人教版九年級數(shù)學上冊同步精品講義第15課二次函數(shù)章末復習（原卷版+解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

知識精講
知識點01 二次函數(shù)的定義
一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù)。
【注意】如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零。a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
知識點02 二次函數(shù)的圖象與性質
1．二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
①；②；③；④，
其中；⑤.（以上式子a≠0）
幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：
2．拋物線的三要素：
開口方向、對稱軸、頂點。
(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
3．拋物線中，的作用：
(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.
(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，
故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側.
(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.
當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：
①，拋物線經(jīng)過原點； ②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則 .
4．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.(可以看成的圖象平移后所對應的函數(shù).)
(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：
（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關系：).
【注意】求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用．
知識點03 二次函數(shù)與一元二次方程的關系
函數(shù)，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.
(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.
通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關系：
【注意】二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.
(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；
(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；
(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根。
知識點04 利用二次函數(shù)解決實際問題
利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內含的規(guī)律等相等關系，建立函數(shù)關系式，再利用函數(shù)的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義。
利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：
(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?br>(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；
(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關系式；
(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質去分析問題、解決問題.
【注意】常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、橋梁、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數(shù)問題，列出相關的函數(shù)關系式.
能力拓展
考法01 求二次函數(shù)的解析式
【典例1】已知二次函數(shù)經(jīng)過點，且函數(shù)最大值為4，則a的值為（）
A．B．C．D．
【即學即練】已知二次函數(shù)的圖像過點，圖像向右平移1個單位后以y軸為對稱軸，圖像向上平移3個單位后與x軸只有一個公共點，則這個二次函數(shù)的解析式為（）.
A．B．C．D．
【典例2】如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于A，兩點，則該拋物線的解析式是____．
【即學即練】已知二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如下表：
則該二次函數(shù)解析的一般式為___．
考法02 根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質判斷代數(shù)式的符號
【典例3】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論①abc＜0；②3a+b＞﹣c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正確的是（）
A．①③④B．①②③④C．②③④D．①③
【即學即練】拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若點（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2；其中正確的個數(shù)有（）
A．2B．3C．4D．5
【典例4】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0），B（5，0），以下結論：①②③④圖象的對稱軸是直線，正確的是_________
【即學即練】已知平面直角坐標系中，拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過點和，當時，．有下列結論：
