知識精講
知識點01 弧、弦、圓心角的關(guān)系
1．圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣 叫做圓心角．
2．定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的 相等，所對的 也相等．
3．推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的 相等，所對的 也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的 相等，所對的 也相等．
【注意】
(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.
(2)注意定理中不能忽視“ ”這一前提.
知識點02 圓周角
1．圓周角定義
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在 ，并且兩邊都與圓 的角叫做圓周角．
2．圓周角定理
在同圓或等圓中， 所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的 ．
3．圓周角定理的推論
半圓(或直徑)所對的圓周角是 ，90°的圓周角所對的弦是 ．
【注意】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在 中.
4．圓內(nèi)接四邊形
(1)定義: 圓內(nèi)接四邊形： ，叫圓內(nèi)接四邊形．
(2)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形 ，外角等于 (即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角)．
5．弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系
在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等。(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等。能力拓展
考法 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用
【典例1】下列命題中，正確的是（ ）
A．和半徑垂直的直線是圓的切線B．平分直徑一定垂直于弦
C．相等的圓心角所對的弧相等D．垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧
【即學(xué)即練】下列四個命題中，真命題是( )
A．如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等
B．圓是軸對稱圖形， 任何一條直徑都是圓的對稱軸
C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦
D．等弧所對的圓周角相等
【典例2】如圖，⊙O的半徑為9cm，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點D，則AB的長為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作于點E，延長DE交⊙于點F，若，⊙的直徑為10，則AC長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例3】如圖，為的直徑，是弦，且于點E．連接、、．
(1)求證：；
(2)若，求弦的長．
【即學(xué)即練】如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E．
(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；
(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長的比為（ ）
A．B．C．D．
2．下列命題：①三點確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
3．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．70°B．60°C．40°D．35°
4．如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為E，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．AE=BEB．CE=DEC．AC=BCD．AD=BD
5．如圖，AB是⊙O的弦，點C是的中點，OC交AB于點D．若，⊙O的半徑為5，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分別為M、N，BA、DC的延長線交于點P，連接OP．下列四個說法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．如圖，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，連接AC，CD，則AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
8．如圖，在⊙O中，，∠1＝45°，則的度數(shù)為 ___．
9．已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD，求證：AC＝BD
10．如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．
題組B 能力提升練
1．如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
2．將一張正方形的透明紙片ABCD和按如圖位置疊放，頂點A、D在上，邊AB、BC、CD分別與相交于點E、F、G、H，則下列弧長關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的弦所對的弧相等
B．圓心角相等，其所對的弦相等
C．在同圓或等圓中，圓心角不等，所對的弦不相等
D．弦相等，它所對的圓心角相等
5．如圖，AB 為⊙O 的直徑，點 D 是弧 AC 的中點，過點 D 作 DE⊥AB 于點 E，延長 DE 交⊙O 于點 F，若 AC＝12，AE＝3，則⊙O 的直徑長為（ ）
A．7.5B．15
C．16D．18
6．如圖，是的直徑，且，點，在上，，，點是線段的中點，則（ ）
A．1B．C．3D．
7．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠BAC=42°，OD⊥BC于點E，則∠BDE為_____°．
8．如圖，⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD，垂足為E，且BC=2AD，則AD+BC的值為_______．
9．如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD//BC，求證：D為的中點．
10．如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．
（1）求證：AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
2．有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長關(guān)系何者正確？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（ ）
A．25B．25C．D．
4．如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（ ）.
A．B．C．4D．3
5．如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于點E．若∠ECA＝40°，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠ABC =70°B．∠BAD =80°C．CE =CDD．CE =AE
6．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，OB＝5，，點E是點D關(guān)于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結(jié)論：①的長度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
7．如圖，點A、B、C、D、E都是圓O上的點，，∠B＝116°，則∠D的度數(shù)為______度．
8．如圖，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若，則長的最小值為______．
9．如圖，上依次有，，，四個點，弧弧，連接，，，延長到點，使，連接，是的中點，連接，求證：．
10．已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為弧BC的中點．
（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；
（2）如圖②，過點D作DE⊥AB交⊙O于點E，直徑EF交AC于點G，若G為AC的中點，⊙O的半徑為2，求AC的長．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解圓心角、圓周角的概念；
（2）理解圓周角定理及其推論，能靈活運用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問題；
（3）掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應(yīng)相等，及其它們在解題中的應(yīng)用．
第21課 弧、弦、圓心角、圓周角
目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點01 弧、弦、圓心角的關(guān)系
1．圓心角定義
如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．
2．定理：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
3．推論：
在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．
在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．
【注意】
(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征.
(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.
知識點02 圓周角
1．圓周角定義
像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．
2．圓周角定理
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
3．圓周角定理的推論
半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．
【注意】
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.
(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.
