知識精講
知識點01 正多邊形的概念
1．概念
相等， 也相等的多邊形是正多邊形．
2．判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件
(1) 相等；
(2) 相等；缺一不可.
如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
知識點02 正多邊形的重要元素
1．正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2．正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的 ．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的 ．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的 ．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的 ．
3．正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是 ；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是 ；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是 .
【注意】
要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.
知識點03 正多邊形的性質(zhì)
1.正多邊形都 外接圓，圓有 個內(nèi)接正多邊形.
2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成 個全等的直角三角形.
3.正多邊形都是 圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；
當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是 圖形，它的 就是對稱中心.
4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
5.任何正多邊形都有 外接圓和 內(nèi)切圓，這兩個圓是
【注意】
(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；
(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.
知識點04 正多邊形的畫法
1．用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以 ；根據(jù)同圓中相等弧所對的 相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.
2．用尺規(guī)等分圓
對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
①正四、八邊形.
在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形. 再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交AB于E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.
②正六、三、十二邊形的作法.
通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.
顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.
同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O 12等分…….
【注意】
畫正n邊形的方法：(1)將一個圓 ，(2)順次連結(jié)各等分點.
能力拓展
考法01 求正多邊形的中心角
【典例1】在下列正多邊形中，其內(nèi)角是中心角2倍的是（ ）
A．正四邊形B．正五邊形C．正六邊形D．正七邊形
【即學(xué)即練】若一個正多邊形的中心角為40°，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【典例2】如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
考法02 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
【典例3】如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【即學(xué)即練】如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【典例4】一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
【即學(xué)即練】一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
考法03 正多邊形和圓
【典例5】如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點G，已知半徑為3，則EG的長為（ ）
A．B．3C．D．6
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則邊心距OM的長為________．
A．B．C．D．
【典例6】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點E為上一點，連接BE，若，，則正方形ABCD的邊長為（ ）
A．7B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（ ）
A．B．C．3D．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個圓B．任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓
C．相等的圓心角所對的弧相等D．正多邊形一定是中心對稱圖形
3．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為 3，則該圓的直徑長為（ ）
A．3B．3C．3D．6
4．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（ ）
A．72°B．54°C．36°D．64°
5．圓內(nèi)接四邊形中，四個角的度數(shù)比可順次為（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，在中，四邊形測得，連接，若的半徑為4，則的長為（ ）
A．2B．C．4D．
7．一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是__________．
8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個正多邊形的邊數(shù)為 _____．
9．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．
10．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊上求作點，使；
(2)在圖2中的邊上求作點，使．
題組B 能力提升練
1．如圖所示的圖案，其外輪廓是一個正五邊形，繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能夠與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角可能是（ ）
A．B．C．D．
2．半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是（ ）
A．1B．C．D．
3．如圖，的外切正六邊形的邊心距的長度為，那么正六邊形的周長為（ ）
A．2B．6C．12D．
4．如圖，將正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點重合，若，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在正六邊形的內(nèi)部以為邊作正方形，連接，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
6．如圖，點O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點G，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為 __．
8．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是 _____平方分米．
9．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長、相交于點，已知．
（1）求證：；
（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．
10．如圖，是上的三個點，，點在上運動（不與點重合），連接，，．

（1）如圖1，當(dāng)點在上時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點在上時，求證：；
（3）如圖2，已知的半徑為，，求的長．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，有一個直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是（ ）
A．1B．C．2D．4
2．把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（ ）
A．1B．2C．D．2
3．如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，點是正六邊形的中心，的兩邊，分別與，相交于點，．當(dāng)時，下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．與相等
5．如圖所示的正八邊形的邊長為2，則對角線的長為（ ）
A．B．4C．D．6
6．如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進行對折，得到一個六邊形，如果這個六邊形是正六邊形，則菱形的對角線長的比（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是 _____．
8．如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.
9．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
10．正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．
（1）如圖①，若點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請說明理由；
（3）如圖②，若點E在上．連接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的長．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；
（2）理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；
（3）會進行正多邊形的有關(guān)計算.
第24課 正多邊形和圓
目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點01 正多邊形的概念
1．概念
各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．
2．判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件
(1)各邊相等；
(2)各角相等；缺一不可.
如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).