①拋物線開口向上；
②關于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根；
③當時，y隨x的增大而減?。?br>④．
其中正確結論的序號是_____________．
考法03 函數(shù)與一元二次方程
【典例5】小穎用計算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如圖所示二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，并求得一個近似根為x＝﹣4.3，則方程的另一個近似根為（）（精確到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
【即學即練】二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，可知方程的所有解的積為（）
A．－4B．4C．5D．－5
【典例6】二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為________．
【即學即練】已知二次函數(shù)，過，，假設，則，的大小關系是______．
考法04 二次函數(shù)與實際問題
【典例7】如圖，某拱形門建筑的形狀時拋物線，拱形門地面上兩點的跨度為192米，高度也為192米，若取拱形門地面上兩點的連線作x軸，可用函數(shù)表示，則a的值為（）
A．B．C．D．
【即學即練】如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當點停止運動時，點也隨之停止，連接，設運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關系的是（）
B．C．D．
【典例8】如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，拱橋對應拋物線的解析式為______．
【即學即練】小明和小麗先后從A地出發(fā)沿同一直道去B地．設小麗出發(fā)第x分鐘時，小麗、小明離B地的距離分別為米、米，y1與x之間的函數(shù)表達式是＝﹣180x+2250，與x之間的函數(shù)表達式是＝﹣10﹣100x+2000．小麗出發(fā)至小明到達B地這段時間內，兩人之間的最近距離為 ___米．
分層提分
題組A 基礎過關練
1．下列各式中，y是關于x的二次函數(shù)的是（）
A．y＝4x+2B． C． D．y＝
2．把拋物線向上平移個單位，向右平移個單位，得到（）
A．B．C．D．
3．二次函數(shù)中，的取值范圍是（）
A．B．C．D．一切實數(shù)
4．對二次函數(shù)y＝x2﹣2x的圖像性質描述，正確的是（）
A．開口向下
B．對稱軸是y軸
C．經(jīng)過原點
D．對稱軸右側圖像呈下降趨勢
5．據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（）
A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
6．某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流呈拋物線狀，一條水流的高度與水流時間之間的解析式為，那么水流從拋出至落到地面所需要的時間是（）
A．B．C．D．
7．若是關于的二次函數(shù)，則的值為____．
8．如圖所示，拋物線與軸的兩個交點分別為A和，當時，_________．
9．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與x軸交于點A、B（點A在點B左側）．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標；
（2）根據(jù)圖象直接寫出當y＞0時，自變量x的取值范圍．
10．普洱茶是中國十大名茶之一，也是中華古老文明中的一顆瑰寶．某公司經(jīng)銷某種品牌普洱茶，每千克成本為50元．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：每周銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示，
解答下列問題：
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）求這一周銷售這種品牌普洱茶獲得的利潤W元的最大值；
（3）物價部門規(guī)定茶葉銷售單價不得高于90元/千克，公司想獲得不低于2000元周利潤，請計算銷售單價范圍．
題組B 能力提升練
1．已知函數(shù) 的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是（）
A．k-1，
∴，方程可能有兩個相等的實數(shù)根，②錯誤；
∵拋物線的對稱軸為，a>1，
∴
∴當時，y不一定隨x的增大而減小，③錯誤；
∵，b>-1，
∴，④正確
故答案為：①④．
考法03 函數(shù)與一元二次方程
【典例5】小穎用計算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如圖所示二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，并求得一個近似根為x＝﹣4.3，則方程的另一個近似根為（）（精確到0.1）
A．x＝4.3B．x＝3.3C．x＝2.3D．x＝1.3
【答案】C
【詳解】解：∵拋物線與x軸的一個交點為（﹣4.3，0），又拋物線的對稱軸為：x＝﹣1，
∴另一個交點坐標為：（2.3，0），
則方程的另一個近似根為x＝2.3，
故選：C．
【即學即練】二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，可知方程的所有解的積為（）
A．－4B．4C．5D．－5
【答案】D
【詳解】解：由圖象可知對稱軸為，與x軸的一個交點橫坐標是5，
∵交點到對稱軸的距離是3個單位，
∴另外一個交點的橫坐標是﹣1，
∴.
故選：D.
【典例6】二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為________．
【答案】
【詳解】解：對于二次函數(shù)，
當時，，
則二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為，
故答案為：．
【即學即練】已知二次函數(shù)，過，，假設，則，的大小關系是______．
【答案】
【詳解】解：二次函數(shù)，
該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線，
，
，
故答案為：．
考法04 二次函數(shù)與實際問題