4．圓內(nèi)接四邊形
(1)定義: 圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．
(2)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角(即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角)．
5．弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系
在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等。(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等。
能力拓展
考法 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用
【典例1】下列命題中，正確的是（ ）
A．和半徑垂直的直線是圓的切線B．平分直徑一定垂直于弦
C．相等的圓心角所對的弧相等D．垂直于弦的直徑必平分弦所對的弧
【答案】D
【詳解】A項還可能與圓相交，故錯誤不選；
B項過圓心的直線都平分直徑，但不一定垂直于弦，故錯誤不選；
C項如果半徑不等，則對應(yīng)的弧也不相等，故錯誤不選；
D項說法正確．
故答案選D．
【即學(xué)即練】下列四個命題中，真命題是( )
A．如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等
B．圓是軸對稱圖形， 任何一條直徑都是圓的對稱軸
C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦
D．等弧所對的圓周角相等
【答案】D
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，故此選項錯誤，不符合題意；
B、圓是軸對稱圖形， 任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，故此選項錯誤，不符合題意；
C、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故此選項錯誤，不符合題意；
D、等弧所對的圓周角相等正確，故此選項正確，符合題意，
故選：D．
【典例2】如圖，⊙O的半徑為9cm，AB是弦，OC⊥AB于點C，將劣弧AB沿弦AB折疊交于OC的中點D，則AB的長為（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【詳解】解：連接OA，
∵將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點D，
∴OCr＝6（cm），OC⊥AB，
∴AC＝CB3（cm），
∴AB＝2AC＝6（cm），
故選：D．
【即學(xué)即練】如圖，AB是⊙的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作于點E，延長DE交⊙于點F，若，⊙的直徑為10，則AC長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【詳解】解：連接，如圖：
，過圓心，
，，
為弧的中點，
，
，
，
的直徑為10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故選：D．
【典例3】如圖，為的直徑，是弦，且于點E．連接、、．
(1)求證：；
(2)若，求弦的長．
【答案】(1)見解析
(2)弦BD的長為16cm
【詳解】（1）∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
（2）∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC為⊙O的直徑，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【即學(xué)即練】如圖，⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E．
(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；
(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)見解析
【詳解】（1）連接AC，
∵為120°，為50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）證明：連接AC、BD，
∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長的比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】∵弦AB把⊙O分成度數(shù)比為1：3兩條弧，
∴弦所對的圓心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
過點O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距與弦長的比為1：2．
故選：D．
2．下列命題：①三點確定一個圓；②直徑是圓的對稱軸；③平分弦的直徑垂直于弦；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤相等的圓心角所對的弧相等，正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】A
【詳解】解：①不在同一條直線上的三個點確定一個圓，故本小題錯誤；
②直徑所在的直線為圓的對稱軸，故本小題錯誤；
③平分弦的直徑垂直于弦（非直徑），故本小題錯誤；
④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，故本小題錯誤；
⑤在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本小題錯誤．
∴正確命題的個數(shù)為0個．
故選：A．
3．如圖，點A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點B是的中點，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．70°B．60°C．40°D．35°
【答案】D
【詳解】解：連接OB，如圖所示，
∵點B是的中點，∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圓周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故選：D．
4．如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為E，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．AE=BEB．CE=DEC．AC=BCD．AD=BD
【答案】B
【詳解】∵CD⊥AB，CD為直徑，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故選:B．
5．如圖，AB是⊙O的弦，點C是的中點，OC交AB于點D．若，⊙O的半徑為5，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接OA，OB，
∵C是的中點，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三線合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故選：B．
6．如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分別為M、N，BA、DC的延長線交于點P，連接OP．下列四個說法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【詳解】解：如圖連接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正確；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正確；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正確；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正確，
綜上，四個選項都正確，
故選：D．
7．如圖，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，連接AC，CD，則AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【詳解】解：如圖，連接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案為：
8．如圖，在⊙O中，，∠1＝45°，則的度數(shù)為 ___．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴∠2=∠1=45°，
，
故答案為：．
9．已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD，求證：AC＝BD
【答案】見解析
【詳解】證：∵
∴
∴
10．如圖，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以點A為圓心，AC長為半徑作圓，交BC于點D，交AB于點E，連接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的長．
【答案】（1）65°；（2）．
【詳解】解：（1）如圖，連接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°?50°) =65°；
（2）如圖，過點A作AF⊥CD，垂足為F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵?AF?BC=?AC?AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
題組B 能力提升練
1．如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（ ）
A．98°B．103°C．108°D．113°
【答案】C
【詳解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圓O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故選C．
2．將一張正方形的透明紙片ABCD和按如圖位置疊放，頂點A、D在上，邊AB、BC、CD分別與相交于點E、F、G、H，則下列弧長關(guān)系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】如圖，連接，過點作，交于，交于，則，
四邊形是正方形，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，，故該選項正確，符合題意；
D.，，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C.
