2024年新高考專用數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反基礎(chǔ)版 6.4 計數(shù)原理及排列組合（精講）（基礎(chǔ)版）（原卷版+解析版）

這是一份2024年新高考專用數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反基礎(chǔ)版 6.4 計數(shù)原理及排列組合（精講）（基礎(chǔ)版）（原卷版+解析版），共22頁。試卷主要包含了排隊問題，排數(shù)問題，分組分配，涂色等內(nèi)容，歡迎下載使用。

考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 排隊問題
【例1】 (2023·廣東）有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)全體站成一排，女生互不相鄰；
(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；
(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；
(5)男生順序已定，女生順序不定；
(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；
(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．
【一隅三反】
1． (2023·河北·藁城新冀明中學(xué)）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？
(1)女生甲排在正中間；
(2)名女生不相鄰；
(3)女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；
(4)名女生中間恰有名男生．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？
(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？
(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
考點二 排數(shù)問題
【例2】 (2023·江蘇）用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少?
（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少?
（3）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第幾個?
【一隅三反】
1． (2023·吉林）從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
試問：（1）能組成多少個不同的五位偶數(shù)？
（2）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？
（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問
（1）能夠組成多少個五位奇數(shù)？
（2）能夠組成多少個正整數(shù)？
（3）能夠組成多少個大于40000的正整數(shù)？
3． (2023·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:
(1)可組成多少個五位數(shù)；
(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；
(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；
(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．
考點三 分組分配
【例3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為宣傳城市文化，提高城市知名度，我市某所學(xué)校5位同學(xué)各自隨機從“趵突騰空”、“ 歷山覽勝”、“明湖匯泊”三個城市推薦詞中選擇一個，來確定該學(xué)校所推薦的景點，則三個推薦詞都有人選的概率是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·河北·邢臺市南和區(qū)第一中學(xué)）某研究機構(gòu)采訪了“—帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關(guān)鍵詞表達對中國的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為高鐵，移動支付，網(wǎng)購，共享單車、一帶一路、無人機、大熊貓、廣場舞、中華美食、長城、京劇、美麗鄉(xiāng)村．其中使用頻率排前4的關(guān)鍵詞“高鐵、移動支付、網(wǎng)購、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明”．若將這12個關(guān)鍵詞平均分成3組，且各組都包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞．則不同的分法種數(shù)為（ ）
A．1680B．3360C．6720D．10080
3． (2023·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)）某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．72B．84C．90D．96
考點四 涂色
【例4】 (2023·浙江·）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（ ）
A．480B．720C．1080D．1200
【舉一反三】
1． (2023·山東煙臺）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同.記事件A：“區(qū)域1和區(qū)域3顏色不同”，事件B：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·河北·藁城新冀明中學(xué)）有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．1512種B．1346種C．912種D．756種
3 (2023·廣東廣州）如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（ ）
A．24種B．48種C．72種D．96種
6.4 計數(shù)原理及排列組合（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 排隊問題
【例1】 (2023·廣東）有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．
(1)選5人排成一排；
(2)全體站成一排，女生互不相鄰；
(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；
(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；
(5)男生順序已定，女生順序不定；
(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；
(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；
(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．
【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240
【解析】（1）從7人中選5人排列，排法有（種）．
（2）先排男生，有種排法，再在男生之間及兩端的4個空位中排女生，有種排法．故排法共有（種）．
（3）方法一（特殊元素優(yōu)先法） 先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故排法共有（種）．方法二（特殊位置優(yōu)先法） 左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故排法共有（種）．
（4）方法一 分兩類：第一類，甲在最右邊，有種排法；第二類，甲不在最右邊，甲可從除去兩端后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，而乙可從除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，其余人全排列，有種排法．故排法共有（種）．方法二 7名學(xué)生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊時，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故排法共有（種）．
（5）7名學(xué)生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故排法共有（種）．
（6）把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（種）．
（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法．故排法共有（種）．
（8）將甲、乙看成一個整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）．
【一隅三反】
1． (2023·河北·藁城新冀明中學(xué)）有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？
(1)女生甲排在正中間；
(2)名女生不相鄰；
(3)女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；
(4)名女生中間恰有名男生．
【答案】(1)種；(2)種；(3)種；(4)種.
