知識精講
知識點01 列二次函數(shù)解應(yīng)用題
列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．
(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題.
(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
知識點02 建立二次函數(shù)模型求解實際問題
一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?br>(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；
(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；
(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；
(5)利用關(guān)系式求解問題．
【注意】(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.
(2)對于本節(jié)的學習，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：
①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；
③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.
知識點03 利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題
一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時，可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積。
求矩形的最大面積時，通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值，同時要注意自變量的取值范圍。
知識點04 利用二次函數(shù)求最大利潤問題
（1）利潤問題是本節(jié)的重點問題之一，在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試熱點。對于這類問題，只要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。
①每件的利潤=銷售單價-成本單價；
②總利潤=總銷售價-總成本價=每件利潤×銷售量。
（2）利用二次函數(shù)的最值解答商品銷售中的“最大利潤”問題時，可采用以下步驟：
①設(shè)出自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入；
②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的成本；
③用因變量及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，即可得到函數(shù)表達式；
④根據(jù)函數(shù)表達式求出最值及取得最值時自變量的值，注意結(jié)果要符合實際意義及題意。
知識點05 利用二次函數(shù)解決拋物線型建筑物問題
這類問題所給的問題情境常有一個拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構(gòu)造二次承數(shù)的表達式來解決，解決這類問題般是利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。
1．一般解題思路
(1)在示意圖中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將題目中所給條件轉(zhuǎn)化平面直角坐標系中的坐標。
(2)根據(jù)圖中坐標利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的表達式。
(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)去分析解決問題，檢驗問題的結(jié)果是否符合實標意義，并作答。
2．卡車過拱橋(隧道)問題
在問題中，拋物線的函數(shù)表達式是首要條件，有時函數(shù)表達式已經(jīng)給出，有時需要先求出來，求出函數(shù)表達式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：
(1)固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當于已知x的值，根據(jù)函數(shù)表達式求y的值，然后與限制的高的值比較大?。?br>(2)固定卡車的高，看橋是否足夠?qū)挘聪喈斢谝阎獃的值，根據(jù)函數(shù)表達式求x的值，然后與限制的寬的值比較大?。?br>能力拓展
考法01 求幾何圖形面積的最值
【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個矩形（ABCD）花園，這個花園的最大面積是（ ）
A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m2
【即學即練】如圖，四邊形中，，若，則四邊形的面積最大值為（ ）
A．6B．18C．36D．144
【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，直線（為常數(shù)）與拋物線交于A、B兩點，且點A在軸左側(cè)，點P的坐標為，連接PA，PB，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．6
【即學即練】如果一個矩形的周長與面積的差是定值，我們稱這個矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩形中， ，，，那么這個“定差值矩形”的對角線 的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
考法02 利用二次函數(shù)解最大利潤問題
【典例3】某種商品每件的進價為30元，在某時間段內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價x應(yīng)為（ ）
A．35元B．45元C．55元D．65元
【即學即練】某商品的利潤y（元）與售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+8x+9，且售價x的范圍是1≤x≤3，則最大利潤是（ ）
A．16元B．21元C．24元D．25元
【典例4】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯誤的是（ ）
A．銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大
B．每天的最大利潤為1250元
C．若銷售單價降低10元，每天的利潤為1200元
D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價一定降低了5元
【即學即練】某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當日銷售量為（千克）．有下列說法：
①當時，
②與之間的函數(shù)關(guān)系式為
③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克
④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克
其中正確的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．②④
