A．產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元B．產(chǎn)量每減少件,單位成本約下降元
C．當(dāng)產(chǎn)量為千件時,單位成本為元D．當(dāng)產(chǎn)量為千件時,單位成本為元
2．（2022安徽）“關(guān)注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協(xié)會從年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第年(年是第一年)與捐贈的現(xiàn)金(萬元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了關(guān)于的線性回歸方程，則預(yù)測年捐贈的現(xiàn)金大約是
A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元
3．（2022福建）為研究某種細菌在特定環(huán)境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗數(shù)據(jù)：
由最小二乘法得與的線性回歸方程為，則當(dāng)時，繁殖個數(shù)的預(yù)測值為
A．4.9B．5.25
C．5.95D．6.15
4． (2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）（多選）在研究某品牌汽車的使用年限x（單位：年）與殘值y（單位：萬元）之間的關(guān)系時，根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)得到如下的對應(yīng)值表：
利用最小二乘法，得到回歸直線方程為，下列說法正確的是（ ）
x與y的樣本相關(guān)系數(shù)B．回歸直線必過點
C．D．預(yù)測該品牌汽車使用20年后，殘值約為2萬元
5． (2023·廣東·模擬預(yù)測）（多選）已知與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，變量，的部分取值如表所示，則（ ）
A．與負相關(guān)B．
C．時，的預(yù)測值為D．處的殘差為
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在2017年3月15日，某市物價部門對本市的5家商場的某種商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
由散點圖可知，銷售量與價格之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是：，則__________．
7．（2022·江蘇）已知，取值如表：
畫散點圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則__________．
題組二 線性回歸方程（解答題）
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）網(wǎng)購是現(xiàn)代年輕人重要的購物方式，截止：2021年12月，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模達8.42億，較2020年12月增長5968萬，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對其旗下的一家專營店近五年來每年的利潤額（單位：萬元）與時間第年進行了統(tǒng)計得如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（計算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
(2)試用最小二乘法求出利潤y與時間t的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)時的利潤額．
附：，
，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）足不出戶，手機下單，送菜到家，輕松逛起手機“菜市場”，拎起手機“菜籃子”，省心又省力．某手機（應(yīng)用程序）公司為了了解居民使用這款使用者的人數(shù)及滿意度，對一大型小區(qū)居民開展個月的調(diào)查活動，從使用這款的人數(shù)的滿意度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測該小區(qū)月份的對這款不滿意人數(shù)：
（2）工作人員發(fā)現(xiàn)使用這款居民的年齡近似服從正態(tài)分布，求的值；
（3）工作人員從這個月內(nèi)的調(diào)查表中隨機抽查人，調(diào)查是否使用這款與性別的關(guān)系，得到上表：能否據(jù)此判斷有的把握認為是否使用這款與性別有關(guān)？
參考公式：，．
3． (2023·貴州貴陽·（理））據(jù)貴州省氣候中心報，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實驗的方法來估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計算機或計算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時，表示該地區(qū)不下雨.因為是3天，所以每三個隨機數(shù)作為一組，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下:
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機數(shù)估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當(dāng)天降雨量（單位:mm）如表：
經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.并預(yù)測該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？
參考公式：，.
題組三 非線性回歸方程
1． (2023·內(nèi)蒙古·包鋼一中一模（文））人類已進入大數(shù)據(jù)時代，目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從級別躍升到，乃至級別（，，，）．由國際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：）的散點圖．根據(jù)散點圖，下面四個選項中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和實際的函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出線性回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值為__________.
3． (2023·湖南師大附中三模）魔方，又叫魯比克方塊，通常意義下的魔方，即指三階魔方，為的正方體結(jié)構(gòu)，由26個色塊組成.魔方競速是一項手部極限運動，常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內(nèi)復(fù)原.
(1)某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：
現(xiàn)用作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測該魔方愛好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1）？
參考數(shù)據(jù)：（其中）
參考公式：
對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.
