知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的概念
1、對(duì)“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有 未知數(shù)；
②二次：未知數(shù)的 為2；
2、一元二次方程滿足的三個(gè)條件
①方程必須是 方程（不得含有分式，即未知數(shù)不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有 個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的 為2；
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次方程的一般形式
1、一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)，都可以寫成
的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左邊為關(guān)于x的 ，等式右邊 ；
2、一元二次方程的項(xiàng)和系數(shù)
3、一元二次方程的特殊形式：
【注意】
（1）將一元二次方程化為一般形式，如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，一般將方程兩邊同乘以-1，將二次項(xiàng)系數(shù)a化為 ；
（2）找一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，首先要將一元二次方程 ，再找二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，并且要帶上前面的 ；
（3）若方程中沒(méi)有出現(xiàn)一次項(xiàng) 或常數(shù)項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為 ；
知識(shí)點(diǎn)03 一元二次方程的根
一元二次方程的根滿足兩個(gè)條件：
（1）根就是未知數(shù)的值；
（2）使方程兩邊相等；
用法：已知方程的根，則將方程的根代入未知數(shù)，等式成立。
應(yīng)用：
1.判斷根的方法:分別將未知數(shù)的值代入原方程,看左右兩邊 , 則是,否則不是.
2.根據(jù)方程根的定義,將方程的根代入原方程求解,從而確定某些字母的取值或求出給定代數(shù)式的值.
知識(shí)點(diǎn)04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根
（1）首先觀察下表：
（2）由上表，根據(jù)a、b、c的等式，得出方程的根
【注意】
①由a、b、c的等式，判斷方程的根時(shí)，要將a、b、c放在等號(hào)的一側(cè)；
②根據(jù)一元二次方程的一般式可知，c的系數(shù)為 ，故一定要將c的系數(shù)化為 ；
③根據(jù)一元二次方程的一般式可知，一次項(xiàng)bx可知，b的 即為方程的根x；
能力拓展
考法01 一元二次方程的判斷
【例題1】下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是( )
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0(a，b，c為常數(shù))B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0D．x2+2x＝x2﹣1
【即學(xué)即練1】下列哪個(gè)方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1B．x2+1=2xyC．x2+=3D．x2=2x﹣3
【即學(xué)即練2】下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）
A．B．C．=0D．
考法02 一元二次方程的定義
【例題2】若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則( )
A．B．C．D．
【即學(xué)即練1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【即學(xué)即練2】已知方程.
（1）當(dāng)取何值時(shí)是一元二次方程？
（2）當(dāng)取何值時(shí)是一元一次方程？
考法03 一元二次方程的一般式
【例題3】填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是__________，一次項(xiàng)的系數(shù)是__________， 常數(shù)項(xiàng)是__________．
（5）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是_______，一次項(xiàng)的系數(shù)是_______，常數(shù)項(xiàng)是_______．
（6）當(dāng)__________ 時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．
【即學(xué)即練1】下列方程中哪些是一元二次方程？將一元二次方程寫成一般式的形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【即學(xué)即練2】方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【即學(xué)即練3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化為一般形式，正確的是( )
A．x2+4x+3＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2﹣3x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝0
考法04 一元二次方程的根
【例題4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一個(gè)根為1，則k的值為（ ）
A．?2B．2C．?4D．4
【即學(xué)即練1】如果關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)解是0，那么m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．0或﹣3
【即學(xué)即練2】若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【即學(xué)即練3】已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A．0B．1C．3D．不確定
【即學(xué)即練4】關(guān)于的方程必有一個(gè)根為（ ）
A．x=1B．x=-1C．x=2D．x=-2
【即學(xué)即練5】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一個(gè)非零根﹣b，則a﹣b的值為（ ）
A．1B．﹣1C．0D．﹣2
【即學(xué)即練6】?jī)蓚€(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
考法05 由a、b、c的等式得出方程的根
【例題5】若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
【即學(xué)即練1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，則此方程必有一根為 ；
（2）若a-b+c=0，則此方程必有一根為 ；
（3）若4a-2b+c=0，則此方程必有一根為 ．
考法06 整體代換思想
【例題6】已知整式的值為6，則整式2x2-5x+6的值為（ ）
A．9B．12C．18D．24
【即學(xué)即練1】已知a是方程x2-2x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2-4a-1的值為（ ）
A．1B．C．或1D．2
【即學(xué)即練2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一個(gè)根，則的值為（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【即學(xué)即練3】已知x＝﹣1是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．
【即學(xué)即練4】是方程的根，則式子的值為（ ）
A．2014B．2015C．2016D．2017
考法07 列一元二次方程
【例題1】根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多，面積是，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x；
（2）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10，兩條直角邊相差2，求較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)x；
（3）在一次新年聚會(huì)中，小朋友們互相贈(zèng)送禮物，全部小朋友共互贈(zèng)了110件禮物，假設(shè)參加聚會(huì)小朋友有x人．
【即學(xué)即練1】根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長(zhǎng).
