問題2 伽利略曾研究過小球在斜面上的運(yùn)動(dòng)。他發(fā)現(xiàn): 無論斜面 B 比斜面 A 陡些或緩些，小球的速度最后總會(huì)在斜面上的某點(diǎn)變?yōu)?0，這點(diǎn)距斜面底端的堅(jiān)直高度與它出發(fā)時(shí)的高度基本相同。
在小球的運(yùn)動(dòng)過程中，有哪些物理量是變化的?哪些是不變的?你能找出不變的量嗎?
能量對(duì)于科學(xué)研究和日常生活有著巨大的影響，但要用一句話說清楚能量究竟是什么卻非易事。這也許是牛頓未能把“能量”這一概念留給我們的原因之一。但是在牛頓之前，我們就已經(jīng)能在力學(xué)領(lǐng)城發(fā)現(xiàn)它的萌芽。
如果不采用能量的概念，我們也可以利用以前的語言來描述伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)。我們可以說，為了把小球從桌面提高到斜面上的某個(gè)位置，伽利略施加了與重力相反的力:當(dāng)他釋放小球時(shí)，重力使小球滾下斜面 A:在斜面的底部，小球由于慣性而滾上斜面 B。
但是，這樣的描述不能直接表達(dá)一個(gè)最重要的事實(shí):如果空氣阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必將準(zhǔn)確地終止于它開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度，不會(huì)更高一點(diǎn)，也不會(huì)更低點(diǎn)。這說明某種“東西”在小球運(yùn)動(dòng)的過程中是不變的。
物體沿光滑斜面滑下時(shí)，重力對(duì)物體做正功，物體的重力勢(shì)能減少。減少的重力勢(shì)能到哪里去了?我們發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)過程中，物體的速度增加了，表示物體的動(dòng)能增加了。這說明，物體原來的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化成了動(dòng)能。
豎直向上拋出一個(gè)物體，隨著物體高度的增加，它的速度會(huì)減小。當(dāng)物體到達(dá)最高點(diǎn)后會(huì)轉(zhuǎn)而下降，同時(shí)速度逐漸增大。這一過程同樣可以從動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化的角度來分析。
不僅重力勢(shì)能可以與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，彈性勢(shì)能也可以與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。例如，被壓縮的彈簧具有彈性勢(shì)能，當(dāng)彈簧恢復(fù)原來形狀時(shí)，就把跟它接觸的物體彈出去。
這一過程中彈力做正功，彈簧的彈性勢(shì)能減少，而物體得到一定的速度，動(dòng)能增加。再如，運(yùn)動(dòng)員從跳板上彈起的過程中，跳板的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能(圖8.41)，也是這樣一種過程。
重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能與動(dòng)能都是機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的能量形統(tǒng)稱為機(jī)械能。通過重力或彈力式，做功，機(jī)械能可以從一種形式轉(zhuǎn)化成另一種形式。
動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化是否存在某種定量的關(guān)系?這里以動(dòng)能與重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化為例，討論這個(gè)問題。我們討論物體沿光滑曲面滑下的情形。這種情形下物體受到重力和曲面支持力的作用，因?yàn)橹С至Ψ较蚺c運(yùn)動(dòng)方向垂直，支持力不做功，所以，只有重力做功。
等式左邊為物體末狀態(tài)動(dòng)能與勢(shì)能之和，等式右邊為物體初狀態(tài)動(dòng)能與勢(shì)能之和?？梢姡谥挥兄亓ψ龉Φ南到y(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與重力勢(shì)能互相轉(zhuǎn)化時(shí)總的機(jī)械能保持不變。
在圖8.4-3中，如果物體從位置B沿光滑曲面上升到位置A，重力做負(fù)功。這種情況下上式的關(guān)系是否還成立?
它是力學(xué)中的一條重要定律，是普遍的能量守恒定律在力學(xué)范圍內(nèi)的表現(xiàn)形式。如圖8.4-4，滑雪者沿斜面下滑時(shí)，斜面的支持力與運(yùn)動(dòng)方向垂直，不做功。如果阻力做的功較少，可以忽略，則只有重力做功。
此種情況下，動(dòng)能與重力勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能守恒。如果阻力做的功較大，不能忽略，則機(jī)械能不守恒。
把一個(gè)小球用細(xì)線懸掛起來，就成為一個(gè)擺(圖8.4-5)，擺長為 l，最大偏角為θ。如果阻力可以忽略，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是多少?