【解析】(1)女生甲排在正中間，其余人有種排法，因此不同排法種數(shù)為種；
(2)將名男生排成一排，有種排法，2名女生可以在
每2名男生之間及兩端共6個位置中選出2個排，有種排法，因此不同排法種數(shù)為種；
(3)對7名學(xué)生全排列有種排法，因此不同排法種數(shù)為種；
(4)選1名男生排在2名女生中間，有種排法，將3人看成1個元素，
與4名男生共5個元素排成一排，不同的排法有種，
又因為2名女生有種排法，因此不同排法種數(shù)為種.
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過道工序．
(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）
【答案】(1)96(2)48(3)72
【解析】(1)先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
(2)先排A，B這2道工序，有種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；
(3)先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將C，D這2道工序插空，有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有8個人男3女）站成一排.
(1)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(2)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？
(5)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(6)其中甲乙丙不能彼此相鄰，有多少種不同排法？
(7)男生在一起，女生也在一起，有多少種不同排法？
(8)第3和第6個排男生，有多少種不同排法？
(9)甲乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(10)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)
【解析】(1)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，
將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；
(2)根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，
則甲必須站在排頭有種排法；
(3)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，
則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；
(4)根據(jù)題意，先將出甲乙之外的6人全排列，有種情況，排好后有7個空位，
則7個空位中，任選2個，安排甲乙二人，有種情況，則甲、乙兩人不相鄰有種排法；
(5)根據(jù)題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，
則甲在乙的左邊有種不同的排法；
(6)根據(jù)題意，先將出甲乙丙之外的5人全排列，有種情況，排好后有6個空位，
則6個空位中，任選3個，安排甲乙丙三人，有種情況，其中甲乙丙不能彼此相鄰有種不同排法；
(7)根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，
再將5名男生看成一個整體，考慮5人之間的順序，有種情況，
將男生、女生整體全排列，有種情況，則男生在一起，女生也在一起，有種不同排法；
(8)根據(jù)題意，在5個男生中任選2個，安排在第3和第6個位置，有種情況，
將剩下的6人全排列，有種情況，則第3和第6個排男生，有種不同排法；
(9)根據(jù)題意，將甲乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，
將剩下的6人全排列，有種情況，甲乙不能排在前3位，有種不同排法；
(10)根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，
在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法.
考點二 排數(shù)問題
【例2】 (2023·江蘇）用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有多少?
（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有多少?
（3）在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第幾個?
【答案】（1）36個（2）36個（2）49個
【解析】（1）在組成的五位數(shù)中，所有奇數(shù)的個數(shù)有個；
（2）在組成的五位數(shù)中，數(shù)字1和3相鄰的個數(shù)有個；
（3）要求在組成的五位數(shù)中，要求得從小到大排列，30124排第幾個，則計算出比30124小的五位數(shù)的情況，比30124小的五位數(shù)，則萬位為1或2，其余位置任意排，即，故在組成的五位數(shù)中比30124小的數(shù)有48個，所以在組成的五位數(shù)中，若從小到大排列，30124排第49個.