考法03 利用二次函數(shù)解拱橋問題
【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB＝1.6m，涵洞頂點O與水面的距離CO是2m，則當水位上升1.5m時，水面的寬度為（ ）
A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m
【即學即練】如圖是拋物線形的拱橋，當水面寬4m時，頂點離水面2m，當水面寬度增加到6m時，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
【典例6】如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面3米，水面寬4米．如果按圖（2）建立平面直角坐標系，那么拋物線的解析式是_____．
【即學即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，，最高點C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為，已知點D為拋物線上一點，位于點C右側(cè)且距離水面3m，若以點D為原點，以平C行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標系時，該物線的表達式為___________．
考法04 利用二次函數(shù)求噴水、投球等實際問題
【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面3米，那么水流落點B與墻的距離OB是（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【即學即練】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（ ）
A．B．C．D．
【典例8】如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝10t﹣5t2，則小球飛行的最大高度為 _____m．
【即學即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h =﹣5t2+20t﹣14，則小球距離地面的最大高度是（ ）
A．2米B．5米C．6米D．14米
2．在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達式為h＝gt2．其中g(shù)取值為9.8m/s2．小莉進行自由落體實驗，她從某建筑物拋下一個小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
3．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
4．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，矩形的面積為．當x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達式為（ ）
A．B．
C．D．
5．某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
6．向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時的高度為y米，且高度與時間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
7．據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_________．
8．如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱．AB//x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm則右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)表達式為 ___（不用寫x的取值范圍）．
9．某商場經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）若商場每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？
（2）求銷售單價定為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
10．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG = 2BE．設(shè)BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需寫自變量的取值范圍）；
（2）根據(jù)改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？
題組B 能力提升練
1．如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20）2+4，橋拱與橋墩AC的交點C恰好位于水面，且AC⊥x軸，若OA=5米，則橋面離水面的高度AC為（ ）
A．米B．米C．米D．米
2．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
3．飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行時間t（單位：秒）的函數(shù)表達式為，當滑行時間為10秒時，滑行距離為450米；當滑行時間為20秒時，滑行距離為600米，則飛機的最大滑行距離為（ ）
A．600米B．800米C．1000米D．1200米
4．使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0＜x≤90）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為（ ）
A．37.5°B．40°
C．42.5°D．45°
5．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點是射線上的動點（點不與點，點重合），點在線段的延長線上，且,連接,．設(shè)，的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某超市銷售一種商品，每件成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？每月最大利潤是多少？（ ）
A．元，元B．元，元
C．元，元D．元，元
7．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)表達式是，該型號飛機著陸后滑行的最大距離是______．
8．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為 __；自變量x的取值范圍為 __．
9．為滿足市場需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進價格為12元/盒的某品牌月餅，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌月餅每盒售價14元時，每天能售出200盒，并且售價每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定：該品牌月餅的售價不能超過20元/盒．
(1)當銷售單價為多少元時，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；
(2)當銷售單價為多少元時，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？