(2)現(xiàn)有一個復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，現(xiàn)規(guī)定只可以扭動最外層的六個表面.某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動，記頂面白色色塊的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）小李準(zhǔn)備在某商場租一間商鋪開服裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計得到了它們的面積x（單位：）和日均客流量y（單位：百人）的數(shù)據(jù)，并計算得，，，.
(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；
(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟效益，該商場現(xiàn)有的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)果進行預(yù)測，要使單位面積的經(jīng)濟效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪?
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)如下：
(1)若按照檢測標(biāo)準(zhǔn)，合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（c?d為大于0的常數(shù)），求y關(guān)于x的回歸方程；
(2)已知產(chǎn)品的收益z（單位：千元）與產(chǎn)品尺寸和質(zhì)量的關(guān)系為，根據(jù)（1）中回歸方程分析，當(dāng)產(chǎn)品的尺寸x約為何值時（結(jié)果用整數(shù)表示），收益z的預(yù)報值最大？
附：（1）參考數(shù)據(jù)：，，，.
（2）參考公式：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.
6． (2023·山東聊城·三模）為迎接年北京冬奧會，踐行“更快更高更強”的奧林匹克格言，落實全民健身國家戰(zhàn)略.某校高二年級發(fā)起了“發(fā)揚奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動，經(jīng)過一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高.
(1)為了解活動效果，該年級對開展活動以來近個月體重超重的人數(shù)進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如上圖，根據(jù)上面的散點圖可以認為散點集中在曲線的附近，請根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)求出該年級體重超重人數(shù)與月份之間的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)和的最終結(jié)果精確到），并預(yù)測從開展活動以來第幾個月份開始該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至人以下？
(2)在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由隊員控制，此后足球僅在、、三名隊員之間傳遞，假設(shè)每名隊員控球時傳給其他隊員的概率如下表所示：
若傳球次，記隊員控球次數(shù)為，求的分布列及均值.
附：經(jīng)驗回歸方程：中，，；
參考數(shù)據(jù)：，，，.
題組四 獨立性檢驗
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)考試中，將某班所有學(xué)生的成績按照性別繪制成如下莖葉圖，規(guī)定；分數(shù)不低于125分為優(yōu)秀．
(1)求本次成績的眾數(shù)、中位數(shù)；
(2)從該班中任意抽取一位學(xué)生，求該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率；
(3)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為學(xué)生數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？
附：，其中．
2． (2023·青海西寧·二模（文））第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為（），統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得．
(1)求的值，并判斷有多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；
(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取2人進行面對面交流，求“至少抽到一名女生”的概率．
附：獨立性檢驗臨界值表
（參考公式：，其中）
3． (2023·吉林·洮南市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān)，隨機抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如表：
下面的臨界值表供參考：
(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)？
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．
附：，，
4． (2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））大豆是我國重要的農(nóng)作物，種植歷史悠久．某種子實驗基地培育出某大豆新品種，為檢驗其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗田上進行實驗（兩地塊的土質(zhì)等情況一致）.6月25日在A試驗田播種該品種大豆，7月10日在B試驗田播種該品種大豆．收獲大豆時，從中各隨機抽取20份（每份1千粒），并測量出每份的質(zhì)量（單位：克），按照，，進行分組，得到如下表格：
把千粒質(zhì)量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿，否則視為籽粒不飽滿．
(1)判斷是否有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)？
(2)從A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿的概率；
(3)用樣本估計總體，從A試驗田隨機抽取100份（每份千粒）大豆，記籽粒飽滿的份數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：，其中．
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））2022年北京冬奧組委會發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產(chǎn)報告 (2023）》顯示，北京冬奧會已簽約200家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該200家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對200家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有100家，余下的企業(yè)中，每天銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：
(1)完成上面的列聯(lián)表；
(2)根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有99.5%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān).
