紅2，藍球2）
（紅2，紅球）
藍
（藍，藍球1）
（藍，藍球2）
（藍，紅球）
1
-3
0
2
1
1,-3
0,1
1,2
-3
-3,1
0,-3
-3,2
0
1,0
-3,0
2,0
2
2,1
2,-3
0,2
試驗的種子數(shù)n
500
1000
1500
2000
3000
4000
發(fā)芽的粒數(shù)m
471
946
1425
1898
2853
3812
發(fā)芽頻率
0.942
0.946
0.949
0.953

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