知識點02 正多邊形的重要元素
1．正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形
正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．
2．正多邊形的有關(guān)概念
(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．
(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
3．正多邊形的有關(guān)計算
(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是 ；
(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；
(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.
【注意】
要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.
知識點03 正多邊形的性質(zhì)
1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.
2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.
3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；
當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.
4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓
【注意】
(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；
(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.
知識點04 正多邊形的畫法
1．用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.
2．用尺規(guī)等分圓
對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
①正四、八邊形.
在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形. 再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交AB于E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.
②正六、三、十二邊形的作法.
通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.
顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.
同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O 12等分…….
【注意】
畫正n邊形的方法：(1)將一個圓n等份，(2)順次連結(jié)各等分點.
能力拓展
考法01 求正多邊形的中心角
【典例1】在下列正多邊形中，其內(nèi)角是中心角2倍的是（ ）
A．正四邊形B．正五邊形C．正六邊形D．正七邊形
【答案】C
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n．
則每個內(nèi)角是，中心角是．
根據(jù)題意得：＝2×
解得：n＝6．
故選：C．
【即學(xué)即練】若一個正多邊形的中心角為40°，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得：，
解得：n＝9，
故選A．
【典例2】如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：
∵正六邊形內(nèi)接于，
∴∠COD= =60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，⊙O是正五邊形的外接圓，∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．30°B．32°C．36°D．40°
【答案】C
【詳解】
如上圖所示，連接OA，OE
∵五邊形ABCDE是正五邊形
∴
∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓
∴
故選：C．
考法02 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
【典例3】如圖，和分別為內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（ ）．
A．六B．八C．十D．十二
【答案】D
【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，
∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，
∴,，
∴，
∴，
故選D．
【即學(xué)即練】如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【詳解】解：連接OC，
∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故選：C．
【典例4】一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【詳解】解：如圖，由題意得：，
是等邊三角形，
，
則這個正多邊形的邊數(shù)為，
故選：C．
【即學(xué)即練】一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
【答案】B
【詳解】解：，解得．
這個正多邊形的邊數(shù)為12．
故選：B．
考法03 正多邊形和圓
【典例5】如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點G，已知半徑為3，則EG的長為（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】C
【詳解】解：連接BE、GO，則BE經(jīng)過O點，且O是BE的中點，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)EG的長為x，則OG的長為，
∴，
解得：．
故選：C．
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為1，則邊心距OM的長為________．
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：連接OA、OB，如圖所示：
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝，
∴，
故選：B．
【典例6】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點E為上一點，連接BE，若，，則正方形ABCD的邊長為（ ）
A．7B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：連接DB、OC、OE，
，
∵正方形內(nèi)接于，
∴，，三點共線，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等邊三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，選項B符合題意．
故選B
【即學(xué)即練】如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【詳解】解：連接OB，OC，
∵⊙O的周長等于6π，
∴⊙O的半徑為：3，
∵∠BOC360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為3，
故選：C．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．有一個正n邊形的中心角是36°，則n為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【詳解】解：，
故選：D．
2．下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個圓B．任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓
C．相等的圓心角所對的弧相等D．正多邊形一定是中心對稱圖形
【答案】B
【詳解】解：A、不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤；
B、任何三角形有且只有一個內(nèi)切圓，正確；
C、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；
D、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形一定是中心對稱圖形，故錯誤；
故選：B．
3．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為 3，則該圓的直徑長為（ ）
A．3B．3C．3D．6
【答案】D
【詳解】如圖，連接OA，OB，
∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長為3，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴該圓的直徑為；
故選D．
4．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點為上一點（點與點，點不重合），連接，，，垂足為，則等于（ ）
A．72°B．54°C．36°D．64°
【答案】B
【詳解】解：∵正五邊形內(nèi)接于，
∴
∵與所對的弧相同
∴
∴=
故選：B．
5．圓內(nèi)接四邊形中，四個角的度數(shù)比可順次為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：∵圓內(nèi)接四邊形的對交互補，即相加等于180°，
故：A選項：4+2≠3+1，錯誤；
B選項：4+1=3+2，正確；
C選項：4+3≠2+1，錯誤；
D選項：4+3≠1+2，錯誤．
故：選B．
6．如圖，在中，四邊形測得，連接，若的半徑為4，則的長為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【詳解】解：連接OA，OC，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B＋∠D＝180°，
解得：∠D＝30°，
∴∠AOC＝60°，
又OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
又AC=4，
∴半徑OC=OA=4.