附：
天數(shù)（天）
3
4
5
6
繁殖個數(shù)（千個）
2.5
3
4.5
x
2
4
6
8
10
y
17
16
14
13
11
價格
9
9.5
10
10.5
11
銷售量
11
10
8
6
5
1
2
3
4
5
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
月份
不滿意的人數(shù)
使用
不使用
女性
男性
時間
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份
1
2
3
4
5
降雨量
28
27
25
23
22
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
99
99
45
32
30
24
21
184.5
0.37
0.55
尺寸
38
48
58
68
78
88
質(zhì)量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
質(zhì)量與尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
月份
體重超標(biāo)人數(shù)
控球隊員
接球隊員
概率
數(shù)學(xué)成績
男生
女生
總計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
總計
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
男生
女生
合計
了解
不了解
合計
喜歡統(tǒng)計課程
不喜歡統(tǒng)計課程
合計
男生
20
5
25
女生
10
20
30
合計
30
25
55
P（K2≥k0）
0.010
0.005
k0
6.635
7.879
A試驗田/份
3
6
11
B試驗田/份
6
10
4
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
銷售額不少于30萬元
銷售額不足30萬元
合計
線上銷售時間不少于8小時
75
100
線上銷售時間不足8小時
合計
200
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
6.3 統(tǒng)計案例（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一 線性回歸方程（小題）
1（2022云南）某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量(千件)與單位成本(元)滿足回歸直線方程,則以下說法中正確的是( )
A．產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元B．產(chǎn)量每減少件,單位成本約下降元
C．當(dāng)產(chǎn)量為千件時,單位成本為元D．當(dāng)產(chǎn)量為千件時,單位成本為元
【答案】A
【解析】令,因為,
所以產(chǎn)量每增加件,單位成本約下降元.
2．（2022安徽）“關(guān)注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協(xié)會從年開始每年向敬老院捐贈物資和現(xiàn)金.下表記錄了第年(年是第一年)與捐贈的現(xiàn)金(萬元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)，由此表中的數(shù)據(jù)得到了關(guān)于的線性回歸方程，則預(yù)測年捐贈的現(xiàn)金大約是
A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元
【答案】C
【解析】由已知得，，所以樣本點的中心點的坐標(biāo)為，代入，得，即，所以，取，得，
預(yù)測2019年捐贈的現(xiàn)金大約是萬元.
3．（2022福建）為研究某種細菌在特定環(huán)境下，隨時間變化的繁殖情況，得到如下實驗數(shù)據(jù)：
由最小二乘法得與的線性回歸方程為，則當(dāng)時，繁殖個數(shù)的預(yù)測值為
A．4.9B．5.25
C．5.95D．6.15
【答案】B
【解析】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，
即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，
解得，即回歸直線的方程為，
當(dāng)時，，故選B．
4． (2023·云南師大附中高三階段練習(xí)）（多選）在研究某品牌汽車的使用年限x（單位：年）與殘值y（單位：萬元）之間的關(guān)系時，根據(jù)調(diào)研數(shù)據(jù)得到如下的對應(yīng)值表：
利用最小二乘法，得到回歸直線方程為，下列說法正確的是（ ）
x與y的樣本相關(guān)系數(shù)B．回歸直線必過點
C．D．預(yù)測該品牌汽車使用20年后，殘值約為2萬元
【答案】BC
【解析】隨的增大呈遞減的趨勢，所以與為負相關(guān)關(guān)系，所以與的樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程為的，因為，，回歸直線必過點，所以，得，當(dāng)時，（萬元），綜上，正確答案為B，C.故選：BC.
5． (2023·廣東·模擬預(yù)測）（多選）已知與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，變量，的部分取值如表所示，則（ ）
A．與負相關(guān)B．
C．時，的預(yù)測值為D．處的殘差為
【答案】BC
【解析】由題意得，，
所以樣本中心點的坐標(biāo)為，代入線性回歸方程得，解得，B正確；
由可知與正相關(guān)，A錯誤；
時，，C正確；
時，，殘差為，D錯誤．故選：BC．
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）在2017年3月15日，某市物價部門對本市的5家商場的某種商品的一天銷售量及其價格進行調(diào)查，5家商場的售價元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
由散點圖可知，銷售量與價格之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是：，則__________．
【答案】40
【解析】根據(jù)題意：，，，
7．（2022·江蘇）已知，取值如表：
畫散點圖分析可知：與線性相關(guān)，且求得回歸方程為，則__________．
【答案】
【解析】計算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，
∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（3，），又y與x的線性回歸方程=x+1過樣本中心點，∴=1×3+1，
解得m=.故填.