（2）一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，求矩形的長(zhǎng).
（3）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10，兩條直角邊相差2，求較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng).
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．若方程（m-1）x2+x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠1B．m≠0
C．m≥0且m≠1D．m為任意實(shí)數(shù)
2．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則的值是（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個(gè)根為-1，則a-b+c的值是( )
A．-1B．1C．0D．不能確定
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一個(gè)解，則m的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣3D．3
6．若是方程的根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．關(guān)于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一個(gè)根為0，則a的值為（ ）
A．2B．－2C．±2D．0
8．若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0(a)必有一個(gè)根是（ ）
A．0B．1C．-1D．
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為( )
A．2，1，－3B．2，3，－1C．2，3，1D．2，1，3
10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么m的值為（ ）
A．2或－2B．2C．－2D．0
11．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常數(shù)項(xiàng)為0
D．一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都不能為0
12．一元二次方程化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，則的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
題組B 能力提升練
13．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個(gè)根是2，則m+n＝_____．
14．若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1，則_________．
15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=_____．
16．若a是方程的解，計(jì)算：=______.
17．關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
18．若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則a的值為_(kāi)________．
19．某商品的原價(jià)為120元，如果經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是_____元（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，則常數(shù)m的值是___．
21．已知=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 k 為_(kāi)__________．
題組C 培優(yōu)拔尖練
22．某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于的方程提出了下列問(wèn)題：
（1）是否存在的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
23．若m是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代數(shù)式的值．
24．一元二次方程化為一般形式后為，試求的值．
25．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根為－1，且a＝＋－2，求的值.
26．試證明關(guān)于的方程無(wú)論取何值，該方程都是一元二次方程；
學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）會(huì)設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟練地把一元二次方程化成一般形式，并準(zhǔn)確地指出各項(xiàng)系數(shù).



a為
b為



已知方程的根
得出等式
x=1

x=

x=2

x=

已知等式
方程的根










第01課 一元二次方程
目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的概念
1、對(duì)“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有一個(gè)未知數(shù)；
②二次：未知數(shù)的最高次為2；
2、一元二次方程滿足的三個(gè)條件
①方程必須是整式方程（不得含有分式，即未知數(shù)不在分母位置上，例如不是整式方程）；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次為2；
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次方程的一般形式
1、一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)，都可以寫成
的形式，叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左邊為關(guān)于x的二次整式，等式右邊等于0；
2、一元二次方程的項(xiàng)和系數(shù)
3、一元二次方程的特殊形式：
【注意】
（1）將一元二次方程化為一般形式，如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，一般將方程兩邊同乘以-1，將二次項(xiàng)系數(shù)a化為正數(shù)；
（2）找一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，首先要將一元二次方程化為一般形式，再找二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，并且要帶上前面的符號(hào)；
（3）若方程中沒(méi)有出現(xiàn)一次項(xiàng) 或常數(shù)項(xiàng)，則該項(xiàng)的系數(shù)為0；
知識(shí)點(diǎn)03 一元二次方程的根
一元二次方程的根滿足兩個(gè)條件：
（1）根就是未知數(shù)的值；
（2）使方程兩邊相等；
用法：已知方程的根，則將方程的根代入未知數(shù)，等式成立。
應(yīng)用：
1.判斷根的方法:分別將未知數(shù)的值代入原方程,看左右兩邊是否相等,相等則是,否則不是.
