知識導(dǎo)航
知識點01：圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角
1．圓的定義
(1)線段OA繞著它的一個端點O ，另一個端點A所形成的 ，叫做圓.
(2)圓是到
細(xì)節(jié)剖析：
①圓心確定圓的 ，半徑確定圓的 ；確定一個圓應(yīng)先確定 ，再確定 ，二者缺一不可；
②圓是一條 .
2．圓的性質(zhì)
(1)旋轉(zhuǎn) ：圓是 ，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形 ；圓是 圖形，對稱中心是
在 中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一
組 ，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.
(2)軸對稱：圓是 ， 都是它的對稱軸.
(3)垂徑定理及推論：
①垂直于弦的直徑 這條弦，并且平分弦所對的 .
②平分弦(不是直徑)的直徑 于弦，并且平分弦所對的 .
③弦的垂直平分線過 ，且平分弦對的兩條弧.
④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且 此弦.
⑤ 相等.
細(xì)節(jié)剖析：
在垂經(jīng)定理及其推論中： 所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“ ”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）
3．兩圓的性質(zhì)
(1)兩個圓是一個 形，對稱軸是
(2)相交兩圓的連心線 公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過
4．與圓有關(guān)的角
(1)圓心角： 叫圓心角.
圓心角的性質(zhì)： 等于它所對的弧的度數(shù).
(2)圓周角：頂點在 叫做圓周角.
圓周角的性質(zhì)：
①圓周角等于它
② 所對的圓周角相等；在 中，相等的圓周角所對的弧相等.
③90°的圓周角所對的弦為 ；半圓或直徑所對的圓周角為 .
④如果三角形 ，那么這個三角形是直角三角形.
⑤圓內(nèi)接四邊形的 互補；外角等于它的
細(xì)節(jié)剖析：
(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在 ；②角的兩邊都和圓 (2)圓周角定理成立的前提條件是在 中.
知識點02：與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1．判定一個點P是否在⊙O上
設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有
點P在⊙O 外； 點P在⊙O 上；點P在⊙O 內(nèi).
細(xì)節(jié)剖析：
點和圓的 和點到圓心的距離的 是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定 ；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定 .
2．判定幾個點 SKIPIF 1 < 0 在同一個圓上的方法
當(dāng)時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關(guān)系
設(shè)⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
4．切線的判定、性質(zhì)
(1)切線的判定：
① 是圓的切線.
② 是圓的切線.
(2)切線的性質(zhì)：
①圓的切線 于過切點的半徑.
②經(jīng)過圓心作圓的切線的 經(jīng)過切點.
③經(jīng)過 作切線的垂線經(jīng)過 .
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這 叫做切線長.
(4)切線長定理：從圓外一點作 ，它們的切線長相等， 平分兩條切線的夾角.
5．圓和圓的位置關(guān)系
設(shè)的半徑為，圓心距.
(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離
.
(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含
(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.
(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切.
(5)和有兩個公共點相交.
知識點03：三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形
1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內(nèi)心：是 ，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是 ，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是 ，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.
(4)垂心：是
細(xì)節(jié)剖析：
(1) 任何一個三角形都 內(nèi)切圓，但任意一個圓都有 外切三角形；
(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于 ，即 (S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).
(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：
2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形
(1) 叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角 ，外角等于 (2) 叫圓外切四邊形，圓 相等.
知識點04：圓中有關(guān)計算
1．圓中有關(guān)計算
圓的面積公式： ，周長 .
圓心角為、半徑為R的弧長 .
圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積 .
弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.
圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為 .
圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有 .
細(xì)節(jié)剖析：
(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即 ；
(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
(3)扇形面積公式 ，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系： .