10．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，則這兩個正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
2．某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤元，每提高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加元，用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)件，提高一個檔次將減少件．如果用相同的工時生產(chǎn)，總獲利潤最大的產(chǎn)品是第檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量増加），那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當P運動到B點時，P，Q兩點同時停止運動．設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．C．D．
4．足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過的時間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．足球距離地面的最大高度超過20mB．足球飛行路線的對稱軸是直線
C．點（10，0）在該拋物線上D．足球被踢出時，距離地面的高度逐漸下降．
5．2020年6月中旬以來，北京市新冠肺炎疫情出現(xiàn)反彈，北京市民對防疫物資需求量激增．某廠商計劃投資產(chǎn)銷一種消毒液，設(shè)每天產(chǎn)銷量為x瓶，每日產(chǎn)銷這種消毒液的有關(guān)信息如下表：（產(chǎn)銷量指生產(chǎn)并銷售的數(shù)量，生產(chǎn)多少就銷售多少，不考慮滯銷和脫銷）若該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤y元，當銷量x為多少時，該消毒液的單日產(chǎn)銷利潤最大．（ ）
A．250B．300C．200D．550
6．如圖，公園中一正方形水池中有一噴泉，噴出的水流呈拋物線狀，測得噴出口高出水面0.8m，水流在離噴出口的水平距離1.25m處達到最高，密集的水滴在水面上形成了一個半徑為3m的圓，考慮到出水口過高影響美觀，水滴落水形成的圓半徑過大容易造成水滴外濺到池外，現(xiàn)決定通過降低出水口的高度，使落水形成的圓半徑為2.75m，則應(yīng)把出水口的高度調(diào)節(jié)為高出水面（ ）
A．0.55米B．米C．米D．0.4米
7．某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個成本為8元，在銷售過程中，每天的銷售量y（個）與銷售價格x（元/個）的關(guān)系如圖所示，當時，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤為______________元（利潤=總銷售額-總成本）．
8．如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為______．
9．一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進價為每件6元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價x（元件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，表格記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
(2)在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于17元/件，若某一周該商品的銷售最不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？
(3)抗疫期間，該商場這種商品售價不大于17元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機構(gòu)捐贈m元（），捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．
10．某工廠制作A、B兩種手工藝品，B每件獲利比A多105元，制作16件A與制作2件B獲利相同．
(1)制作一件A和一件B分別獲利多少元；
(2)工廠安排65人制作A，B兩種手工藝品，每人每天制作2件A或1件B．現(xiàn)在在不增加工人的情況下，增加制作C工藝品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一種手工藝品），要求每天制作A，C兩種手工藝品的數(shù)量相等，設(shè)每天安排x人制作B，y人制作A．寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在（1）（2）的條件下，每天制作B不少于5件．當每天制作B為5件時，每件B獲利不變，若B每增加1件，則當天平均每件B獲利減少2元，已知C每件獲利30元，求每天制作三種手工藝品可獲得的總利潤W（元）的最大值及相應(yīng)x的值．
課程標準
（1）能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并運用二次函數(shù)的知識求出實際問題的最大（?。┲?，提高解決問題的能力。
（2）通過求最大面積、最大利潤等問題，體會二次函數(shù)是一類解決最優(yōu)化問題的數(shù)學模型。
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
消毒液
每瓶售價（元）
每瓶成本（元）
每日其他費用（元）
每日最大產(chǎn)銷量（瓶）
30
18
1200＋0.02x2
250
x（元/件）
7
8
9
y（件）
8500
8000
7500
第14課 實際問題與二次函數(shù)
目標導航
知識精講
知識點01 列二次函數(shù)解應(yīng)用題
列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學習了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確．
(3)列函數(shù)表達式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題.
(5)檢驗所得解是否符合實際：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
知識點02 建立二次函數(shù)模型求解實際問題
一般步驟：(1)恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼担?br>(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；
(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；
(4)代入已知條件或點的坐標，求出關(guān)系式；
(5)利用關(guān)系式求解問題．
【注意】
(1)利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.
(2)對于本節(jié)的學習，應(yīng)由低到高處理好如下三個方面的問題：
①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
②學會從實際問題中建立二次函數(shù)的模型；
③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.
