考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 線性回歸方程（小題）
【例1-1】（2022·江西）下表是鞋子的長度與對應碼數(shù)的關系
如果人的身高與腳板長呈線性相關且回歸直線方程為.若某人的身高為173，據(jù)此模型，估計其穿的鞋子的碼數(shù)為
A．40B．41C．42D．43
【例1-2】 (2023·全國·高三專題練習）對于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對應于自變量的估計值是，那么將稱為相應于點的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關于的線性回歸方程為，據(jù)此計算出樣本點（4，3）處的殘差為－0.15，則表中的值為（ ）
A．3.3B．4.5C．5D．5.5
【一隅三反】
1 (2023·全國·高三專題練習）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程=-4x+a，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建）對兩個變量y和x進行回歸分析，則下列說法中不正確的是（ ）
A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點的中心.
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.
C．用相關指數(shù)來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好.
D．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.
3． (2023·全國·高三專題練習）已知兩個變量和之間有線性相關關系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)，
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得同歸方程，則下列說法正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（2022·廣東）某公司由于改進了經(jīng)營模式，經(jīng)濟效益與日俱增.統(tǒng)計了2018年10月到2019年4月的純收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，如下表：
得到關于的線性回歸方程為.請預測該公司2019年6月的純收益為（ ）
A．萬元B．萬元
C．萬元D．萬元
考點二 線性回歸方程（解答題）
【例2】 (2023·江西）北京時間2022年4月5日，CBA官方公布了2021—2022賽季CBA季后賽1/4決賽賽程表．賽程表顯示，1/4決賽將在4月7日（周四）15：00打響，首場比賽是上半?yún)^(qū)的遼寧本鋼迎戰(zhàn)山西汾酒股份．其中遼寧隊當家球星郭艾倫信心滿滿，球迷們終于可以一飽眼福．為了更好地預測球員郭艾倫在首戰(zhàn)中的發(fā)揮情況，球迷們收集了郭艾倫賽前的一場比賽的數(shù)據(jù)如表所示．
由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．
(1)請用相關系數(shù)說明y與x具有很強的線性相關關系；（精確到0.01）
(2)求出y關于x的線性回歸方程，并預測球員郭艾倫在首戰(zhàn)中出場時間40分鐘的累計得分．（回歸方程的斜率與縱截距精確到0.1，累計得分保留整數(shù)）
附：相關系數(shù)
線性回歸方程的斜率與截距的最小二乘法公式分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：
該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
參考公式：，．
(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；
(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù)．
①請根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；
②若某日的晝夜溫差為7℃，請預測當日就診人數(shù)．（結(jié)果保留整數(shù)）．
2 (2023·山西省長治市第二中學校高三階段練習（文））某西紅柿種植戶將一批西紅柿批發(fā)給當?shù)匾患页?，超市根?jù)西紅柿的品質(zhì)將其分為一級品、二級品、和三級品，批發(fā)單價分別為6元/、5元/和4元/
(1)根據(jù)以往的經(jīng)驗，該種植戶的西紅柿為一級品、二級品和三級品的比例分別為，估計這批西紅柿的批發(fā)單價的平均值；
(2)為了對西紅柿進行合理定價，超市對近5天的日銷量y和單價進行了統(tǒng)計，得到一組數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用線性回歸模型擬合y與x的關系，求出y關于x的線性回歸方程，并預測當西紅柿單價為12元/時，該超市西紅柿的日銷量．
參考公式：線性回歸方程中，．
參考數(shù)據(jù)：．
考點三 非線性回歸方程
【例3-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖是一組實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，以下函數(shù)中適合作為與的回歸方程的類型是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】．（2023·全國·高三專題練習）某市衛(wèi)健委用模型的回歸方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人數(shù)，令后得到的線性回歸方程為，則（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】．（2023·全國·高三專題練習）當下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：
計算得到一些統(tǒng)計量的值為：，其中，.
若用模型擬合與的關系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗回歸方程；
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）用模型擬合一組數(shù)據(jù)時，設，將其變換后得到回歸方程為，則（ ）
A．B．1C．D．2
2．（2023·全國·高三專題練習）某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響，對近年宜傳費和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式，即，對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關的值如下表：
(1)從表中所給出的年年銷售量數(shù)據(jù)中任選年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于噸的概率；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程．
附：對于一組數(shù)據(jù)、、，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
3． (2023·山東濰坊·模擬預測）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗．根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力．通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關數(shù)據(jù)如下表所示．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖．
(1)根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出到斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；
(3)從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的數(shù)據(jù)作進一步的分析，求其中的y值小于50的天數(shù)的分布列及數(shù)學期望．
參考數(shù)據(jù)：其中．
參考公式：；，．
考點四 獨立性檢驗
【例4】（2023·全國·高三專題練習）2021年4月22日，一則“清華大學要求從2019級學生開始，游泳達到一定標準才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.游泳作為一項重要的求生技能和運動項目受到很多人的喜愛.其實，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.某中學為了解2020屆高三學生的性別和喜愛游泳是否有關，對100名高三學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.