考點提優(yōu)練
考點01：垂徑定理
1．（2022?荊門）如圖，CD是圓O的弦，直徑AB⊥CD，垂足為E，若AB＝12，BE＝3，則四邊形ACBD的面積為（ ）
A．36B．24C．18D．72
2．（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AD⊥BC，連接AB、CD，當(dāng)AB＝2，CD＝6時，則⊙O半徑長為 ．
3．（2022?煙臺模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，則CD的長為 ．
4．（2022?開福區(qū)一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）求證：四邊形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．
5．（2021秋?嘉祥縣期末）如圖，線段AB＝10，AC＝8，點D，E在以AB為直徑的半圓O上，且四邊形ACDE是平行四邊形，過點O作OF⊥DE于點F，求AE的長．
6．（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD交AB于點E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圓O的半徑長．
7．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門的半徑為（ ）
A．B．2mC．D．3m
考點02：圓周角定理
8．（2022?梁子湖區(qū)二模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AO⊥BC于點E，若∠BDC＝150°，AE長為2+，則弦BC的長為（ ）
A．2B．C．2D．4
9．（2022?南京模擬）如圖，在⊙O中，CD是⊙O上的一條弦，直徑AB⊥CD，連接AC、OD，∠A＝26°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
10．（2022?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，線段CD上一點O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓，⊙O上一點A，連結(jié)AC交⊙O于B點，連結(jié)BD，若BC＝BD，且∠C＝25°，則∠BDA＝ ．
11．（2022?宜興市校級二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（2，1），點C（x，y）為平面內(nèi)一動點，以AC為直徑作⊙E，若過點且平行于x軸的直線被⊙E所截的弦GH長為．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 ；經(jīng)過點A的直線y＝k（x﹣2）+1（k＜0）與點C運動形成的圖象交于B，D兩點（點D在點B的右側(cè)），F(xiàn)為該圖象的最高點，若△ADF的面積是△ABF面積的3倍，則k＝ ．
12．（2022春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，AB為半圓O的直徑，CD＝AB＝2，AD，BC交于點E，且E為CB的中點，F(xiàn)為弧AC的中點，連接EF，求EF的長．
13．（2022?西安模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC＝90°．連接BD，作CF⊥BD，分別交BD，⊙O于點E，F(xiàn)，連接BF，交AD于點M，AB＝BC．
（1）求證：BF∥CD．
（2）當(dāng)AD+CD＝5時，求線段BD的長．
考點03：切線的判定與性質(zhì)
14．（2022?社旗縣一模）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點P為圓心，以1個單位長度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時，點P的坐標(biāo)是（ ）
A．B．或
C．D．或
15．（2022?新河縣二模）如圖，在直線l上有相距7cm的兩點A和O（點A在點O的右側(cè)），以O(shè)為圓心作半徑為1cm的圓，過點A作直線AB⊥l．將⊙O以2cm/s的速度向右移動（點O始終在直線l上），則⊙O與直線AB在（ ）秒時相切．
A．3B．3.5C．3或4D．3或3.5
16．（2021秋?海州區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以CD為直徑作⊙O．將矩形ABCD繞點C旋轉(zhuǎn)，使所得矩形A'B'CD'的邊A'B'與⊙O相切，切點為E，邊CD'與⊙O相交于點F，則CF的長為（ ）
A．6﹣B．4C．5D．3
17．（2022?晉江市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），點B是直線y＝﹣x上的一個動點，以A為圓心，以線段AB的長為半徑作⊙A，當(dāng)⊙A與直線y＝﹣x相切時，點B的坐標(biāo)為 ．
18．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點E在對角線BD上運動，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時，⊙O的半徑為 ；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時，其半徑為 ．
19．（2021秋?南皮縣校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB的中點，P是邊BC上的動點，連接PM，以點P為圓心，PM長為半徑作⊙P．
（1）當(dāng)BP＝3時，點C在⊙P ；（填“上“內(nèi)“或“外“）
（2）當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為 ．
20．（2022?五華區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O直徑，C，D為⊙O上的兩點，且∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延長線于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若DE＝2CE，AC＝4，求⊙O的半徑．
21．（2022?金水區(qū)校級模擬）如圖，AE是半圓O的直徑，D是半圓O上不同于A，E的一點，作∠FAD＝∠DAE，過點D作DC⊥AF于點C，CD的延長線與AE的延長線相交于點B．
（1）求證：CD是半圓O所在圓的切線；
（2）若，AC＝4，求⊙O的半徑．
22．（2022?河南模擬）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，E是AC的中點，連接ED．點F在上．且FO⊥AB，連接BF并延長交AC的延長線于點C．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接AF，試說明AF、BG的數(shù)量關(guān)系．
考點04：切線長定理
23．（2021秋?西崗區(qū)期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為（ ）
A．8B．12C．16D．20
24．（2020?河北模擬）如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，O為圓心，作∠MON＝90°，其兩邊分別交BC，CD于點N，M，若CM+CN＝4，則⊙O的面積為（ ）
A．πB．2πC．4πD．0.5π
25．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（ ）
A．3B．4C．5D．6
26．（2021秋?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（ ）
A．12cmB．7cm
C．6cmD．隨直線MN的變化而變化
27．（2021秋?興化市月考）如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過點C作直線切半圓于點F，交AD邊于點E，若△CDE的周長為12，則直角梯形ABCE周長為 ．