知識點03 利用二次函數(shù)求圖形面積的最值問題
一些幾何圖形的面積與其相關(guān)邊長成二次函數(shù)關(guān)系時，可以用二次函數(shù)的最值求其最大面積。
求矩形的最大面積時，通常用含有自變量x的代數(shù)式表示矩形的長與寬，根據(jù)矩形的面積公式構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值，同時要注意自變量的取值范圍。
知識點04 利用二次函數(shù)求最大利潤問題
（1）利潤問題是本節(jié)的重點問題之一，在日常生活中經(jīng)常出現(xiàn)，是考試熱點。對于這類問題，只要審清題意，記住利潤問題中的幾個公式，便可解決此類問題。
①每件的利潤=銷售單價-成本單價；
②總利潤=總銷售價-總成本價=每件利潤×銷售量。
（2）利用二次函數(shù)的最值解答商品銷售中的“最大利潤”問題時，可采用以下步驟：
①設(shè)出自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入；
②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品的成本；
③用因變量及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤，即可得到函數(shù)表達式；
④根據(jù)函數(shù)表達式求出最值及取得最值時自變量的值，注意結(jié)果要符合實際意義及題意。
知識點05 利用二次函數(shù)解決拋物線型建筑物問題
這類問題所給的問題情境常有一個拋物線型物體，比如拱橋或隧道這些問題都可以通過構(gòu)造二次承數(shù)的表達式來解決，解決這類問題般是利用數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)思想。
1．一般解題思路
(1)在示意圖中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將題目中所給條件轉(zhuǎn)化平面直角坐標系中的坐標。
(2)根據(jù)圖中坐標利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的表達式。
(3)由二次函數(shù)的性質(zhì)去分析解決問題，檢驗問題的結(jié)果是否符合實標意義，并作答。
2．卡車過拱橋(隧道)問題
在問題中，拋物線的函數(shù)表達式是首要條件，有時函數(shù)表達式已經(jīng)給出，有時需要先求出來，求出函數(shù)表達式后有兩種方法可以判斷卡車能否從橋下通過：
(1)固定卡車的寬，看橋是否足夠高（即相當于已知x的值，根據(jù)函數(shù)表達式求y的值，然后與限制的高的值比較大?。?；
(2)固定卡車的高，看橋是否足夠?qū)挘聪喈斢谝阎獃的值，根據(jù)函數(shù)表達式求x的值，然后與限制的寬的值比較大?。?br>能力拓展
考法01 求幾何圖形面積的最值
【典例1】如圖，一邊靠墻（墻有足夠長），其它三邊用12m長的籬笆圍成一個矩形（ABCD）花園，這個花園的最大面積是（ ）
A．18m2B．12 m2C．16 m2D．22 m2
【答案】A
【詳解】解：設(shè)與墻垂直的矩形的邊長為xm，
則這個花園的面積是：S=x（12-2x）=，
∴當x=3時，S取得最大值，此時S=18，
故選：A．
【即學即練】如圖，四邊形中，，若，則四邊形的面積最大值為（ ）
A．6B．18C．36D．144
【答案】B
【詳解】如圖，設(shè)AC、BD交于點M
設(shè)
四邊形的面積即四邊形的面積
當時，四邊形的面積最大，最大為18．
故選：B．
【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，直線（為常數(shù)）與拋物線交于A、B兩點，且點A在軸左側(cè)，點P的坐標為，連接PA，PB，則面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【詳解】解：設(shè)，聯(lián)立，得，即，
由根與系數(shù)的關(guān)系得
，
∴當時，的面積最小，最小面積為.
故選：B.
【即學即練】如果一個矩形的周長與面積的差是定值，我們稱這個矩形為“定差值矩形”.如圖，在矩形中， ，，，那么這個“定差值矩形”的對角線 的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當時，，
∴有最小值為（取正值），
故選：C．
考法02 利用二次函數(shù)解最大利潤問題
【典例3】某種商品每件的進價為30元，在某時間段內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價x應(yīng)為（ ）
A．35元B．45元C．55元D．65元
【答案】D
【詳解】解：設(shè)所獲得的利潤為W，
由題意得，
∵，
∴當時，W有最大值1225，
故選D．
【即學即練】某商品的利潤y（元）與售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+8x+9，且售價x的范圍是1≤x≤3，則最大利潤是（ ）
A．16元B．21元C．24元D．25元
【答案】C
【詳解】解：y=-x2+8x+9=-（x-4）2+25，
∵a=-1＜0，
∴利潤y有最大值，
當x＜4時，y隨x的增大而增大，
∵售價x的范圍是1≤x≤3，
∴當x=3時，最大利潤y是24元，
故選：C．
【典例4】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每降低5元，每天可多售出10件，下列說法錯誤的是（ ）
A．銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大
B．每天的最大利潤為1250元
C．若銷售單價降低10元，每天的利潤為1200元
D．若每天的利潤為1050元，則銷售單價一定降低了5元
【答案】D
【詳解】因為每降低5元，每天可多售出10件，所以每降價1元可多售2件，
設(shè)每件降價x元，每天的利潤為y元，則每天可售（20+2x）件，每件利潤為40-x，
所以每天的利潤為
將整理成頂點式有，
由頂點式可知當銷售單價降低15元時，每天獲得利潤最大，每天的最大利潤為1250元，故A、B正確；
將x=10代入到解析式中解得y=1200，故C正確；
令y=1050，則，解得，即當每天的利潤為1050元，則銷售單價可能降低了5元，也可能降低了25元，所以D錯誤；
綜上所述，答案選D.