題組二 線性回歸方程（解答題）
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）網(wǎng)購是現(xiàn)代年輕人重要的購物方式，截止：2021年12月，我國網(wǎng)絡(luò)購物用戶規(guī)模達8.42億，較2020年12月增長5968萬，占網(wǎng)民整體的81.6%．某電商對其旗下的一家專營店近五年來每年的利潤額（單位：萬元）與時間第年進行了統(tǒng)計得如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系？請計算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（計算結(jié)果精確到0.01）．（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）
(2)試用最小二乘法求出利潤y與時間t的回歸方程，并預(yù)測當(dāng)時的利潤額．
附：，
，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【答案】(1)，y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．
(2)，萬元．
【解析】（1）由題表，，因為，，，所以．故y與t的線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合．
（2），，所以．當(dāng)時，．預(yù)測該專營店在時的利潤為萬元．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）足不出戶，手機下單，送菜到家，輕松逛起手機“菜市場”，拎起手機“菜籃子”，省心又省力．某手機（應(yīng)用程序）公司為了了解居民使用這款使用者的人數(shù)及滿意度，對一大型小區(qū)居民開展個月的調(diào)查活動，從使用這款的人數(shù)的滿意度統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
（1）請利用所給數(shù)據(jù)求不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測該小區(qū)月份的對這款不滿意人數(shù)：
（2）工作人員發(fā)現(xiàn)使用這款居民的年齡近似服從正態(tài)分布，求的值；
（3）工作人員從這個月內(nèi)的調(diào)查表中隨機抽查人，調(diào)查是否使用這款與性別的關(guān)系，得到上表：能否據(jù)此判斷有的把握認為是否使用這款與性別有關(guān)？
參考公式：，．
【答案】（1），人；（2）0.9759；（3）有.
【解析】（1）由表中的數(shù)據(jù)可知：，，
，，
所求得回歸直線方程為，
當(dāng)時，，
該小區(qū)月份的對這款不滿意人數(shù)預(yù)估為人；
（2）．
（3）提出假設(shè)：是否使用這款與性別無關(guān)，
由表中的數(shù)據(jù)可得，
根據(jù)臨界值可得，有的把握認為是否使用這款與性別有關(guān)．
3． (2023·貴州貴陽·（理））據(jù)貴州省氣候中心報，2021年6月上旬，我省降水量在15.2-170.3mm之間，畢節(jié)市局地、遵義市北部、銅仁市局地和黔東南州東南部不足50mm，其余均在50mmm以上，局地超過100mm.若我省某地區(qū)2021年端午節(jié)前后3天，每一天下雨的概率均為.通過模擬實驗的方法來估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率，利用計算機或計算器可以產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)（，且）表示是否下雨：當(dāng)時表示該地區(qū)下雨，當(dāng)時，表示該地區(qū)不下雨.因為是3天，所以每三個隨機數(shù)作為一組，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下:
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出k的值，使得該地區(qū)每一天下雨的概率均為；并根據(jù)上述20組隨機數(shù)估計該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）2016年到2020年該地區(qū)端午節(jié)當(dāng)天降雨量（單位:mm）如表：
經(jīng)研究表明：從2016年到2020年，該地區(qū)端午節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.并預(yù)測該地區(qū)2022年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為多少？
參考公式：，.
