知識精講
知識點01 圓的定義及性質(zhì)
1．圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做 . 以點O為圓心的圓，記作“ ”，讀作“圓O”．
【注意】
①圓心確定圓的 ，半徑確定圓的 ；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi) 的集合.
【注意】
①定點為圓心，定長為半徑；
②圓指的是圓周，而不是圓面；
③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.
2．圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是 圖形，對稱中心是 ；
②圓是 圖形：任何一條直徑 都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條 都是圓的對稱軸.
【注意】
①圓有 條對稱軸；
②因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是 ，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”.
3．兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線).
知識點02 與圓有關(guān)的概念
1. 弦
弦： 叫做弦.
直徑：經(jīng)過 叫做直徑.
弦心距： 叫做弦心距.
【注意】
直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
2. 弧
弧： 叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧， 都叫做半圓；
優(yōu)?。? 的弧叫做優(yōu)弧；
劣?。? 的弧叫做劣弧.
【注意】①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
②無特殊說明時，弧指的是劣弧.
3．同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
4．等弧
在同圓或等圓中， 叫做等弧.
【注意】①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
能力拓展
考法01 圓的定義
【典例1】下列說法：（1）長度相等的弧是等弧；（2）相等的圓周角所對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【即學(xué)即練】下列說法，其中正確的有（ ）
①過圓心的線段是直徑
②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形
③大于半圓的弧叫做劣弧
④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓
A．1個B．2個C．3個D．4個
【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，AB是⊙M的直徑，若，，則點B的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖所示，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（ ）
A．B．C．D．
考法02 圓的有關(guān)概念
【典例3】如圖，圖中的弦共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【即學(xué)即練】如圖，圓的弦中最長的是（ ）
A．B．C．D．
【典例4】下圖中是圓心角的是（ ）
A．B．C．D．
【即學(xué)即練】如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．圓有（ ）條對稱軸．
A．0B．1C．2D．無數(shù)
2．已知⊙O中最長的弦為10，則⊙O的半徑是（ ）
A．10B．20C．5D．15
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
4．下列四個命題：
①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；
②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；
④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．
真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．如圖，將命題“在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等”改寫成“已知……求證……”的形式，下列正確的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AB＝CD．
6．如圖，在⊙O中，是直徑，是弦，于，連接，∠，則下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
7．如圖，在⊙O中，，AB＝3，則AC＝_____.
8．一個圓的直徑是4cm，周長是______cm．
9．如圖，三角形是直角三角形，其中O為圓心．已知三角形面積是，求圓形面積．
10．（1）如果把人的頭頂和腳底分別看做一個點，把地球赤道看做一個圓，那么身高的小明沿地球赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何．
（2）假設(shè)小明在某個半徑為的星球上沿著其赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底又多“走”了多少米呢？在半徑為的星球上情況又如何呢？
題組B 能力提升練
1．以下說法中：①任一多邊形的外角中最多有三個是鈍角②對頂角相等③三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和④兩直線被第三條直線所截，同位角相等⑤弧分為優(yōu)弧和劣?。渲姓_的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．如圖，為半圓O的直徑，，平分，交半圓于點D，交于點E，則的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
3．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．如圖是的半徑，是的弦，且，若與互相垂直平分，則的長為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在中，，，若以點為圓心，的長為半徑的圓恰好經(jīng)過的中點，則的長等于（ ）
A．B．C．D．
6．如圖所示，點M是⊙O上的任意一點，下列結(jié)論：
①以M為端點的弦只有一條；
②以M為端點的直徑只有一條；
③以M為端點的弧只有一條．
則（ ）
A．①、②錯誤，③正確B．②、③錯誤，①正確