【即學即練】某公司銷售一種藜麥，成本價為30元/千克，若以35元/千克的價格銷售，每天可售出450千克．當售價每漲0.5元/千克時，日銷售量就會減少15千克．設(shè)當日銷售單價為（元/千克）（，且是按0.5的倍數(shù)上漲），當日銷售量為（千克）．有下列說法：
①當時，
②與之間的函數(shù)關(guān)系式為
③若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為42元/千克
④若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克
其中正確的是（ ）
A．①②B．①②④C．①②③D．②④
【答案】B
【詳解】當時，，故①正確；
由題意得：，故②正確；
日銷售利潤為，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
∵銷售單價為38元/千克時的銷售量比銷售單價為42元/千克時大，
∴不合題意，
即若使日銷售利潤為2880元，且銷售量較大，則日銷售單價應(yīng)定為38元/千克，故③錯誤；
由上問可知：，
即，
∵，
∴當時，，
即若使日銷售利潤最大，銷售價格應(yīng)定為40元/千克，故④正確；
故正確的是①②④；
故答案選B．
考法03 利用二次函數(shù)解拱橋問題
【典例5】如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現(xiàn)測得水面寬AB＝1.6m，涵洞頂點O與水面的距離CO是2m，則當水位上升1.5m時，水面的寬度為（ ）
A．0.4mB．0.6mC．0.8mD．1m
【答案】C
【詳解】解：建立如圖所示的坐標系：
設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由題意得：，
∴，
解得：，
∴，
當y=-0.5時，則有，
解得：，
∴水面的寬度為0.8m；
故選C．
【即學即練】如圖是拋物線形的拱橋，當水面寬4m時，頂點離水面2m，當水面寬度增加到6m時，水面下降（ ）
A．1mB．1.5mC．2.5mD．2m
【答案】C
【詳解】解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸通過，縱軸通過中點且通過頂點，則通過畫圖可得知為原點，
由平面直角坐標系可知，，即，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點代入得：，解得，
則拋物線的解析式為，即，
當時，，
所以水面下降，
故選：C．
【典例6】如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，水面在l時，拱頂(拱橋洞的最高點)離水面3米，水面寬4米．如果按圖（2）建立平面直角坐標系，那么拋物線的解析式是_____．
【答案】
【詳解】解：設(shè)出拋物線方程y=ax2（a≠0），由圖象可知該圖象經(jīng)過（-2，-3）點，
∴-3=4a，
a=-，
∴拋物線解析式為y=-x2．
故答案為：．
【即學即練】某橋梁的橋洞可視為拋物線，，最高點C距離水面4m，以AB所在直線為x軸（向右為正向），若以A為原點建立坐標系時，該拋物線的表達式為，已知點D為拋物線上一點，位于點C右側(cè)且距離水面3m，若以點D為原點，以平C行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標系時，該物線的表達式為___________．
【答案】##
【詳解】解：在y＝﹣x2+x中，令y＝3得﹣x2+x＝3，
解得x＝3或x＝9，
∵點D為拋物線上一點，位于點C右側(cè)且距離水面3m，
∴xD﹣xA＝9，
以點D為原點，以平行于AB的直線為x軸（向右為正向）建立坐標系，如圖：
根據(jù)題意知此時頂點D（﹣3，1），A（﹣9，﹣3），
設(shè)拋物線的表達式為y＝a（x+3）2+1，
將A（﹣9，﹣3）代入得：36a+1＝﹣3，
解得a＝﹣，
∴拋物線的表達式為y＝﹣（x+3）2+1＝﹣x2﹣x，
故答案為：y＝﹣x2﹣x．
考法04 利用二次函數(shù)求噴水、投球等實際問題
【典例7】從某幢建筑物2.25米高處的窗口A用水管向外噴水，水流呈拋物線，如果拋物線的最高點M離墻1米，離地面3米，那么水流落點B與墻的距離OB是（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
【答案】C
【詳解】解：由題意可得，拋物線的頂點坐標為（1，3），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）2+3，
2.25=a（0-1）2+3，
解得a=-0.75，
∴y=-（x-1）2+3，
當y=0時，-（x-1）2+3=0，
解得，x1=-1，x2=3，
∴點B的坐標為（3，0），
∴OB=3，
答：水流下落點B離墻距離OB的長度是3米．
故選：C．
【即學即練】如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，
∴設(shè)這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．
∵該拋物線過點（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=-．
∴y=-（x-1）2+3．
∵當x=0時，y=-（0-1）2+3=-+3=，
∴水管應(yīng)長m．
故選：A
【典例8】如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為h＝10t﹣5t2，則小球飛行的最大高度為 _____m．
【答案】5
【詳解】解：∵，