故選：C．
7．一個圓內(nèi)接正多邊形的一條邊所對的圓心角是，則該正多邊形邊數(shù)是__________．
【答案】六
【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n．
由題意得，＝60°，
∴n＝6，
故答案為：六．
8．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，連接DF．若DF恰好是同圓的一個內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個正多邊形的邊數(shù)為 _____．
【答案】12
【詳解】解：連接OA、OD、OF，如圖，設(shè)這個正多邊形為n邊形，
∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．
故答案為：12．
9．如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．
【答案】2cm
【詳解】過點O作OD⊥BC于點D，連接BO，
∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，
∴點O即是三角形內(nèi)心也是外心，
∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，
∴cs30°===，
解得：BO=2，
即⊙O的半徑為2cm．
10．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖1中的邊上求作點，使；
(2)在圖2中的邊上求作點，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）連接AO并延長 與CD相交，連接EF交AO延長線于M，連接BM交DE于點G，則點G為所求作，如圖1所示；
理由：
∵⊙O為正五邊形的外接圓，
∴直線AO是正五邊形ABCDE的一條對稱軸，點B與點E、點C與點D分別是一對對稱點．
∵點M在直線AO上，
∴射線BM與射線EF關(guān)于直線AO對稱，從而點F與點G關(guān)于直線AO對稱，
∴CF與DG關(guān)于直線AO對稱．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BO并延長與DE相交，連接AG交BO延長線于N，連接CN，如圖2所示；
題組B 能力提升練
1．如圖所示的圖案，其外輪廓是一個正五邊形，繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能夠與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：正五邊形的中心角，
繞它的中心旋轉(zhuǎn)角度后能夠與自身重合，
故選：B．
2．半徑為2的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：邊長為2的正六邊形可以分成六個邊長為2的正三角形，
而正六邊形的邊心距即為每個邊長為2的正三角形的高，即圖中OD長度，
如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，OD⊥AB，
由垂徑定理可知，AD=BD=1，OD=；
故選：B．
3．如圖，的外切正六邊形的邊心距的長度為，那么正六邊形的周長為（ ）
A．2B．6C．12D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，過點O作OG⊥AB，垂足為G，
由題意可得：OG=，
在正六邊形ABCDEF中，∠AOB==60°，OA=OB，
∴△OAB是等邊三角形，
∴AB=OA==2，
∴正六邊形ABCDEF的周長為2×6=12，
故選：C．
4．如圖，將正六邊形放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點重合，若，則點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：如圖所示，連接OC，
∵點O是正六邊形的中心，
∴OC=OD，，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OD=CD=AB=2，
∴點D的坐標(biāo)為（2，0），
故選B．
5．如圖，在正六邊形的內(nèi)部以為邊作正方形，連接，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【詳解】解：由題意可知，，
，
，
，
，
，
．
故選：D．
6．如圖，點O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點G，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：∵ABCDEF是邊長為4的正六邊形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG=EF=，
∴△GEF的面積=×EF?GE=，
故選：C．
7．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長為2，則點O到AC的距離OG的長為 __．
【答案】1
【詳解】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：
∵點O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長為2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OGOC＝1，
即點O到AC的距離OG的長為1，
故答案為：1．
8．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是 _____平方分米．
【答案】
【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；
根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個小的正六邊形的邊長為1分米，
所以它的面積為16（平方分米），
故答案為：．
9．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長、相交于點，已知．
（1）求證：；
（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【詳解】（1）∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠ADE=180°
又∵∠EDC+∠ADE=180°
∴∠EDC=∠B
又∵∠EDC=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
（2）連接AE
∵AB是圓的直徑
∴∠AEB=90°
又∵AB=AC
∴AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAD
∴
10．如圖，是上的三個點，，點在上運動（不與點重合），連接，，．

（1）如圖1，當(dāng)點在上時，求證：；
（2）如圖2，當(dāng)點在上時，求證：；
（3）如圖2，已知的半徑為，，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AB=10
【詳解】（1）證明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC
∴∠ADB=∠ADC；
（2）證明：∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ACB=∠ADC，
∴；
（3）解：連接OB，過點A作AE⊥BC交于點E，如圖所示：
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=EC=6，
∴AE是線段BC的垂直平分線，
∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，
∴圓心O在線段AE上，
∵OB=OA=，
∴在Rt△BEO中，，