【答案】（1）4， ；（2），．
【解析】（1）由題意可知，，解得，即表示下雨，表示不下雨．
所給的20組數(shù)據(jù)中，，，，，，，，共組表示天中恰好有天下雨，
故所求的概率為．
（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得，，
所以，，
所以回歸方程為，當(dāng)時，．
所以該地區(qū)年端午節(jié)有降雨的話，降雨量約為．
題組三 非線性回歸方程
1． (2023·內(nèi)蒙古·包鋼一中一模（文））人類已進入大數(shù)據(jù)時代，目前，全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量已經(jīng)從級別躍升到，乃至級別（，，，）．由國際數(shù)據(jù)公司的研究結(jié)果得到2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量（單位：）的散點圖．根據(jù)散點圖，下面四個選項中最適宜刻畫2008年至2020年全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量和實際的函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由散點圖知：全球年數(shù)據(jù)產(chǎn)生量隨年份的增加而增加，且增加的速度越來越快，
因為的圖象是一條直線，
的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，
的圖象，隨x增大，y增大，但圖象越來越平緩，
的圖象，隨x增大，y增大，圖象越來越陡峭，
所以D選項正確，A、B、C選項錯誤.
故選：D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出線性回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值為__________.
【答案】
【解析】由題意知，，故，設(shè)，求得線性回歸方程為，
兩式相比較，，故答案為：
3． (2023·湖南師大附中三模）魔方，又叫魯比克方塊，通常意義下的魔方，即指三階魔方，為的正方體結(jié)構(gòu)，由26個色塊組成.魔方競速是一項手部極限運動，常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內(nèi)復(fù)原.
(1)某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：
現(xiàn)用作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測該魔方愛好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天魔方還原的平均速度y約為多少秒（精確到1）？
參考數(shù)據(jù)：（其中）
參考公式：
對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.
(2)現(xiàn)有一個復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，現(xiàn)規(guī)定只可以扭動最外層的六個表面.某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動，記頂面白色色塊的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.
【答案】(1)，13秒(2)分布列見解析，
【解析】(1)由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，
可得，
可得，
所以，
因此y關(guān)于x的回歸方程為，當(dāng)時，，
所以魔方愛好者經(jīng)過長期訓(xùn)練后最終每天還原的平均速度y約為13秒.
(2)由題可得隨機變量X的取值為3，，，9，
，
，
，
.
所以X的分布列為：
所以.
4． (2023·全國·高三專題練習(xí)）小李準(zhǔn)備在某商場租一間商鋪開服裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計得到了它們的面積x（單位：）和日均客流量y（單位：百人）的數(shù)據(jù)，并計算得，，，.
(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；
(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟效益，該商場現(xiàn)有的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)果進行預(yù)測，要使單位面積的經(jīng)濟效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪?
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.
【答案】(1)(2)小李應(yīng)該租的商鋪
【解析】(1)由已知可得，，
，
，
所以回歸直線方程為.
(2)
根據(jù)題意得，.
設(shè)，令，，
則，
當(dāng)，即時，取最大值，
又因為k，，所以此時Z也取最大值，
因此，小李應(yīng)該租的商鋪.
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)如下：
(1)若按照檢測標(biāo)準(zhǔn)，合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式（c?d為大于0的常數(shù)），求y關(guān)于x的回歸方程；
(2)已知產(chǎn)品的收益z（單位：千元）與產(chǎn)品尺寸和質(zhì)量的關(guān)系為，根據(jù)（1）中回歸方程分析，當(dāng)產(chǎn)品的尺寸x約為何值時（結(jié)果用整數(shù)表示），收益z的預(yù)報值最大？
附：（1）參考數(shù)據(jù)：，，，.
（2）參考公式：對于樣本，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.
【答案】(1)
(2)當(dāng)產(chǎn)品的尺寸約為72時，收益z的預(yù)報值最大
【解析】(1)對兩邊取自然對數(shù)得.
令，，則，其中.
根據(jù)所給統(tǒng)計量及最小二乘估計公式有：
，
，
又，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為.
(2)
由（1）得，所以.
令，則當(dāng)時，z取得最大值，
此時，
所以當(dāng)產(chǎn)品的尺寸約為72mm時，收益z的預(yù)報值最大.
6． (2023·山東聊城·三模）為迎接年北京冬奧會，踐行“更快更高更強”的奧林匹克格言，落實全民健身國家戰(zhàn)略.某校高二年級發(fā)起了“發(fā)揚奧林匹克精神，鍛煉健康體魄”的年度主題活動，經(jīng)過一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高.