C．①、③錯誤，②正確D．①、②、③錯誤
7．如圖，將△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ACD，使得點C，D都在圓上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_____．
8．如圖正方形的邊長為1，分別以正方形的兩個相對頂點為圓心，以1為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是______（用含有的式子表示）．
9．如圖，在⊙O中，D，E分別為半徑OA，OB上的點，且AD＝BE.點C為上一點，連接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC，求證：CD＝CE．
10．如圖，點A，B，C在⊙O上，按要求作圖：
(1)過點A作⊙O的直徑AD；
(2)過點B作⊙O的半徑；
(3)過點C作⊙O的弦．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如果一個圓的半徑由1厘米增加到2厘米．那么這個圓的周長增加了（ ）
A．3.14厘米B．2厘米C．8厘米D．4厘米
2．下列語句中：
①兩點確定一條直線；
②圓上任意兩點、間的部分叫做圓弧；
③兩點之間直線最短；
④三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形．
其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個任務(wù)進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為2，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為m時，弦AB的長度記為d（m）．下列描述正確的是（ ）
A．d（25%）＝2
B．當(dāng)m＞50%時，d（m）＞4
C．當(dāng)m1＜m2時，d（m1）＜d（m2）
D．當(dāng)m1+m2＝100%時，d（m1）＝d（m2）
4．在一個由8×8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓，若把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1，把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的整數(shù)部分是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
5．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，，與x軸分別交于A，B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點D，若點D巧好為線段AB的中點，則AB的長度為（ ）
A．B．3C． 6D．9
7．如圖，的半徑為13，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線交于點C，則________．
8．如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，∠AOB＝50°，∠B＝55°，則∠A的度數(shù)為________
9．如圖，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度數(shù)．
10．在推導(dǎo)圓的面積計算公式時，是將一個圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼成一個近似的長方形，如圖2所示．（注：本題中的π取3.14）
（1）若圓的半徑為3cm，則拼成的近似長方形的周長比圓的周長多多少厘米？
（2）若拼成的近似長方形的周長為33.12cm，則圓的半徑為多少？
（3）在（2）的條件下，求此圓的面積．
課程標準
（1）理解圓的有關(guān)概念和圓的對稱性；
（2）能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，圓的對稱性進行計算或證明；
（3）養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習(xí)慣.
第19課 圓的基本概念和性質(zhì)
目標導(dǎo)航
知識精講
知識點01 圓的定義及性質(zhì)
1．圓的定義
(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑. 以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．
【注意】
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
②圓是一條封閉曲線.
(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.
【注意】
①定點為圓心，定長為半徑；
②圓指的是圓周，而不是圓面；
③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.
2．圓的性質(zhì)
①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；
②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.
【注意】
①圓有無數(shù)條對稱軸；
②因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”.
3．兩圓的性質(zhì)
兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線).
知識點02 與圓有關(guān)的概念
1. 弦
弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.
【注意】
直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
2. 弧
?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；
劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.
【注意】
①半圓是弧，而弧不一定是半圓；
②無特殊說明時，弧指的是劣弧.
3．同心圓與等圓
圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.
圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.
4．等弧
在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.
【注意】
①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
②圓中兩平行弦所夾的弧相等.