∴小球飛行的最大高度為5m，
故答案為5．
【即學即練】如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．
【答案】10
【詳解】解：當y=0時，，
解得：x1=10，x2=-2（不合題意，舍去），
所以推鉛球的距離是10米；
故答案為：10．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．一小球被拋出后，距離地面的高度h（米）和飛行時間t（秒）滿足下面函數(shù)關(guān)系式：h =﹣5t2+20t﹣14，則小球距離地面的最大高度是（ ）
A．2米B．5米C．6米D．14米
【答案】C
【詳解】高度h和飛行時間t 滿足函數(shù)關(guān)系式：h =﹣5t2+20t﹣14，
當時，小球距離地面高度最大，
米，
故選：C．
2．在地球上同一地點，不同質(zhì)量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同．物體的下落距離h（m）與下落時間t（s）之間的函數(shù)表達式為h＝gt2．其中g(shù)取值為9.8m/s2．小莉進行自由落體實驗，她從某建筑物拋下一個小球，經(jīng)過4s后落地，則該建筑物的高度約為（ ）
A．98mB．78.4mC．49mD．36.2m
【答案】B
【詳解】解：把t=4代入h＝gt2得，
故選：B．
3．某種花卉每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系，每盆植3株時，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元，要使每盆的盈利達到15元，每盆應(yīng)多植多少株？設(shè)每盆多植x株，則可以列出的方程是（ ）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【答案】A
【詳解】解：設(shè)每盆應(yīng)該多植x株，由題意得
(x+3)(4-0.5x)=15，
故選：A．
4．如圖，用繩子圍成周長為的矩形，記矩形的一邊長為，矩形的面積為．當x在一定范圍內(nèi)變化時，S隨x的變化而變化，則S與x滿足的函數(shù)表達式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】解：由題意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面積滿足的函數(shù)關(guān)系為S＝x（5﹣x），
由題意可知自變量的取值范圍為，
故選：A．
5．某單車公司第一個月投放a輛單車，計劃第三個月投放單車y輛，該公司第二、三兩個月投放單車數(shù)量的月平均增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：由題意得：，
故選B．
6．向空中發(fā)射一枚炮彈，第x秒時的高度為y米，且高度與時間的關(guān)系為y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（ ）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒
【答案】C
【詳解】解：此炮彈在第6秒與第18秒時的高度相等，
拋物線的對稱軸直線是：，
拋物線開口向下，
時，函數(shù)值最大，
即第12秒炮彈所在高度最高，
故選：C．
7．據(jù)了解，某蔬菜種植基地2019年的蔬菜產(chǎn)量為100萬噸，2021年的蔬菜產(chǎn)量為萬噸，如果2019年至2021年蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為，那么關(guān)于的函數(shù)解析式為_________．
【答案】
【詳解】解：根據(jù)題意可得：2020年的蔬菜產(chǎn)量為，
2021年的蔬菜產(chǎn)量為，
∴，
故答案為： ．
8．如圖是一副眼鏡鏡片下半部分輪廓對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱．AB//x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm則右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)表達式為 ___（不用寫x的取值范圍）．
【答案】
【詳解】解：∵眼鏡鏡片下半部分輪廓對應(yīng)的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB∥x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm，
∴點C的坐標為（﹣3，0），點B（﹣1，1），
∴點D（1，1），點F（3，0），
設(shè)右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：y＝a（x﹣3）2，
則1＝a（1﹣3）2，
解得，a＝，
∴右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式為：
9．某商場經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．
（1）若商場每天要獲得銷售利潤2000元，銷售單價應(yīng)定為多少元？
（2）求銷售單價定為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？
【答案】（1）銷售單價應(yīng)定為30元或40元．（2）當單價為35元時，該文具每天的最大利潤為2250元．