分析 在阻力可以忽略的情況下，小球擺動(dòng)過程中受重力和細(xì)線的拉力。細(xì)線的拉力與小球的運(yùn)動(dòng)方向垂直不做功，所以這個(gè)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒。小球在最高點(diǎn)只有重力勢(shì)能，動(dòng)能為0，計(jì)算小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)重力勢(shì)能的差值，根據(jù)機(jī)械能守恒定律就能得出它在最低點(diǎn)的動(dòng)能，從而算出它在最低點(diǎn)的速度。
解 以小球?yàn)檠芯繉?duì)象。設(shè)最低點(diǎn)的重力勢(shì)能為 0，以小球在最高點(diǎn)的狀態(tài)作為初狀態(tài)，以小球在最低點(diǎn)的狀態(tài)作為末狀態(tài)。在最高點(diǎn)的動(dòng)能Ekl= 0，重力勢(shì)能是Epl=mg(l-lcs θ)
從得到的表達(dá)式可以看出，初狀態(tài)的θ角越大，cs θ越小，(l- cs θ)就越大，v也就越大。也就是說，最初把小球拉得越高，它到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度也就越大。這與生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。
從這個(gè)例題可以看出，如果研究對(duì)象在某一過程中滿足機(jī)械能守恒的條件，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決問題只需考慮運(yùn)動(dòng)的初狀態(tài)和末狀態(tài)，不必考慮兩個(gè)狀態(tài)間過程的細(xì)節(jié)，這樣就簡(jiǎn)化了計(jì)算。
如果直接用牛頓定律解決問題需要分析過程中各種力的作用，而這些力又往往在變化著。因此，一些難于用牛頓定律解決的問題，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律則有可能易于解決。
守恒定律不僅給處理問題帶來方便，而且有更深刻的意義。物理世界是千變?nèi)f化的，但是，人們發(fā)現(xiàn)有些物理量在一定條件下是守恒的，可以用這些“守恒量”來表示物理世界變化的規(guī)律，這就是守恒定律。
機(jī)械能守恒定律就是其中一個(gè)。正因?yàn)樽匀唤绱嬖谥笆睾懔俊?，而且，某些守恒定律的適用范圍很廣，所以，在物理學(xué)中尋求“守恒量”已經(jīng)成為物理學(xué)研究的一種重要思想方法。
1.在下面列舉的各個(gè)實(shí)例中(除A外都不計(jì)空氣阻力)，哪些過程中機(jī)被能是守恒的?說明理由（ ）A.跳傘運(yùn)動(dòng)員帶著張開的降落傘在空氣中勻速下落B.拋出的標(biāo)槍在空中運(yùn)動(dòng)C.拉著一個(gè)金屬塊使它沿光滑的斜面勻速上升D.在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的小球碰到一個(gè)彈黃，把彈簧壓縮后，又被彈回來
2.如圖8.4-6，質(zhì)量為m的小球從光滑怕面上滑下。當(dāng)它到達(dá)高度為h1的位置A時(shí)，速度的大小為v1;當(dāng)它繼續(xù)滑下到高度為h2的位置B時(shí)，速度的大小為h1在由高度力滑到高度h2的過程中，重力做的功為 W.
3.質(zhì)量為0.5 kg的石塊從10 m 高處以30°角斜向上方拋出（圖8.4-7 ），初速度v0的大小為5m/s。不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2(1)石決落地時(shí)的速度是多大? 請(qǐng)用機(jī)械能守恒定律和動(dòng)能定理分別討論。
(2)（多選）石塊落地時(shí)速度的大小與下列哪些量有關(guān)，與哪些量元關(guān)?說明理由（ ）A.石塊的質(zhì)量B，石塊的初速度C，石塊初速度的仰角D.石換拋出時(shí)的高度
4.一條輕繩跨過定滑輪，繩的兩端各系一個(gè)小瓊A和B，B球的質(zhì)量是A球的3倍。用手托住B球，當(dāng)輕繩剛好被拉緊時(shí)，B球離地面的高度是h，A球靜止于地面，如圖8.4-8所示。釋放B球，當(dāng)B球剛落地時(shí)，求A球的速度大小。定滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦均不計(jì)重力加速度為g。
5.把質(zhì)量是0.2 kg的小球放在堅(jiān)豎立的彈簧上，并把小球往下按至A的位置，如圖8.4-9 甲所示。迅速松手后，彈簧把小球彈起，小球升至最高位置C(圖8.4-9乙)，途中經(jīng)過位置B時(shí)彈黃正好處于自由狀態(tài)。已知B、A的高度差為0.1m，C、B的高度差為0.2m，彈簧的質(zhì)量和空氣的阻力均可忽略，g取10m/s2
(1)分別說出小球由位置A至位置 B、由位置B至位置C時(shí)，小球和彈贊的能量轉(zhuǎn)化情況。(2)小球處于位置A時(shí)，彈黃的彈性勢(shì)能是多少? 在位置C時(shí)，小球的動(dòng)能是多少?
6.圖8.4-10是某域市廣場(chǎng)噴泉噴出水柱的場(chǎng)景。從遠(yuǎn)處看，噴泉噴出的水柱超造了40層樓的高度;靠近看，噴管的直徑約為10cm。請(qǐng)你據(jù)此估計(jì)用于給噴管噴水的電動(dòng)機(jī)輸出功率至少有多大?

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