(1)為了解活動效果，該年級對開展活動以來近個月體重超重的人數(shù)進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如上圖，根據(jù)上面的散點圖可以認為散點集中在曲線的附近，請根據(jù)下表中的數(shù)據(jù)求出該年級體重超重人數(shù)與月份之間的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)和的最終結(jié)果精確到），并預(yù)測從開展活動以來第幾個月份開始該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至人以下？
(2)在某次足球訓(xùn)練課上，球首先由隊員控制，此后足球僅在、、三名隊員之間傳遞，假設(shè)每名隊員控球時傳給其他隊員的概率如下表所示：
若傳球次，記隊員控球次數(shù)為，求的分布列及均值.
附：經(jīng)驗回歸方程：中，，；
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)，第十個月
(2)分布列見解析，
【解析】(1)解：由得.
由題意得，，
所以，
.
所以，即關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.
令，所以，解得.
由于，所以，
所以從第十個月開始，該年級體重超標(biāo)的人數(shù)降至人以下.
(2)解：由題意得的可能取值為、、，
，，
，
所以的分布列為
所以，.
題組四 獨立性檢驗
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)考試中，將某班所有學(xué)生的成績按照性別繪制成如下莖葉圖，規(guī)定；分數(shù)不低于125分為優(yōu)秀．
(1)求本次成績的眾數(shù)、中位數(shù)；
(2)從該班中任意抽取一位學(xué)生，求該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率；
(3)完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為學(xué)生數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？
附：，其中．
【答案】(1)眾數(shù)為，中位數(shù)為
(2)
(3)答案見解析
【解析】(1)本次成績的眾數(shù)為，中位數(shù)為.
(2)圖可知，該班有50名學(xué)生，成績優(yōu)秀的有28名，所以從該班中任意抽取一名學(xué)生，該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率為.
(3)列聯(lián)表如下，
，因為，
所以沒有90%的把握認為學(xué)生數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān).
2． (2023·青海西寧·二模（文））第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運會共設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．為調(diào)查學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況，某大學(xué)進行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為（），統(tǒng)計得到以下列聯(lián)表，經(jīng)過計算可得．
(1)求的值，并判斷有多大的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)；
(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運會項目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取2人進行面對面交流，求“至少抽到一名女生”的概率．
附：獨立性檢驗臨界值表
（參考公式：，其中）
【答案】(1)，有95%的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)
(2)
【解析】(1)解：列聯(lián)表如下表所示：
則
因為，可得，
而，且
因此，有95%的把握認為該校學(xué)生對冬季奧運會項目的了解情況與性別有關(guān)．
(2)采用分層抽樣的方法從抽取的不了解冬季奧運會項目的學(xué)生中隨機抽取9人，
這9人中男生的人數(shù)為4，設(shè)為，，，，女生的人數(shù)為5，設(shè)為1，2，3，4，5，
則從這9人中抽取2人的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共36種；
其中這2人中至少抽到一名女生的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共30種．
所以這9人中抽取2人進行面對面交流，“至少抽到一名女生”的概率為．
3． (2023·吉林·洮南市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程是否與性別有關(guān)，隨機抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如表：
下面的臨界值表供參考：
(1)判斷是否有99.5%的把握認為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)？
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生做進一步調(diào)查，將這6名學(xué)生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1個男生和1個女生的概率．
附：，，
【答案】(1)見解析(2)
【解析】(1)由公式可得，所以有99.5%的把握認為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計”課程與性別有關(guān)．
(2)設(shè)所抽樣本中有m個男生，則，得，所以樣本中有4個男生，2個女生，分別記作，，，，，，
從中任選2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15個，
其中恰有1個男生和1個女生的事件有，，，，，，，，共8個，
所以恰有1個男生和1個女生的概率為．
4． (2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））大豆是我國重要的農(nóng)作物，種植歷史悠久．某種子實驗基地培育出某大豆新品種，為檢驗其最佳播種日期，在A，B兩塊試驗田上進行實驗（兩地塊的土質(zhì)等情況一致）.6月25日在A試驗田播種該品種大豆，7月10日在B試驗田播種該品種大豆．收獲大豆時，從中各隨機抽取20份（每份1千粒），并測量出每份的質(zhì)量（單位：克），按照，，進行分組，得到如下表格：
把千粒質(zhì)量不低于200克的大豆視為籽粒飽滿，否則視為籽粒不飽滿．
(1)判斷是否有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)？
(2)從A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿的概率；
(3)用樣本估計總體，從A試驗田隨機抽取100份（每份千粒）大豆，記籽粒飽滿的份數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：，其中．
【答案】(1)有
(2)
(3)，
【解析】(1)列聯(lián)表為
，
所以有97.5%的把握認為大豆籽粒飽滿與播種日期有關(guān)．
(2)A，B兩塊實驗田中各抽取一份大豆，
抽取的大豆中有一份籽粒飽滿的概率分別為，，
兩份大豆籽粒都不飽滿的概率為
故抽取的大豆中至少有一份籽粒飽滿的概率為
.