能力拓展
考法01 圓的定義
【典例1】下列說法：（1）長度相等的弧是等?。唬?）相等的圓周角所對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】A
【詳解】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；
（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；
（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；
（4）直徑是圓中最長的弦，正確，
綜上所述，四個說法中正確的只有1個，
故選：A．
【即學(xué)即練】下列說法，其中正確的有（ ）
①過圓心的線段是直徑
②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形
③大于半圓的弧叫做劣弧
④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【詳解】解：①過圓心的弦是直徑，故該項錯誤；
②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項正確；
③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項錯誤；
④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項正確．
故選：B．
【典例2】如圖，在平面直角坐標系中，AB是⊙M的直徑，若，，則點B的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)點B的坐標為（x，y），
∵AB是⊙M的直徑，
∴M點為AB的中點，
∵A（a，b），M（1，0），，
∴1＝，0＝，
解得：x＝2?a，y＝?b，
∴B點坐標為（2?a，?b）．
故選：A．
【即學(xué)即練】如圖所示，，，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴OA=，
∵，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，
∴，
∴，
∵點C為x軸負半軸上的點，
∴C，
故選：C．
考法02 圓的有關(guān)概念
【典例3】如圖，圖中的弦共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】B
【詳解】解：圖形中有弦AB和弦CD，共2條，
故選B．
【即學(xué)即練】如圖，圓的弦中最長的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：由圖可知，弦AB經(jīng)過圓心O，故圓的弦中最長的是．
故選：．
【典例4】下圖中是圓心角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：A、不是圓心角，故不符合題意；
B、不是圓心角，故不符合題意；
C、是圓心角，故符合題意；
D、不是圓心角，故不符合題意；
故選：C．
【即學(xué)即練】如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【詳解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故選：A．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．圓有（ ）條對稱軸．
A．0B．1C．2D．無數(shù)
【答案】D
【詳解】解：圓的對稱軸是經(jīng)過圓心的直線，經(jīng)過一點的直線有無數(shù)條，
所以，圓有無數(shù)條對稱軸．
故選：D．
2．已知⊙O中最長的弦為10，則⊙O的半徑是（ ）
A．10B．20C．5D．15
【答案】C
【詳解】∵圓當(dāng)中最長的弦是直徑，
∴直徑為10，
∴半徑為．
故選：C
3．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且點C、D在AB的異側(cè)，連結(jié)AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】D
【詳解】解：∵AD∥OC，
∴∠AOC=∠DAO=70°，
又∵OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO=70°，
∴∠AOD=180-70°-70°=40°．
故選：D．
4．下列四個命題：
①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；
②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；
④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．
真命題的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意；
②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；
③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；
④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，
真命題有3個，
故選：C．
5．如圖，將命題“在同圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等”改寫成“已知……求證……”的形式，下列正確的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求證：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求證：AB＝CD．
【答案】B
【詳解】A．所對的圓心角應(yīng)為∠AOD，所對的圓心角應(yīng)為∠BOC，相等的圓心角應(yīng)為，故A選項錯誤；
B．所對的圓心角為∠AOB、所對的弦為AB，所對的圓心角為∠COD、所對的弦為CD，故B選項正確；
C．由題意可知，已知條件只有一個弧相等，而求證的結(jié)論有兩個，故C選項錯誤；
D．由題意可知，已知條件只有一個弧相等，而求證的結(jié)論有兩個，故D選項錯誤．
故選：B．
6．如圖，在⊙O中，是直徑，是弦，于，連接，∠，則下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正確，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正確，