2.根據(jù)方程根的定義,將方程的根代入原方程求解,從而確定某些字母的取值或求出給定代數(shù)式的值.
知識(shí)點(diǎn)04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根
（1）首先觀察下表：
（2）由上表，根據(jù)a、b、c的等式，得出方程的根
【注意】
①由a、b、c的等式，判斷方程的根時(shí)，要將a、b、c放在等號(hào)的一側(cè)；
②根據(jù)一元二次方程的一般式可知，c的系數(shù)為1，故一定要將c的系數(shù)化為 ；
③根據(jù)一元二次方程的一般式可知，一次項(xiàng)bx可知，b的系數(shù)即為方程的根x；
能力拓展
考法01 一元二次方程的判斷
【例題1】下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是( )
A．a(chǎn)x2+bx+c＝0(a，b，c為常數(shù))B．x2﹣x﹣2＝0
C．﹣2＝0D．x2+2x＝x2﹣1
【答案】B
【解析】
A．若a＝0，則該方程不是一元二次方程，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
B．符合一元二次方程的定義，故B選項(xiàng)正確，
C．屬于分式方程，不符合一元二次方程的定義，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
D．整理后方程為：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定義，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選B．
【即學(xué)即練1】下列哪個(gè)方程是一元二次方程（ ）
A．2x+y=1B．x2+1=2xyC．x2+=3D．x2=2x﹣3
【答案】D
【解析】
A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正確；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正確；
C. x2＋＝3是分式方程，故不正確；
D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正確；
故選：D
【即學(xué)即練2】下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）
A．B．C．=0D．
【答案】A
【解析】
A、根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，故A正確，
B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，不選B，
C、二次項(xiàng)系數(shù)為a是否為0，不確定，不選C，
D、沒(méi)有二次項(xiàng)，不是一元二次方程，不選D．
故選擇：A．
考法02 一元二次方程的定義
【例題2】若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由一元二次方程的定義可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案為A
【即學(xué)即練1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【答案】9
【解析】
∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,
∴解得
故a=9.
【即學(xué)即練2】已知方程.
（1）當(dāng)取何值時(shí)是一元二次方程？
（2）當(dāng)取何值時(shí)是一元一次方程？
【答案】（1）（2）或－1
【解析】
(1) 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2，
m=1，
當(dāng)m=1時(shí),方程是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，
①m+1≠0,m2+1=1，
m=0；
②m+1=0，解得m=?1；
當(dāng)m=0或m=?1時(shí),方程是一元一次方程.
考法03 一元二次方程的一般式
【例題3】填空：
（1）一元二次方程的一般式是 __________．
（2）把一元二次方程化成一般式是__________．
（3）把一元二次方程化成一般式是__________．
（4）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是__________，一次項(xiàng)的系數(shù)是__________， 常數(shù)項(xiàng)是__________．
（5）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是_______，一次項(xiàng)的系數(shù)是_______，常數(shù)項(xiàng)是_______．
（6）當(dāng)__________ 時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．
【答案】
（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；（2），（3）；（4）4，0，-3；（5）3，-5，-5；（6）≠3.
【解析】
解：（1）一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
（2）把一元二次方程化成一般式是：；
（3）把一元二次方程化成一般式是：．
（4）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是：4，一次項(xiàng)的系數(shù)是：0， 常數(shù)項(xiàng)是：-3；
（5）一元二次方程的二次項(xiàng)的系數(shù)是：3，一次項(xiàng)的系數(shù)是：-5，常數(shù)項(xiàng)是：-5．
（6）當(dāng)m≠3時(shí)，關(guān)于的方程是一元二次方程．
【即學(xué)即練1】下列方程中哪些是一元二次方程？將一元二次方程寫成一般式的形式，并指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析；（5）見(jiàn)解析；（6）見(jiàn)解析.