(3)從A試驗田的樣本中隨機抽取1份小麥，抽到飽滿的概率為，
則，故，
.
5． (2023·全國·高三專題練習(xí)（文））2022年北京冬奧組委會發(fā)布的《北京2022年冬奧會和冬殘奧會經(jīng)濟遺產(chǎn)報告 (2023）》顯示，北京冬奧會已簽約200家贊助企業(yè)，冬奧會贊助成為一項跨度時間較長的營銷方式.為了解該200家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺對200家贊助企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有100家，余下的企業(yè)中，每天銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計后得到如下列聯(lián)表：
(1)完成上面的列聯(lián)表；
(2)根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有99.5%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān).
附：
【答案】(1)答案見解析
(2)有99.5%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān)
【解析】(1)
由題意分析可得：簽約企業(yè)共200家，線上銷售時間不少于8小時的企業(yè)有100家，那么線上銷售時間不足8小時的企業(yè)有100家，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，共有家.
完成列聯(lián)表如下：
(2)
由題意，得，
計算得，
由于，
故有99.5%的把握認為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時間有關(guān).天數(shù)（天）
3
4
5
6
繁殖個數(shù)（千個）
2.5
3
4.5
x
2
4
6
8
10
y
17
16
14
13
11
價格
9
9.5
10
10.5
11
銷售量
11
10
8
6
5
1
2
3
4
5
2.6
3.1
4.5
6.8
8.0
月份
不滿意的人數(shù)
使用
不使用
女性
男性
時間
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份
1
2
3
4
5
降雨量
28
27
25
23
22
x（天）
1
2
3
4
5
6
7
y（秒）
99
99
45
32
30
24
21
184.5
0.37
0.55
X
3
4
6
9
P
尺寸
38
48
58
68
78
88
質(zhì)量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
質(zhì)量與尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
月份
體重超標(biāo)人數(shù)
控球隊員
接球隊員
概率
數(shù)學(xué)成績
男生
女生
總計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
總計
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
數(shù)學(xué)成績
男生
女生
總計
優(yōu)秀
16
12
28
不優(yōu)秀
9
13
22
總計
25
25
50
男生
女生
合計
了解
不了解
合計
男生
女生
合計
了解
不了解
合計
喜歡統(tǒng)計課程
不喜歡統(tǒng)計課程
合計
男生
20
5
25
女生
10
20
30
合計
30
25
55
P（K2≥k0）
0.010
0.005
k0
6.635
7.879
A試驗田/份
3
6
11
B試驗田/份
6
10
4
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
6月25日播種
7月10日播種
合計
飽滿
11
4
15
不飽滿
9
16
25
合計
20
20
40
銷售額不少于30萬元
銷售額不足30萬元
合計
線上銷售時間不少于8小時
75
100
線上銷售時間不足8小時
合計
200
0.1
0.05
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