∴∠OCE＝90°?40°＝50°，④正確；
又，故①錯誤；
故選：C．
7．如圖，在⊙O中，，AB＝3，則AC＝_____.
【答案】3
【詳解】解：∵在⊙O中，，AB＝3，
∴AC=AB=3．
故答案為：3．
8．一個圓的直徑是4cm，周長是______cm．
【答案】
【詳解】圓的直徑是，
圓的周長是，
故答案為：．
9．如圖，三角形是直角三角形，其中O為圓心．已知三角形面積是，求圓形面積．
【答案】
【詳解】解：∵OA=OB
∴△AOB是等腰直角三角形
∵=10
∴
∴圓的面積為
答：圓的面積是
10．（1）如果把人的頭頂和腳底分別看做一個點，把地球赤道看做一個圓，那么身高的小明沿地球赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底多“走”了多少米？先猜一猜，再算一算，看看你的猜想如何．
（2）假設(shè)小明在某個半徑為的星球上沿著其赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底又多“走”了多少米呢？在半徑為的星球上情況又如何呢？
【答案】（1）他的頭頂比腳底多“走”了3π米；（2）小明在半徑為和的星球上環(huán)繞一周，頭頂比腳底都多“走”了3π米．
【詳解】解：（1）他的頭頂比腳底多“走”了3π米．
設(shè)地球的半徑是Rm，則人頭繞地球環(huán)形時，人頭經(jīng)過的圓的半徑是（R＋1.5）m．地球的周長是2πRm，人頭環(huán)形一周的周長是2π（R＋1.5）m，
因而他的頭頂比腳底多行的路程＝2π（R＋1.5）?2πR＝3π（m）．
（2）當(dāng)小明在某個半徑為1km的星球上沿著其赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底多“走”的路程＝2π（1000＋1.5）?2π?1000＝3π（m），
當(dāng)小明在某個半徑為10km的星球上沿著其赤道環(huán)行一周，他的頭頂比腳底多“走”的路程＝2π（10000＋1.5）?2π?10000＝3π（m）．
題組B 能力提升練
1．以下說法中：①任一多邊形的外角中最多有三個是鈍角②對頂角相等③三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和④兩直線被第三條直線所截，同位角相等⑤弧分為優(yōu)弧和劣弧．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【詳解】解：①多邊形的外角和是360°，若外角中鈍角的個數(shù)超過3個，則外角的和就超過360°，所以最多有3個外角，正確；
②對頂角相等，正確；
③三角形的一個外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和，錯誤；
④兩直線平行，同位角相等，錯誤；
⑤弧分為優(yōu)弧、劣弧和半圓，錯誤．
∴正確的結(jié)論是①②．
故選：B．
2．如圖，為半圓O的直徑，，平分，交半圓于點D，交于點E，則的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：連接OD
平分，
故選：B．
3．如圖，是的直徑，弦，若，則的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【詳解】解：∵是的直徑，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故選：C．
4．如圖是的半徑，是的弦，且，若與互相垂直平分，則的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】連接，設(shè)交于點．
與互相垂直平分，
，，
又，
，
．
故選：B．
5．如圖，在中，，，若以點為圓心，的長為半徑的圓恰好經(jīng)過的中點，則的長等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：連接CD，如圖所示：
∵點D是AB的中點，，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得；
故選D．
6．如圖所示，點M是⊙O上的任意一點，下列結(jié)論：
①以M為端點的弦只有一條；
②以M為端點的直徑只有一條；
③以M為端點的弧只有一條．
則（ ）
A．①、②錯誤，③正確B．②、③錯誤，①正確
C．①、③錯誤，②正確D．①、②、③錯誤
【答案】C
【詳解】解：以M為端點的弦有無數(shù)條，所以①錯誤；
以M為端點的直徑只有一條，所以②正確；
以M為端點的弧有無數(shù)條，所以③錯誤．
故選：C．
7．如圖，將△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△ACD，使得點C，D都在圓上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_____．
【答案】60°##60度
【詳解】解：由題意可知，OA＝AC，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC＝60°，
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°，
故答案為：60°．
8．如圖正方形的邊長為1，分別以正方形的兩個相對頂點為圓心，以1為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是______（用含有的式子表示）．
【答案】
【詳解】解：如圖所示
S陰影=-S正方形=-12=．
故答案為：．
9．如圖，在⊙O中，D，E分別為半徑OA，OB上的點，且AD＝BE.點C為上一點，連接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC，求證：CD＝CE．
【答案】見解析
【詳解】證明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴．
10．如圖，點A，B，C在⊙O上，按要求作圖：
(1)過點A作⊙O的直徑AD；
(2)過點B作⊙O的半徑；
(3)過點C作⊙O的弦．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【詳解】（1）如圖所示，作射線，交于點，則線段即為的直徑；
（2）如圖所示，連接，線段即為所求；
（3）如圖所示，連接，線段即為所求的一條弦（答案不唯一）．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如果一個圓的半徑由1厘米增加到2厘米．那么這個圓的周長增加了（ ）