∴，
∴在Rt△AEB中，．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，有一個直徑為的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【詳解】如圖，連接OA、OB，則△AOB是等邊三角形，作OC⊥AB于C，
∵△AOB是等邊三角形，
∴∠OAB= 60°，
∴∠AOC= 30°，
∵OA=2cm，
∴AC=1cm，
OC=，
故選：B．
2．把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（ ）
A．1B．2C．D．2
【答案】C
【詳解】解：如圖，
∵重疊部分為正八邊形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故選：C．
3．如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】如圖，連接AD，BD．
在正六邊形ABCDEF中，AB=2，則AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為，
故選A
4．如圖，點是正六邊形的中心，的兩邊，分別與，相交于點，．當(dāng)時，下列說法錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．與相等
【答案】C
【詳解】解：如下圖所示，連接OA，OB，OC．
∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OC，，，AB=DC，．
∴，．
∴∠OAM=∠OBN．
∵∠GOK+∠ABC=180°，
∴∠OMB+∠ONB=360°-（∠GOK+∠ABC）=180°，∠GOK=180°-∠ABC=60°．
故A選項不符合題意．
∵∠OMA+∠OMB=180°，
∴∠OMA=∠ONB．
∴．
∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，．
故D選項不符合題意．
∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．
故B選項不符合題意．
∴．
∴．
故C選項符合題意．
故選：C．
5．如圖所示的正八邊形的邊長為2，則對角線的長為（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】A
【詳解】解：如下圖所示，標(biāo)出點C，D，E，F(xiàn)，連接CD，連接AC，BD交于點O，過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H．
根據(jù)圖形可知直線AC和直線BD是正八邊形的對稱軸．
∴AC和BD是該正八邊形外接圓的直徑．
∴AC=BD，點O為該正八邊形外接圓的圓心．
∴OA=OB=OC=OD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴四邊形ABCD是矩形．
∴∠BAD=∠ABC=90°．
∵正八邊形的邊長為2，
∴AE=EF=FB=2，．
∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．
∴∠AEF+∠GAE=180°．
∴．
∴∠EGH+∠GEF=180°．
∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AB，
∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．
∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，，．
∴四邊形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．
∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．
∴，．
∴，．
∴．
故選：A．
6．如圖，有一張菱形紙片，分別把沿著兩條平行于的直線進行對折，得到一個六邊形，如果這個六邊形是正六邊形，則菱形的對角線長的比（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：如圖：設(shè)AC與BD相交于O， EF與AC相交于Q，
∵六邊形BGHDFE是正六邊形，
∴，，
∵ 四邊形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴OE=2EQ，
在中，
，
∴，
由對折的性質(zhì)得， AC=4OQ，
，
故選：C．
7．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，以點A為圓心，AB為半徑畫圓弧交AC于點F，連接DF．則∠FDC的度數(shù)是 _____．
【答案】36
【詳解】解：∵正五邊形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案為：36°．
8．如圖，已知點G是正六邊形對角線上的一點，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.
【答案】4
【詳解】解：如圖，連接CE，
，
，
六邊形是正六邊形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四邊形BCEF是平行四邊形，
，
的面積為1，，
的面積為，
故答案為4．
9．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．
(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．
(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，
∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴過頂點A的三條對角線四等分∠BAF；
（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等邊三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六邊形ABCDEF的面積＝6rrr2，
∵⊙O的面積＝πr2，
∴．
10．正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，E是⊙O上的一點．
（1）如圖①，若點E在上，F(xiàn)是DE上的一點，DF=BE．求證：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的條件下，小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請說明理由；
（3）如圖②，若點E在上．連接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）理由見解析；（3）DE=7，CE=
【詳解】（1）如圖，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）結(jié)論得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF=AE
即DE-DF=AE
∴DE-BE=AE；
（3）連接BD，將△CBE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°至△CDH
∵四邊形BCDE內(nèi)接于圓
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三點共線
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；
（2）理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；
（3）會進行正多邊形的有關(guān)計算.

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