3．如圖，點A，B，C，D是⊙O上的四個點，且，OE⊥AB，OF⊥CD，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C選項正確，不符合題意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B選項正確，不符合題意．
故選D
4．下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的弦所對的弧相等
B．圓心角相等，其所對的弦相等
C．在同圓或等圓中，圓心角不等，所對的弦不相等
D．弦相等，它所對的圓心角相等
【答案】C
【詳解】解：A、B、D結(jié)論若成立，都必須以“在同圓或等圓中”為前提條件，所以A、B、D錯誤；
故選：C．
5．如圖，AB 為⊙O 的直徑，點 D 是弧 AC 的中點，過點 D 作 DE⊥AB 于點 E，延長 DE 交⊙O 于點 F，若 AC＝12，AE＝3，則⊙O 的直徑長為（ ）
A．7.5B．15
C．16D．18
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵點D是弧AC的中點，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
設(shè)OA=OF=x，
在Rt△OEF中，則有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故選：B．
6．如圖，是的直徑，且，點，在上，，，點是線段的中點，則（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【詳解】∵，，
∴，
∴，
∵，為中點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故選B．
7．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠BAC=42°，OD⊥BC于點E，則∠BDE為_____°．
【答案】69
【詳解】解：如圖，連接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四個點，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案為：69．
8．如圖，⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD，垂足為E，且BC=2AD，則AD+BC的值為_______．
【答案】12
【詳解】解：如圖，作直徑BF，連接DF，F(xiàn)C．
∵BF是直徑，
∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴DFAC，
∴∠CDF=∠ACD，
∴，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假設(shè)FC=k，BC=2k，
∴k2+（2k）2=（4）2，
∴k=4或-4（舍棄），
∴BC=8，F(xiàn)C=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案為：12．
9．如圖，已知C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，連接BC，OC，OD，若OD//BC，求證：D為的中點．
【答案】見解析
【詳解】，
，.
，
，
.
.
∴D為的中點．
10．如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．
（1）求證：AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【詳解】證明：（1）過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，如圖所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度數(shù)20°．
故選：C．
2．有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長關(guān)系何者正確？（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【詳解】解：連接，，
直徑，，，
，
，
，
，
，
直徑，，，
，
，
，
，
所以B符合題意，
故選：B．
3．如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（ ）
A．25B．25C．D．
【答案】D
【詳解】解：連OC，如圖，
∵C是的中點，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，
∴S四邊形AOBC=．
故選：D．
4．如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（ ）.
A．B．C．4D．3
【答案】D
【詳解】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH為△CBF的中位線，
∴AH=BF=3,
故選：D.
5．如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于點E．若∠ECA＝40°，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠ABC =70°B．∠BAD =80°C．CE =CDD．CE =AE
【答案】C
【詳解】A.∵直線l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以點A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正確，不符合題意；
B.∵以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正確，不符合題意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C錯誤，符合題意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正確，不符合題意．
6．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，OB＝5，，點E是點D關(guān)于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結(jié)論：①的長度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【詳解】解：，點是點關(guān)于的對稱點，
，
，
的長度是，
①正確；
，
②正確；
的度數(shù)是，
的度數(shù)是，
只有當(dāng)和重合時，，
，
只有和重合時，，
③錯誤；
作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接交于，此時的值最短，等于長，
連接，
，并且弧的度數(shù)都是，
，，
，
是的直徑，
即，
的最小值是10，
④正確；
綜上所述，正確的個數(shù)是3個．
故選：．
7．如圖，點A、B、C、D、E都是圓O上的點，，∠B＝116°，則∠D的度數(shù)為______度．
【答案】128
【詳解】解：連接AD．
∵，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故選：128．
8．如圖，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若，則長的最小值為______．
【答案】
【詳解】如圖，作點D關(guān)于OB的對稱點D′，連接D′C交OB于點E′，連接OD′，
此時E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
故答案為．
9．如圖，上依次有，，，四個點，弧弧，連接，，，延長到點，使，連接，是的中點，連接，求證：．
【答案】證明見解析
【詳解】證明：連接AC，
∵AB=BE，
∴點B為AE的中點，
∵F是EC的中點，
∴BF為△EAC的中位線，
∴BF=，
∵，
∴ ，
∴BD=AC，
∴BF=．
10．已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為弧BC的中點．
（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；
（2）如圖②，過點D作DE⊥AB交⊙O于點E，直徑EF交AC于點G，若G為AC的中點，⊙O的半徑為2，求AC的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【詳解】（1）證明：為的中點，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：為中點，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
課程標(biāo)準(zhǔn)
（1）了解圓心角、圓周角的概念；
（2）理解圓周角定理及其推論，能靈活運用圓周角的定理及其推理解決有關(guān)問題；
（3）掌握在同圓或等圓中，三組量：兩個圓心角、兩條弦、兩條弧，只要有一組量相等，就可以推出其它兩組量對應(yīng)相等，及其它們在解題中的應(yīng)用．

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