考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 直接型
【例1-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且值域為的有（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，函數(shù)值域為的是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（ ）
A．B．
C．D．
考點二 換元型
【例2】 (2023·黑龍江）求函數(shù)的值域______．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是___．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
考點三 分離常數(shù)型
【例3-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1． (2023·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)的值域（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
考點四 已知值域求參數(shù)
【例4-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域和值域都是，則（ ）
A．1B．3C．D．1或3
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8.3 值域（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 直接型
【例1-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，值域為的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意利用基本初等函數(shù)的值域，得出結(jié)論．
函數(shù)的值域為，，故排除；函數(shù)的值域為，故排除；
函數(shù)的值域為，故滿足條件；函數(shù)的值域為，，故排除，
故選：．
【例1-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且值域為的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由題意可得是奇函數(shù)，故排除選項B；是偶函數(shù)，但值域為，故排除選項C；和都是偶函數(shù)，且值域均為.故選：AD.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，當(dāng)時，，又，
所以，，即所以，故選：D．
2． (2023·浙江·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，函數(shù)值域為的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】對于選項，函數(shù)的值域為，所以選項錯誤；
對于選項，函數(shù)，所以函數(shù)的值域為，所以選項正確；
對于選項函數(shù)的值域為,所以選項錯誤；
對于選項，函數(shù)的值域為，所以選項錯誤.故選：B
3． (2023·河南·模擬預(yù)測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A. ，最小值為5，故錯誤；
B. 令，則在上遞減，其最小值為10，故錯誤；
C. ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故正確；
D. 當(dāng)時，，顯然不成立，故錯誤；
故選：C
考點二 換元型
【例2】 (2023·黑龍江）求函數(shù)的值域______．
【答案】
【解析】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．故答案為：.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為___________．
【答案】
【解析】因為，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為；
故答案為：
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值是___．
【答案】
【解析】由題意，函數(shù)，令，則，所以，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時，，即函數(shù)的最大值為.故答案為：.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為________．
【答案】
【解析】由可得，即函數(shù)的定義域為所以設(shè)，，
則，
因為，所以，所以，
所以，所以函數(shù)的值域為，
故答案為：.
考點三 分離常數(shù)型
【例3-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
又，所以函數(shù)的值域為故選：A
【例3-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則有，
當(dāng)時，代入原式，解得．
當(dāng)時，，
由，解得，于是的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．
故選：B.
【例3-3】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因為
，
所以函數(shù)的值域為.故選：C
【一隅三反】
1． (2023·全國·江西科技學(xué)院附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））函數(shù)的值域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，其中的值域為，故函數(shù)的值域為，故選D．
2． (2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
【答案】.
【解析】，
因，即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時等號成立，于是得，
所以原函數(shù)的值域為.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域.
【答案】
【解析】因為，又，
所以，所以函數(shù)的值域為.
考點四 已知值域求參數(shù)
【例4-1】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，又函數(shù)的值域為R，
則，解得．故選：C．
【例4-2】 (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,+∞)上單調(diào)遞增，
時時，
函數(shù)的部分圖象及在上的的圖象如圖所示.
所以為使函數(shù)在上的值域為，實數(shù)m的取值范圍是，
故選：B.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域和值域都是，則（ ）
A．1B．3C．D．1或3
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且定義域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故選：B
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】時，，
又的值域為，則時，的值域包含，
，解得：.故選：B
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以，此時，
當(dāng)時，由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時取等號，
因為在上單調(diào)遞增，
若的值域為，則有，即，則，
綜上，，
所以實數(shù)的取值范圍為
故選：A.

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