【一隅三反】
1． (2023·吉林）從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．
試問：（1）能組成多少個不同的五位偶數(shù)？
（2）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？
（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）
【答案】（1）576；（2）576；（3）144
【解析】（1）偶數(shù)在末尾，五位偶數(shù)共有＝576個．
（2）五位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有＝576個．
（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有＝144．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問
（1）能夠組成多少個五位奇數(shù)？
（2）能夠組成多少個正整數(shù)？
（3）能夠組成多少個大于40000的正整數(shù)？
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】（1）首先排最個位數(shù)字，從1、3、5中選1個數(shù)排在個位有種，其余4個數(shù)全排列有種，按照分步乘法計數(shù)原理可得有個五位奇數(shù)；
（2）根據(jù)題意，
若組成一位數(shù)，有5種情況，即可以有5個一位數(shù)；
若組成兩位數(shù)，有種情況，即可以有20個兩位數(shù)；
若組成三位數(shù)，有種情況，即可以有60個三位數(shù)；
若組成四位數(shù)，有種情況，即可以有120個四位數(shù)；
若組成五位數(shù)，有種情況，即可以有120個五位數(shù)；
則可以有個正整數(shù)；
（3）根據(jù)題意，若組成的數(shù)字比40000大的正整數(shù)，其首位數(shù)字為5或4，有2種情況；
在剩下的4個數(shù)，安排在后面四位，共有種情況，
則有個比40000大的正整數(shù)；
3． (2023·民大附中海南陵水分校）用0、1、2、3、4五個數(shù)字:
(1)可組成多少個五位數(shù)；
(2)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)；
(3)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù)；
(4)可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)
用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成五位數(shù),相當(dāng)于從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在千位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在十位，有種情況，從0、1、2、3、4五個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，
所以可組成個五位數(shù).
(2)用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),相當(dāng)于先從1、2、3、4四個數(shù)字中抽取一個放在萬位，有種情況，再把剩下的三個數(shù)字和0全排列，有種情況，所以可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).
(3)無重復(fù)數(shù)字的3的倍數(shù)的三位數(shù)組成它的三個數(shù)字之和必須是3的倍數(shù)，
所以三個數(shù)字必須是0、1、2或0、2、4或1、2、3或2、3、4，
若三個數(shù)字是0、1、2，則0不能放在百位，從1和2兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；
若三個數(shù)字是0、2、4，則0不能放在百位，從2和4兩個數(shù)字中抽取一個放在百位，有種情況，再把剩下的一個數(shù)字和0全排列，有種情況；
若三個數(shù)字是1、2、3，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有種情況;
若三個數(shù)字是2、3、4，則相當(dāng)于對這三個數(shù)字全排列，有種情況.
所以根據(jù)分類計數(shù)原理，共可組成
個無重復(fù)數(shù)字的且是3的倍數(shù)的三位數(shù).
(4)由數(shù)字0、1、2、3、4五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則放在個位的數(shù)字只能是奇數(shù)，所以放在個位數(shù)字只能是1或3，所以相當(dāng)于先從1、3兩個數(shù)字中抽取一個放在個位，有種情況，再從剩下的四個數(shù)字中除去0抽取一個放在萬位，有種情況，再對剩下的三個數(shù)字全排列，有種情況，
所以可組成個無重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù).
考點三 分組分配
【例3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30
【解析】（1）無序不均勻分組問題.先選本有種選法;再從余下的本中選本有種選法;最后余下的本全選有種選法.故共有 (種)選法.
（2）有序不均勻分組問題.由于甲、乙、丙是不同三人,在題的基礎(chǔ)上,還應(yīng)考慮再分配,共有.
（3）無序均勻分組問題.先分三步,則應(yīng)是種選法,但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,記該種分法為(,,),則種分法中還有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有種情況,而這種情況僅是,,的順序不同,因此只能作為一種分法,故分配方式有.
（4）有序均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式 (種).
（5）無序部分均勻分組問題.共有 (種)分法.
（6）有序部分均勻分組問題.在題的基礎(chǔ)上再分配給個人,共有分配方式 (種).
（7）直接分配問題.甲選本有種選法,乙從余下本中選本有種選法,余下本留給丙有種選法,共有 (種)選法.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為宣傳城市文化，提高城市知名度，我市某所學(xué)校5位同學(xué)各自隨機從“趵突騰空”、“ 歷山覽勝”、“明湖匯泊”三個城市推薦詞中選擇一個，來確定該學(xué)校所推薦的景點，則三個推薦詞都有人選的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】5位同學(xué)任意選取1個景點的方法數(shù)為，
三個推薦詞都有人選，可以先把5人分成三組，然后每組選一個，方法數(shù)為，
所以所求概率為．故選：A．
2． (2023·河北·邢臺市南和區(qū)第一中學(xué)）某研究機構(gòu)采訪了“—帶一路”沿線20國的青年，讓他們用一個關(guān)鍵詞表達對中國的印象，使用頻率前12的關(guān)鍵詞為高鐵，移動支付，網(wǎng)購，共享單車、一帶一路、無人機、大熊貓、廣場舞、中華美食、長城、京劇、美麗鄉(xiāng)村．其中使用頻率排前4的關(guān)鍵詞“高鐵、移動支付、網(wǎng)購、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明”．若將這12個關(guān)鍵詞平均分成3組，且各組都包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞．則不同的分法種數(shù)為（ ）
A．1680B．3360C．6720D．10080
【答案】B
【解析】先將4個“新四大發(fā)明”分成1，1，2三組，有種不同的分法，
再將余下的8個分成3，3，2三組，有種不同的分法，最后配成三組，所以共有種不同的分法．故選：B.