【詳解】解：（1）設(shè)銷售單價為x元，根據(jù)題意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40
答：銷售單價應(yīng)定為30元或40元．
（2）設(shè)銷售單價為x元，每天的銷售利潤w元，可列函數(shù)解析式為：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，當x＝35時，w有最大值，最大值為2250元，
答：當單價為35元時，該文具每天的最大利潤為2250元．
10．如圖，ABCD是一塊邊長為4米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在AD的延長線上，DG = 2BE．設(shè)BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不需寫自變量的取值范圍）；
（2）根據(jù)改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，請問此時BE的長為多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【詳解】解：（1）∵BE邊長為x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面積=AE×AG=(4-x)(4+2x)
則苗圃的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+4x+16
（2）依題意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此時BE的長為2米．
題組B 能力提升練
1．如圖是拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點為O，B，以點O為原點，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標系，橋的拱形可以近似看成拋物線y=-0.01（x-20）2+4，橋拱與橋墩AC的交點C恰好位于水面，且AC⊥x軸，若OA=5米，則橋面離水面的高度AC為（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【詳解】解：∵AC⊥x軸，OA=5米，
∴點C的橫坐標為-5，
當x=-5時，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴橋面離水面的高度AC為2.25米．
故選：C．
2．如圖，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，水流噴射的最遠水平距離是（ ）
A．20米B．18米C．10米D．8米
【答案】A
【詳解】解：∵噴水頭的高度（即的長度）是1米．當噴射出的水流距離噴水頭8米時，達到最大高度1.8米，
設(shè)拋物線解析式為，將點代入，得
解得
∴拋物線解析式為
令，解得（負值舍去）
即，
故選：A
3．飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行時間t（單位：秒）的函數(shù)表達式為，當滑行時間為10秒時，滑行距離為450米；當滑行時間為20秒時，滑行距離為600米，則飛機的最大滑行距離為（ ）
A．600米B．800米C．1000米D．1200米
【答案】A
【詳解】解：∵時，；時，，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴當時，S最大，且最大值為600，
即飛機的最大滑行距離為600米，故A正確．
故選：A．
4．使用家用燃氣灶燒開同一壺水所需的燃氣量y（單位：m3）與旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度x（單位：度）（0＜x≤90）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某種家用燃氣灶燒開同一壺水的旋鈕角度x與燃氣量y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出此燃氣灶燒開一壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為（ ）
A．37.5°B．40°
C．42.5°D．45°
【答案】B
【詳解】解：由圖象可得，
該函數(shù)的對稱軸x＞且x＜50，
∴37.5＜x＜50，即對稱軸位于直線x＝37.5與直線x＝50之間且靠近直線x＝37.5
∴此燃氣灶燒開壺水最節(jié)省燃氣的旋鈕角度約為40°，
故選：B．
5．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，點是射線上的動點（點不與點，點重合），點在線段的延長線上，且,連接,．設(shè)，的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：當點在之間時，即，
，則，
，
圖象是開口向下，對稱為：的拋物線，
當點在上方時，即，
，則，
，
圖象是開口向上的拋物線，
故選：B．
6．某超市銷售一種商品，每件成本為元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每月的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，若要求銷售單價不得低于成本，為每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？每月最大利潤是多少？（ ）
A．元，元B．元，元