A．3.14厘米B．2厘米C．8厘米D．4厘米
【答案】B
【詳解】解：（2-1）×2×π
=2π（厘米）．
故選：B．
2．下列語句中：
①兩點確定一條直線；
②圓上任意兩點、間的部分叫做圓??；
③兩點之間直線最短；
④三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形．
其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【詳解】解：①根據(jù)直線公理：過兩點有且只有一條直線，故該項正確；
②根據(jù)圓弧的定義：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，故該項正確；
③根據(jù)線段公理：兩點之間，線段最短，故該項錯誤；
④根據(jù)多邊形的定義：在平面內(nèi)，有一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形，故三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形，故該項正確．
綜上可得：①、②、④正確．
故選：C
3．計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比．下面是同一個任務(wù)進行到不同階段時進度條的示意圖：若圓半徑為2，當(dāng)任務(wù)完成的百分比為m時，弦AB的長度記為d（m）．下列描述正確的是（ ）
A．d（25%）＝2
B．當(dāng)m＞50%時，d（m）＞4
C．當(dāng)m1＜m2時，d（m1）＜d（m2）
D．當(dāng)m1+m2＝100%時，d（m1）＝d（m2）
【答案】D
【詳解】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可．
解：A、d（25%）＝2＞2，本選項不符合題意；
B、當(dāng)m＞50%時，0≤d（m）＜4，本選項不符合題意；
C、當(dāng)m1＜m2時，d（m1）與d（m2）可能相等，可能不等，本選項不符合題意；
D、當(dāng)m1+m2＝100%時，d（m1）＝d（m2），本選項符合題意；
故選：D．
4．在一個由8×8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內(nèi)放一個半徑為4的圓，若把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為S1，把圓周經(jīng)過的所有小方格的圓外部分的面積之和記為S2，則的整數(shù)部分是（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】解：由題意知：，
∵
∴的整數(shù)部分是1
故選：B
5．如圖，如圖，的半徑為2，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，，與x軸分別交于A，B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【詳解】解：連接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，則需取得最小值，
連接，交于點，當(dāng)點位于位置時，取得最小值，
過點作軸于點，
則、，
，
又，
，
，
故選：D．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點D，若點D巧好為線段AB的中點，則AB的長度為（ ）
A．B．3C． 6D．9
【答案】C
【詳解】連接CD，
∵以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點D，AC=3，
∴，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為線段AB的中點，
∴，
∴；
故選C．
7．如圖，的半徑為13，，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線交于點C，則________．
【答案】12
【詳解】連接OC、OB，如圖，
根據(jù)作圖可知，OC是線段AB的垂直平分線，
則有BC=AC=AB=10×=5，
又∵圓的半徑OB=13，
∴在Rt△BOC中，利用勾股定理可得：，
故答案為：12．
8．如圖，A，B，C是⊙O上的三個點，∠AOB＝50°，∠B＝55°，則∠A的度數(shù)為________
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案為：
9．如圖，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度數(shù)．
【答案】28°．
【詳解】解：設(shè)∠B=x，
∵BD=OD，
∴∠DOB=∠B=x，
∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=2x，
∵∠AOC=∠A+∠B，
∴2x+x=114°，解得x=38°，
∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．
10．在推導(dǎo)圓的面積計算公式時，是將一個圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后，用這些近似等腰三角形的小紙片拼成一個近似的長方形，如圖2所示．（注：本題中的π取3.14）
（1）若圓的半徑為3cm，則拼成的近似長方形的周長比圓的周長多多少厘米？
（2）若拼成的近似長方形的周長為33.12cm，則圓的半徑為多少？
（3）在（2）的條件下，求此圓的面積．
【答案】（1）6cm；（2）4cm；（3）50.24（cm2）．
【詳解】解：（1）拼成的近似長方形的周長比圓的周長多3×2＝6cm；
（2）設(shè)圓的半徑為r，
由題意得，2πr+2r＝33.12，
解得：r＝4，
答：圓的半徑為4cm；
（3）此圓的面積＝3.14×42＝50.24（cm2）．
課程標準
（1）理解圓的有關(guān)概念和圓的對稱性；
（2）能應(yīng)用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關(guān)系，圓的對稱性進行計算或證明；
（3）養(yǎng)成學(xué)生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習(xí)慣.

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