【解析】
解：（1）未知數(shù)最高次數(shù)是1，故不是一元二次方程；
（2）是一元二次方程，一般形式為：，二次項(xiàng)系數(shù)是：1，一次項(xiàng)系數(shù)是：0，,常數(shù)項(xiàng)是：-4；
（3）是分式方程，故不是一元二次方程；
（4）將方程左右展開(kāi)后可得：4x+8=0，未知數(shù)最高次數(shù)是1，故不是一元二次方程；
（5）方程中，當(dāng)a=0時(shí)不是一元二次方程，故不是一元二次方程；
（6）是一元二次方程，一般形式為：，二次項(xiàng)系數(shù)是：2，一次項(xiàng)系數(shù)是：-5，,常數(shù)項(xiàng)是：7.
【即學(xué)即練2】方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
【答案】D
【解析】
解：可變形為：，
∴二次項(xiàng)系數(shù)為：2，一次項(xiàng)系數(shù)為：，常數(shù)項(xiàng)為：，
故選D．
【即學(xué)即練3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化為一般形式，正確的是( )
A．x2+4x+3＝0B．x2﹣2x+2＝0C．x2﹣3x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣2＝0
【答案】D
【解析】
一元二次方程的一般形式為
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故選D．
考法04 一元二次方程的根
【例題4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一個(gè)根為1，則k的值為（ ）
A．?2B．2C．?4D．4
【答案】B
【解析】
解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故選B．
【即學(xué)即練1】如果關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)解是0，那么m的值是（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．0或﹣3
【答案】A
【解析】
把x=0代入方程中；
得： ；
解得或；
當(dāng)時(shí),原方程二次項(xiàng)系數(shù),舍去,
故選A
【即學(xué)即練2】若n（）是關(guān)于x的方程的根，則m+n的值為（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】D
【解析】
解：∵是關(guān)于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即m+n=-2,
故選D.
【即學(xué)即練3】已知下面三個(gè)關(guān)于的一元二次方程，，恰好有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A．0B．1C．3D．不確定
【答案】A
【解析】
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故選A．
【即學(xué)即練4】關(guān)于的方程必有一個(gè)根為（ ）
A．x=1B．x=-1C．x=2D．x=-2
【答案】A
【解析】
解：A、當(dāng)是，，所以方程必有一個(gè)根為1，所以A選項(xiàng)正確；
B、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A
【即學(xué)即練5】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一個(gè)非零根﹣b，則a﹣b的值為（ ）
A．1B．﹣1C．0D．﹣2
【答案】A
【解析】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一個(gè)非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程兩邊同時(shí)除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故選A．
【即學(xué)即練6】?jī)蓚€(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（ ）
A．2020B．C．-2020D．
【答案】C
【解析】
∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一個(gè)根，
∴是方程的一個(gè)根，
∴是方程的一個(gè)根，
即是方程的一個(gè)根
故選：C．
考法05 由a、b、c的等式得出方程的根
【例題5】若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
【答案】A
【解析】
解：∵，
把代入得：，
即方程的一個(gè)解是，
把代入得：，
即方程的一個(gè)解是；
故選：A．
【即學(xué)即練1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若a+b+c=0，則此方程必有一根為 ；
（2）若a-b+c=0，則此方程必有一根為 ；
（3）若4a-2b+c=0，則此方程必有一根為 ．
【答案】（1）1 （2）-1 （3）-2
【解析】
解：對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
（1）當(dāng)a+b+c=0時(shí)，x=1；
（2）當(dāng)a-b-c=0時(shí)，x=-1；
（3）當(dāng)4a-2b+c=0時(shí)，x=-2.
故答案是：（1）1 （2）-1 （3）-2
考法06 整體代換思想
【例題6】已知整式的值為6，則整式2x2-5x+6的值為（ ）
A．9B．12C．18D．24
【答案】C
【解析】
觀察題中的兩個(gè)代數(shù)式，可以發(fā)現(xiàn)，2x2-5x=2（x2-x），因此可整體求出式x2-x的值，然后整體代入即可求出所求的結(jié)果．
解答：解：∵x2-x=6
∴2x2-5x+6=2（x2-x）+6
=2×6+6=18，故選C．
【即學(xué)即練1】已知a是方程x2-2x-1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a2-4a-1的值為（ ）
A．1B．C．或1D．2
【答案】A
【解析】
∵a是方程的一個(gè)根，
∴
∴
故選A.