C．元，元D．元，元
【答案】B
【詳解】解：設(shè)每月總利潤為，
依題意得：
，此圖象開口向下，又，
當時，有最大值，最大值為元．
故選：B．
7．某一型號飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的函數(shù)表達式是，該型號飛機著陸后滑行的最大距離是______．
【答案】600m##600米
【詳解】解：∵，
∴x=20時，y取得最大值，最大值=600，
故答案為：600m．
8．如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，為便于進出，開了3道寬為1米的門．設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，則S與x的之間的函數(shù)表達式為 __；自變量x的取值范圍為 __．
【答案】
【詳解】解：設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，
則S與x的之間的函數(shù)表達式為：；
由題意可得：，
解得：．
故答案為：，．
9．為滿足市場需求，某超市在中秋節(jié)前夕購進價格為12元/盒的某品牌月餅，根據(jù)市場預(yù)測，該品牌月餅每盒售價14元時，每天能售出200盒，并且售價每上漲1元，其銷售量將減少10盒，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定：該品牌月餅的售價不能超過20元/盒．
(1)當銷售單價為多少元時，該超市每天銷售該品牌月餅的利潤為720元；
(2)當銷售單價為多少元時，超市每天銷售該品牌月餅獲得利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)當銷售單價為16元/盒時，該超市每天的利潤為720元
(2)當銷售單價20元/盒時，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元
【詳解】(1)解：設(shè)銷售單價為x元/盒，依據(jù)題意得
解得（不符合題意，舍去）．
答：當銷售單價為16元/盒時，該超市每天的利潤為720元．
(2)設(shè)銷售單價為x元/盒，每天銷售該品牌月餅的利潤為w元，依據(jù)題意得
∵，拋物線開口向下，當時，w隨x的增大而增大．
∴時，w最大為1120元
答：當銷售單價20元/盒時，超市每天獲得利潤最大，最大利潤是1120元．
10．小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)
(2)2或6m
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點為，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點代入，得，
解得，
拋物線的解析式為，
（2）由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
當她的頭頂恰好接觸到水柱時，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，則這兩個正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】∵兩個正方形的周長和是10，如果其中一個正方形的邊長為，
∴另一個正方形的邊長為，
∴這兩個正方形的面積的和S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
故選：D．
2．某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為個檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤元，每提高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加元，用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)件，提高一個檔次將減少件．如果用相同的工時生產(chǎn)，總獲利潤最大的產(chǎn)品是第檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質(zhì)量増加），那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：設(shè)總利潤為y元，
∵第檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了個檔次，
∴每天利潤為，
∴當時，產(chǎn)品利潤最大，每天獲利864元，
故選C．
3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB向B點運動，同時動點Q從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿BC→CD方向運動，當P運動到B點時，P，Q兩點同時停止運動．設(shè)P點運動的時間為t，△APQ的面積為S，則S與t函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵正方形邊長為4，點P的運動速度為每秒1個單位長度，
∴當點P到達B點時，t=4s，
當t=4s時，點Q運動了4×2=8個單位長度，
此時點Q到達點D，
故點Q的運動軌跡為：點B——點C——點D；
令運動時間為t，
當點Q在BC上運動時，BQ=2t，AP=t
（0

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