28．（2015秋?宜興市校級期中）如圖，△ABC是一張三角形的紙片，⊙O是它的內(nèi)切圓，點D是其中的一個切點，
已知AD＝10cm，小明準(zhǔn)備用剪刀沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下一塊三角形（△AMN），則剪下的△AMN的周長為 ．
29．（2013?西藏模擬）如圖，AD、AE、CB都是⊙O的切線，切點分別為D、E、F，AD＝4cm，則△ABC的周長是 ．
30．（2021秋?原州區(qū)期末）如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，DE分別交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切線長為8cm，那么△PDE的周長為 ．
31．（2011秋?海淀區(qū)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD、CE分別與⊙O相切于點D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，則CE＝ ．
32．（2021?濱?？h一模）如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的長；
（2）∠COD的度數(shù)．
33．（2018秋?硚口區(qū)期末）如圖，AB為⊙O直徑，PA、PC分別與⊙O相切于點A、C，PQ⊥PA，PQ交OC的延長線于點Q．
（1）求證：OQ＝PQ；
（2）連BC并延長交PQ于點D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的長．
34．（2012秋?姜堰市校級月考）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，直線EF也是⊙O的切線，切點為Q，交PA、PB于點E、F，已知PA＝12cm，∠P＝40°
①求△PEF的周長；
②求∠EOF的度數(shù)．
35．（2008秋?恩平市校級期中）如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周長；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度數(shù)．
考點05：正多邊形和圓
36．（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．18°B．25°C．30°D．45°
37．（2022?石家莊三模）如圖，邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是（ ）
A．6B．C．D．8
38．（2022?沙灣區(qū)模擬）已知圖標(biāo)（如圖）是由圓的六個等分點連接而成，若圓的半徑為1，則陰影部分的面積等于 ．
39．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點M，則的值為 ．
40．（2022?咸安區(qū)模擬）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點O重合，AF∥y軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2024時，頂點A的坐標(biāo)為 ．
41．（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長為2的⊙O，點P在圓弧AB上以2倍速度從B向A運動，點Q在圓弧BC上以1倍速度從C向B運動，當(dāng)點P，O，Q三點處于同一條直線時，停止運動．
（1）求點Q的運動總長度；
（2）若M為弦PB的中點，求運動過程中CM的最大值．
42．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，R＝6．
求正方形ABCD的邊長和邊心距．
43．（2019秋?墾利區(qū)期中）七年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如下：
（1）如圖1，等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N，使BM＝AN，連接BN、CM，發(fā)現(xiàn)BN＝CM，且∠NOC＝60°，試說明：∠NOC＝60°．
（2）如圖2，正方形ABCD中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM＝BN，連接AN、DM，那么∠DON＝ 度，并說明理由．
（3）如圖3，正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N，使AM＝BN，連接AN、EM，那么AN＝ ，且∠EON＝ 度．（正n邊形內(nèi)角和（n﹣2）×180°，正多邊形各內(nèi)角相等）
考點06：扇形面積的計算
44．（2022?山西模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AO是△ABC的中線．以O(shè)為圓心，OA長為半徑作半圓，分別交AB，AC于點D，E，交BC于點F，G．則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．2﹣πB．C．4﹣πD．π
45．（2022春?大同期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，先以正方形的對角線AC為直徑畫圓，再以正方形的各邊長為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．16B．8πC．16πD．8
46．（2022?巴南區(qū)自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長為6，四條弧分別以相應(yīng)頂點為圓心、正方形ABCD邊長為半徑，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留π）．
47．（2022?渝中區(qū)校級開學(xué)）如圖，以菱形ABCD的頂點A為圓心，AB的長為半徑作圓，點C恰好在⊙A在上，點E是AB的中點，連接CE．若AD＝6，則圖中陰影部分的面積為 （結(jié)果保留π）．
48．（2022?臨沭縣二模）如圖，在⊙O中，AC為⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，點E是的中點，過點E作AB的垂線，交AB于點M，交⊙O于點N，分別連接EB，CN．
（1）EM與BE的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）求證：＝；
（3）若AM＝，MB＝2，求陰影部分圖形的面積．
49．（2021秋?亭湖區(qū)期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計算弧田面積的公式為：弧田面積＝（弦×矢+矢2）．如圖，弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．按照上述公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差．現(xiàn)有圓心角∠AOB為120°，弦長AB＝2m的弧田．
（1）計算弧田的實際面積；
（2）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計算所得結(jié)果與（1）中計算的弧田實際面積相差多少平方米？（取π近似值為3，近似值為1.7）
名稱
確定方法
圖形
性質(zhì)
外心(三角形外接圓的圓心)
三角形三邊中垂線的交點
(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部
內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)
三角形三條角平分線的交點
(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

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