3． (2023·河北省曲陽縣第一高級中學(xué)）某地區(qū)安排A，B，C，D，E，F(xiàn)六名黨員志愿者同志到三個基層社區(qū)開展防詐騙宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，至多安排三人，且A，B兩人安排在同一個社區(qū)，C，D兩人不安排在同一個社區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．72B．84C．90D．96
【答案】B
【解析】第一種分配方式為每個社區(qū)各兩人，則CE一組，DF一組，或CF一組，DE一組，由2種分組方式，再三組人，三個社區(qū)進行排列，則分配方式共有種；
第二種分配方式為一個社區(qū)1人，一個社區(qū)2人，一個社區(qū)3人，
當(dāng)AB兩人一組去一個社區(qū)，則剩下的4人，1人為一組，3人為一組，則必有C或D為一組，有種分配方法，再三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；
當(dāng)AB加上另一人三人去一個社區(qū)，若選擇的是C或D，則有種選擇，再將剩余3人分為兩組，有種分配方法，將將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法；
若選擇的不是C或D，即從E或F中選擇1人和AB一起，有種分配方法，再將CD和剩余的1人共3人分為兩組，有2種分配方法，將三個社區(qū)，三組人，進行排列，有種分配方法，
綜上共有12+12+36+24=84種不同的分配方式故選：B
考點四 涂色
【例4】 (2023·浙江·）如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（ ）
A．480B．720C．1080D．1200
【答案】D先給O涂色，有種方法，接著給A涂色，有種方法，接著給B涂色，有種方法，
①若C與A同色，則有1種涂色方法，接著給D涂色，有3種涂色方法，
最后E有2種涂色方法；
②若C與A不同色，則有2種涂色方法，接著給D涂色，
若D與A同色，則有1種涂色方法，最后E有3種涂色方法；
若D與A不同色，則有2種涂色方法，最后E有2種涂色方法.
綜上，涂色方法總數(shù)為故選：D
【舉一反三】
1． (2023·山東煙臺）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”.后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，現(xiàn)提供5種顏色給圖中的5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同.記事件A：“區(qū)域1和區(qū)域3顏色不同”，事件B：“所有區(qū)域顏色均不相同”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A事件有 個基本事件，
B事件有 個基本事件，
；
故選：B.
2． (2023·河北·藁城新冀明中學(xué)）有4種不同顏色的涂料，給圖中的6個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不相同，則不同的涂色方法共有（ ）
A．1512種B．1346種C．912種D．756種
【答案】D
【解析】1、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂相同顏色，則有3種方法，C，E，F(xiàn)區(qū)域分別有3種方法，共有4×3×3×3×3=324種方法．
2、先涂A區(qū)域，則有4種方法，若B，D區(qū)域涂不同顏色，則有3×2種方法，則E區(qū)域有2種方法，C，F(xiàn)分別有3種方法，共有4×3×2×2×3×3=432種方法．
故不同的涂色方法共有756種．
故選：D
3 (2023·廣東廣州）如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有（ ）
A．24種B．48種C．72種D．96種
【答案】B
【解析】按涂色順序進行分四步：涂A部分時，有4種涂法；涂B部分時，有3種涂法；涂C部分時，有2種涂法；涂D部分時，有2種涂法.
由分步乘法計數(shù)原理，得不同的涂色方法共有種.故選：B.