2024年新高考專用數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反基礎(chǔ)版 3.5 正余弦定理（精講）（基礎(chǔ)版）（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一正余弦定理公式選擇
【例1-1】 (2023·廣東廣東·一模）中，若，則（）
A．B．C．D．
【例1-2】 (2023·北京順義·二模）在中，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要件
【一隅三反】
1． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，.若，，，則（）
A．B．C．或D．或
2． (2023·浙江）中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）
A．B．C．D．
3． (2023·吉林·長(zhǎng)春十一高）的三個(gè)內(nèi)角??滿足，則（）
A．B．C．D．
4． (2023·四川·樹德中學(xué)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）
A．B．或
C．D．或
考點(diǎn)二邊角互化
【例2-1】 (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·陜西商洛·一模（理））的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則b=（）
A．4B．C．D．2
【例2-3】 (2023·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且，則的值為（）
A．B．C．D．
【例2-4】 (2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則（）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
2． (2023·北京石景山·一模）在中，，若，則的大小是（）
A．B．C．D．
3． (2023·安徽安慶·二模（文））的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，則（）
A．B．C．D．
4． (2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（文））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，且，則___________.
5． (2023·重慶·高三階段練習(xí)）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，記外接圓半徑為，且，則角的大小為________．
考點(diǎn)三三角形的面積
【例3-1】 (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積（）
A．B．C．1D．
【例3-2】 (2023·安徽宣城·二模）已知銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則的面積是__________．
【例3-3】 (2023·陜西榆林·三模（理））△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若△的面積為，，，則（）
A．10B．3C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若的面積為S，且，則（）
A．1B．C．D．
2． (2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.
3． (2023·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，的面積，則的外接圓的直徑為（）
A．B．5C．D．
4． (2023·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，則的面積的最大值（）
A．1B．C．2D．
考點(diǎn)四判斷三角形的形狀
【例4】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2csAsinB＝sinC，則該三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角滿足，又，則這個(gè)三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．鈍角三角形
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，則的形狀一定是（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，則的形狀是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等邊三角形
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于，有如下四個(gè)命題:
①若，則為等腰三角形，
②若，則是直角三角形
③若，則是鈍角三角形
④若，則是等邊三角形.
其中正確的命題序號(hào)是_________
考點(diǎn)五三角形解個(gè)數(shù)
【例5】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（）
A．4B．C．D．
2． (2023·江西上饒·一模）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知下列條件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（）
A．①④B．①②C．②③D．③④
3． (2023·河南·南陽中學(xué)）中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
考點(diǎn)六幾何中的正余弦定理
【例6】 (2023·廣東梅州·二模）在中，點(diǎn)在上，平分，已知，，
(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值.
【一隅三反】
1． (2023·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在中，對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.
2． (2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，的面積為．
(1)求b，c．
(2)O為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交BO延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若的面積為，求．
3． (2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．
(1)證明：；
(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．
①； ②．
注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
3.5 正余弦定理（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一正余弦定理公式選擇
【例1-1】 (2023·廣東廣東·一模）中，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中，，由正弦定理得：，即,
解得：.故選：B
【例1-2】 (2023·北京順義·二模）在中，，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要件
【答案】B
【解析】中，，由正弦定理，，，
，所以，可為銳角也可為鈍角，所以或，
因此“”是“”的必要不充分條件．故選：B．
【一隅三反】
1． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，.若，，，則（）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，則，
故或.因?yàn)椋?，所?故選：A
2． (2023·浙江）中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得：，所以.故選：A.
3． (2023·吉林·長(zhǎng)春十一高）的三個(gè)內(nèi)角??滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>可設(shè)，由余弦定理可得.故選：B.
4． (2023·四川·樹德中學(xué)）在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【解析】由得，，由余弦定理得，
因?yàn)?，所?故選：C
考點(diǎn)二邊角互化
【例2-1】 (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，所以?br>所以故選:D
【例2-2】 (2023·陜西商洛·一模（理））的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則b=（）
A．4B．C．D．2
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，?又，所以，
由余弦定理得： ,從而，故選：B
【例2-3】 (2023·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以得?br>又因?yàn)?，所以，進(jìn)而有，
因?yàn)?，所以，由正弦定理得?br>又，消，可得，所以，故選：B.
【例2-4】 (2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，因?yàn)椋?br>由正弦定理，可得，即，
可得，
因?yàn)椋傻?，即?br>因?yàn)椋傻?，所?故選：C.
【一隅三反】
1． (2023·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：，在中，，所以，
所以，即：，，，可得，
同理，當(dāng)時(shí)，也可得成立，故選：A.
2． (2023·北京石景山·一模）在中，，若，則的大小是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，由余弦定理可知?br>即，得，所以是等邊三角形，.故選：C
3． (2023·安徽安慶·二模（文））的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理及得：，解得，
在中，，，于是為銳角，所以.故選：C
4． (2023·內(nèi)蒙古包頭·高三期末（文））已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，且，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，由正弦定理，可得?br>又因?yàn)?，所以，解得，由余弦定理知?br>所以，
即，解得.故答案為：.