【即學(xué)即練2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一個(gè)根，則的值為（ ）
A．B．C．﹣1D．1
【答案】D
【解析】
原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一個(gè)根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故選D．
【即學(xué)即練3】已知x＝﹣1是一元二次方程的一個(gè)根，求的值．
【答案】﹣1．
【解析】
解：∵x＝﹣1是一元二次方程的一個(gè)根，
．
．
【即學(xué)即練4】是方程的根，則式子的值為（ ）
A．2014B．2015C．2016D．2017
【答案】B
【解析】
∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故選B．
考法07 列一元二次方程
【例題1】根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多，面積是，求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)x；
（2）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10，兩條直角邊相差2，求較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)x；
（3）在一次新年聚會(huì)中，小朋友們互相贈(zèng)送禮物，全部小朋友共互贈(zèng)了110件禮物，假設(shè)參加聚會(huì)小朋友有x人．
【答案】
（1），化為一般形式是；
（2），化為一般形式是；
（3），化為一般形式為．
【解析】
解：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，則寬為，
∴，
化為一般形式是；
（2）依題意得，
化為一般形式是；
（3）假設(shè)參加聚會(huì)的有x個(gè)小朋友，那么每個(gè)小朋友應(yīng)該送出件禮物，則x個(gè)小朋友共送出件禮物，可列方程為，
化為一般形式為．
【即學(xué)即練1】根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長(zhǎng).
（2）一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，求矩形的長(zhǎng).
（3）一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為10，兩條直角邊相差2，求較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng).
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】
（1）依題意得，，
化為一元二次方程的一般形式得，.
（2）依題意得，，
化為一元二次方程的一般形式得，.
（3）依題意得，，
化為一元二次方程的一般形式得，.
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．若方程（m-1）x2+x=1是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠1B．m≠0
C．m≥0且m≠1D．m為任意實(shí)數(shù)
【答案】C
【解析】
解：根據(jù)題意得：
解得：m≥0且m≠1．
故選C．
2．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
A選項(xiàng)：時(shí)，方程就不是二次方程，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：x在分母上，不滿足方程左右兩邊均為整式的條件，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：整理得：，符合一元二次方程的定義，故C正確；
D選項(xiàng)：整理得：，故D錯(cuò)誤．
綜上所述．
故選：C．
3．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則的值是（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
【答案】A
【解析】
解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故選A．
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個(gè)根為-1，則a-b+c的值是( )
A．-1B．1C．0D．不能確定
【答案】C
【解析】
解：將x=-1代入方程得， a-b+c=0
故答案為C
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一個(gè)解，則m的值是（ ）
A．4B．﹣4C．﹣3D．3
【答案】A
【解析】
解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．
故選：A．
6．若是方程的根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
是方程的根，
，
故選：C．
7．關(guān)于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一個(gè)根為0，則a的值為（ ）
A．2B．－2C．±2D．0
【答案】A
【解析】
把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋20，∴a=2，選A.
8．若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=0(a)必有一個(gè)根是（ ）
A．0B．1C．-1D．
【答案】C
【解析】
∵x=-1時(shí)，代入方程得a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0
故方程有一個(gè)根是x=-1
故選C.
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為( )
A．2，1，－3B．2，3，－1C．2，3，1D．2，1，3
【答案】B
【解析】
2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0，
它的二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是3，常數(shù)項(xiàng)是-1．
故選B．
10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么m的值為（ ）
A．2或－2B．2C．－2D．0
【答案】B
【解析】
解：由題意得：|m|=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
故選：B．
11．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常數(shù)項(xiàng)為0
D．一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都不能為0
【答案】B
【解析】
A.一元二次方程的一般形式規(guī)定a、b、c為常數(shù)且a≠0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B.(x＋1)(x－1)＝0變形后為x2-1=0，是一元二次方程，故此選項(xiàng)正確；
C.該方程的常數(shù)項(xiàng)是－1，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D.一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，一次項(xiàng)系數(shù)可以為0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選B.