【典例7】如圖，某拱形門建筑的形狀時拋物線，拱形門地面上兩點的跨度為192米，高度也為192米，若取拱形門地面上兩點的連線作x軸，可用函數(shù)表示，則a的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：如圖，若取拱形門地面上兩點的連線作x軸，兩點的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，則A（96，0），
可設拋物線的解析式為，
將A（96，0）代入，得：，
解得：，
所以，該拋物線的解析式為，
故選：D．
【即學即練】如圖，在中，，，，，垂足為點，動點從點出發(fā)沿方向以的速度勻速運動到點，同時動點從點出發(fā)沿射線方向以的速度勻速運動．當點停止運動時，點也隨之停止，連接，設運動時間為，的面積為，則下列圖象能大致反映與之間函數(shù)關系的是（）
B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，，
∴∠B＝60°，，，
∵CD⊥AB，
∴，，，
∴當M在AD上時，0≤t≤3，
，，
∴，
當M在BD上時，3＜t≤4，
，
∴，
故選：B．
【典例8】如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，拱橋對應拋物線的解析式為______．
【答案】（或）
【詳解】解：以B為原點、AB所在水平線為x軸建立坐標系，
由題意得A（-4，0），頂點（-2，2），
設拋物線的解析式為：
把A（-4，0）代入，得
4a＝﹣2，解得a，
所以拋物線解析式為．
故答案為：．
【即學即練】小明和小麗先后從A地出發(fā)沿同一直道去B地．設小麗出發(fā)第x分鐘時，小麗、小明離B地的距離分別為米、米，y1與x之間的函數(shù)表達式是＝﹣180x+2250，與x之間的函數(shù)表達式是＝﹣10﹣100x+2000．小麗出發(fā)至小明到達B地這段時間內，兩人之間的最近距離為 ___米．
【答案】90
【詳解】解：設小麗出發(fā)第x min時，兩人相距s m，則
，
∴當x＝4時，s取得最小值，此時最小值s＝90，
答：小麗出發(fā)第4min時，兩人相距最近，最近距離是90m．
故答案為：90．
分層提分
題組A 基礎過關練
1．下列各式中，y是關于x的二次函數(shù)的是（）
A．y＝4x+2B． C． D．y＝
【答案】C
【詳解】解：A．y=4x+2，是一次函數(shù)，故A不符合題意；
B．，當a≠0時，才是二次函數(shù)，故B不符合題意；
C．，是二次函數(shù)，故C符合題意；
D．y＝，等號右邊是分式，不是二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：C．
2．把拋物線向上平移個單位，向右平移個單位，得到（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】拋物線向上平移1個單位，可得，再向右平移2個單位得到的拋物線是．
故選：D．
3．二次函數(shù)中，的取值范圍是（）
A．B．C．D．一切實數(shù)
【答案】C
【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，
∴，
∴．
故選：C．
4．對二次函數(shù)y＝x2﹣2x的圖像性質描述，正確的是（）
A．開口向下
B．對稱軸是y軸
C．經(jīng)過原點
D．對稱軸右側圖像呈下降趨勢
【答案】C
【詳解】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
A．由a=1＞0可知拋物線開口向上，此選項錯誤；
B．拋物線的對稱軸為直線x=1，此選項錯誤；
C．當x=0時，y=0，即此拋物線經(jīng)過原點，此選項正確；
D．由a＞0且對稱軸為直線x=1知，當x＞1，即對稱軸右側時，y隨x的增大而增大，此選項錯誤；
故選：C．
5．據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關于x的函數(shù)表達式是（）
A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
【答案】C
【詳解】解：設平均每個季度GDP增長的百分率為x，
則y關于x的函數(shù)表達式是：y=2.4（1+x）2．
故選：C．
6．某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流呈拋物線狀，一條水流的高度與水流時間之間的解析式為，那么水流從拋出至落到地面所需要的時間是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】在h＝30t?5t2中，令h＝0可得30t?5t2＝0，
解得：t＝0或t＝6，
所以水流從拋出至落到地面所需要的時間是6s，
故選：B．
7．若是關于的二次函數(shù)，則的值為____．
【答案】2
【詳解】解：由題意可知 m2-2=2，m+2≠0，
解得：m=2．
故答案為：2．
8．如圖所示，拋物線與軸的兩個交點分別為A和，當時，_________．
【答案】-1或2##2或-1
【詳解】根據(jù)題意，得，
∵拋物線與軸的兩個交點分別為A和
∴當時，-1或2
故答案為：-1或2．
9．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與x軸交于點A、B（點A在點B左側）．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點坐標；
（2）根據(jù)圖象直接寫出當y＞0時，自變量x的取值范圍．
【答案】（1），；（2）或．
【詳解】解：（1）將代入得，
，
，
，
頂點坐標為；
（2）令得，
解得，，
，，
當時，自變量的取值范圍是或．
10．普洱茶是中國十大名茶之一，也是中華古老文明中的一顆瑰寶．某公司經(jīng)銷某種品牌普洱茶，每千克成本為50元．經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：每周銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示，
解答下列問題：
（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）求這一周銷售這種品牌普洱茶獲得的利潤W元的最大值；
（3）物價部門規(guī)定茶葉銷售單價不得高于90元/千克，公司想獲得不低于2000元周利潤，請計算銷售單價范圍．
【答案】（1）；（2）2450元；（3）
【詳解】解：（1）設y與x的函數(shù)關系式為，把和分別代入得：
解得：．
∴y與x的關系式為；
（2）由題意知：，
∴W與x的關系式為：，
∴，
∴當時，在內，W的值最大為2450元
（3）若公司想獲得不低于2000元周利潤，則，
解得，所以當時，，
又∵物價部門規(guī)定茶葉銷售單價不得高于90元/千克，
∴銷售單價范圍為：．
題組B 能力提升練
1．已知函數(shù) 的圖像與x軸有交點，則k的取值范圍是（）
A．k

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