5． (2023·重慶·高三階段練習(xí)）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，記外接圓半徑為，且，則角的大小為________．
【答案】
【解析】由正弦定理：故
即
故，又故故答案為：
考點(diǎn)三三角形的面積
【例3-1】 (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積（）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】根據(jù)正弦定理，由，，
由余弦定理可知：，解得，或（舍去），
因?yàn)?，所以，因此?br>故選：D
【例3-2】 (2023·安徽宣城·二模）已知銳角內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則的面積是__________．
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，由，則，而三角形ABC為銳角三角形，所以.
由余弦定理，，所以.
故答案為：.
【例3-3】 (2023·陜西榆林·三模（理））△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若△的面積為，，，則（）
A．10B．3C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋瑒t，又，
所以，又，可得，，所以，即.故選：C
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若的面積為S，且，則（）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
代入，即，
∵，∴，即，
故選：B.
2． (2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的面積為______.
【答案】
【解析】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?br>所以，
因?yàn)樗?br>因?yàn)椋瑒t，則，所以為等邊三角形，故的面積
故答案為：
3． (2023·江蘇省高郵中學(xué)高三階段練習(xí)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，的面積，則的外接圓的直徑為（）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，的面積，所以，解得，
由余弦定理得，解得，
所以的外接圓的直徑為，故選：C
4． (2023·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，則的面積的最大值（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理，可化為.
因?yàn)?所以.
由余弦定理，可化為：，解得：（a=0舍去）.
因?yàn)?，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
所以的面積.故選：B
考點(diǎn)四判斷三角形的形狀
【例4】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2csAsinB＝sinC，則該三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形
【答案】C
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，
由2csAsinB＝sinC，得∴，即，又，
故三角形為等邊三角形.故選：C
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角滿足，又，則這個(gè)三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．等邊三角形
C．等腰直角三角形D．鈍角三角形
【答案】B
【解析】因的三個(gè)內(nèi)角，而，則，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等邊三角形.故選：B
2． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，則的形狀一定是（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，所?br>即，所以，因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)?，所以，即是直角三角?故選：B
3． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，則的形狀是（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等邊三角形
【答案】D
【解析】在中，，又由余弦定理知，，
兩式相加得：，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“” ，又，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），為的內(nèi)角，
，，又，的形狀為等邊△．故選：．
4． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于，有如下四個(gè)命題:
①若，則為等腰三角形，
②若，則是直角三角形
③若，則是鈍角三角形
④若，則是等邊三角形.
其中正確的命題序號(hào)是_________
【答案】③④
【解析】對(duì)于①可推出或，故不正確；
②若，顯然滿足條件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得，所以，是鈍角三角形；
④由正弦定理知，由于半角都是銳角，所以，三角形是等邊三角形.
故答案為：③④
考點(diǎn)五三角形解個(gè)數(shù)
【例5】 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，則根據(jù)條件解三角形時(shí)恰有一解的一組條件是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故有兩解；
對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理可得，且，故只有一解；
對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理可得，故無解；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則角為的最大內(nèi)角，且，故無解.故選：B.
【一隅三反】
1． (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有兩組解的a的值可以為（）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，根據(jù)正弦定理有，所以，
要使三角形有兩組解，則，且，即，所以，
所以a的值可以為．故選：C．
2． (2023·江西上饒·一模）中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知下列條件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】C
【解析】對(duì)于①，因?yàn)?，且，所以三角形有兩解?br>對(duì)于②，因?yàn)?，且，所以三角形一解?br>對(duì)于③，，所以三角形有一解；
對(duì)于④，，，，則，則，所以三角形無解.
所以滿足上述條件的三角形有一解的是②③.故選：C
3． (2023·河南·南陽中學(xué)）中，已知下列條件：①；②；③；④，其中滿足上述條件的三角形有兩解的是（）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
【答案】B
【解析】①，三角形有兩解；②，三角形有兩解；③，三角形有一解；④，三角形無解.故選：B.
考點(diǎn)六幾何中的正余弦定理
【例6】 (2023·廣東梅州·二模）在中，點(diǎn)在上，平分，已知，，
(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)依題意，由余弦定理得：，
解得：
(2)依題意，由正弦定理得：，所以.
因?yàn)椋詾殇J角，所以.
因?yàn)?，所以?br>所以.
【一隅三反】
1． (2023·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在中，對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.
【答案】(1).(2).
【解析】(1)由正弦定理及已知，得，
，，，，
又，所以，即；
(2)由A?B?C?D四點(diǎn)共圓得，
設(shè)，在三角形中，由余弦定理得
所以，而，
，
，因此.
2． (2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，的面積為．
(1)求b，c．
(2)O為邊AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作交BO延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若的面積為，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，，∴，
，則，
在中，由余弦定理得，即，∴?,
∴，∴，∴，解得：，∴．
(2)設(shè)，，則，∴，
，則∽．
∴，∴，
∴，解得：或（舍去）或0（舍去），
∴，
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
則，，
又，則，∴．
3． (2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，為鈍角，．
(1)證明：；
(2)若，，再?gòu)南旅姊佗谥羞x取一個(gè)作為條件，求的面積．
①； ②．
注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】(1)因?yàn)?，所以，故?br>(2)選①．因?yàn)?，所?br>在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得所以，故，
在中，因?yàn)?，所以?br>又．
選②，
設(shè)，則，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，則
,，
所以，
所以．
所以.

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