12．一元二次方程化成一般式后，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，則的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】B
【解析】
方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵結(jié)果一次項(xiàng)系數(shù)為﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故選B．
題組B 能力提升練
13．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個(gè)根是2，則m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
∵2是關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根，
∴，
∴n＋m＝?2，
故答案為?2．
14．若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1，則_________．
【答案】1
【解析】
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=_____．
【答案】2
【解析】
解：由題意得，，解得，
16．若a是方程的解，計(jì)算：=______.
【答案】0
【解析】
∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案為0．
17．關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），則方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
解：∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0變形為a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解為x1=-4，x2=-1．
故答案為x1=-4，x2=-1．
18．若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為0，則a的值為_(kāi)________．
【答案】-2
【解析】
解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
當(dāng)a=2時(shí)，a-2=0，此時(shí)方程不是一元二次方程，舍去；
則a的值為-2．
故答案為：-2．
19．某商品的原價(jià)為120元，如果經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，且每次降價(jià)的百分率都是m，那么該商品現(xiàn)在的價(jià)格是_____元（結(jié)果用含m的代數(shù)式表示）．
【答案】100（1﹣m）2
【解析】
第一次降價(jià)后價(jià)格為100（1-m）元，第二次降價(jià)是在第一次降價(jià)后完成的，所以應(yīng)為100（1-m）（1-m）元，
即100（1-m）2元．
故答案為100（1-m）2．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，則常數(shù)m的值是___．
【答案】-2．
【解析】
設(shè)方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根為t，
則t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么兩個(gè)方程均為x2+x+1=0無(wú)解，不符合題意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常數(shù)m的值為-2．
故答案為-2．
21．已知=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 k 為_(kāi)__________．
【答案】-2
【解析】
已知=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，可得，1-k≥0，解得k=-2.
題組C 培優(yōu)拔尖練
22．某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)關(guān)于的方程提出了下列問(wèn)題：
（1）是否存在的值，使方程為一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程為一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
【答案】（1）1 （2），；，
【解析】
解：（1）根據(jù)一元二次方程的定義，得
解得．
（2）由題可知，當(dāng)即時(shí)，方程為一元一次方程．
此時(shí)方程為，解得；
當(dāng)即時(shí)，方程為一元一次方程，
此時(shí)方程為，解得．
23．若m是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代數(shù)式的值．
【答案】（1）；（2）4
【解析】
（1）由于是關(guān)于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，該方程為，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
24．一元二次方程化為一般形式后為，試求的值．
【答案】
【解析】
解：原方程可化為： ax2?（2a?b）x＋a?b＋c＝0，
由題意得，a＝2，2a?b＝3，a?b＋c＝?1，
解得：a＝2，b＝1，c＝?2，
∴．
25．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根為－1，且a＝＋－2，求的值.
【答案】0
【解析】
∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，則a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
26．試證明關(guān)于的方程無(wú)論取何值，該方程都是一元二次方程；
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
∵a2?8a+20=(a?4)2+4?4，
∴無(wú)論a取何值，a2?8a+20?4，即無(wú)論a取何值，原方程的二次項(xiàng)系數(shù)都不會(huì)等于0，
∴關(guān)于x的方程(a2?8a+20)x2+2ax+1=0，無(wú)論a取何值，該方程都是一元二次方程．學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）會(huì)設(shè)未知數(shù)，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟練地把一元二次方程化成一般形式，并準(zhǔn)確地指出各項(xiàng)系數(shù).
二次項(xiàng)
一次項(xiàng)
常數(shù)項(xiàng)
a為二次項(xiàng)系數(shù)
b為一次項(xiàng)系數(shù)
已知方程的根
得出等式
x=1

x=
x=2
x=
已知等式
方程的根
x=1
x=1
x=
x=
x=2
x=2
x=
x=

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