(1)請將上述列聯(lián)表補充完整；
(2)判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關.
附：，
【一隅三反】
1． (2023·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）2022年我國將舉辦第24屆冬季奧林匹克運動會（The winter Olympics），為調(diào)查某城市居民對冰雪運動的了解情況，隨機抽取了該市120名市民進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：
已知從參與調(diào)查的男性中隨機選取1名，抽到“了解冰雪運動”的概率為．
(1)直接寫出m，n，p，q的值；
(2)能否在犯錯誤概率不超過0.1的前提下認為該市居民了解冰雪運動與性別有關？請說明理由．
附：，，
2．（2023·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會即第24屆冬季奧林匹克運動會在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行.某研究機構(gòu)為了解大學生對冰壺運動是否有興趣，從某大學隨機抽取男生、女生各200人，對冰壺運動有興趣的人數(shù)占總數(shù)的，女生中有80人對冰壺運動沒有興趣.
(1)完成上面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關？
(2)按性別用分層抽樣的方法從對冰壺運動有興趣的學生中抽取9人，若從這9人中隨機選出2人作為冰壺運動的宣傳員，設X表示選出的2人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.
附：.
3． (2023·四川成都·模擬預測（文））北京某大學為了了解大一新生喜歡打籃球是否與性別有關，對學校一百名新生進行了初步統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：
在這100名新生中每5個人就有3個人喜歡打籃球．
(1)把上述列聯(lián)表補充完整；
(2)請問，是否有99.9%的把握認為喜歡打籃球與性別有關？說明你的理由；
(3)被調(diào)查的學生中基礎數(shù)學專業(yè)有5名學生，其中3名喜歡打籃球，現(xiàn)從這5名學生中隨機抽取2人，求恰有1人喜歡打籃球的概率．
附表：
參考公式：的觀測值：（其中）
4． (2023·安徽省舒城中學三模（文））很多人都愛好抖音，為了調(diào)查手機用戶每天使用抖音的時間，某通訊公司在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性平均每天使用抖音的時間（單位：h）分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計女性平均每天使用抖音的時間；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）
(3)若每天玩抖音超過4h的用戶稱為“抖音控”，否則稱為“非抖音控”，完成如下列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為是否是“抖音控”與性別有關．
參考數(shù)據(jù)：
長度（）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
碼數(shù)
38
39
40
41
42
43
3
4
5
6
2.5
3
4
單價(元)
4
5
6
7
8
9
銷量(件)
90
84
83
80
75
68
3
4
5
6
7
3.5
2.4
1.1
-0.2
-1.3
月份
十
十一
十二
一
二
三
四
月份代號
3
4
5
6
7
8
9
純收益
66
69
73
81
89
90
91
上場時間x（分鐘）
6
11
18
24
32
35
累計得分y（分）
5
12
16
22
31
40
日期
1月5日
1月20日
2月5日
2月20日
3月5日
3月20日
晝夜溫差x（℃）
10
11
13
12
8
6
就診人數(shù)y（個）
22
25
29
26
16
12
銷售單價（元/）
5
6
7
8
9
日銷量（）
150
135
110
95
75
關卡
1
2
3
4
5
6
平均過關時間（單位：秒）
50
78
124
121
137
352
年份
年宣傳費（萬元）
年銷售量（噸）
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
抗體含量水平y(tǒng)
5
10
26
50
96
195
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
喜歡游泳
不喜歡游泳
總計
男生
10
女生
20
總計
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
合計
了解冰雪運動
m
p
70
不了解冰雪運動
n
q
50
合計
60
60
120
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
有興趣
沒有興趣
合計
男
女
80
合計
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
喜歡打籃球
不喜歡打籃球
合計
男
40
女
50
合計
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
抖音控
非抖音控
總計
男性
女性
總計
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828
6.3 統(tǒng)計案例（精講）（基礎版）
思維導圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 線性回歸方程（小題）
【例1-1】（2022·江西）下表是鞋子的長度與對應碼數(shù)的關系
如果人的身高與腳板長呈線性相關且回歸直線方程為.若某人的身高為173，據(jù)此模型，估計其穿的鞋子的碼數(shù)為A．40B．41C．42D．43
【答案】C
【解析】令代入直線方程，解得，所以腳板長為，查表得穿的鞋子的碼數(shù)應為42.故選：C
【例1-2】 (2023·全國·高三專題練習）對于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對應于自變量的估計值是，那么將稱為相應于點的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應數(shù)據(jù)如下表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關于的線性回歸方程為，據(jù)此計算出樣本點（4，3）處的殘差為－0.15，則表中的值為（ ）
A．3.3B．4.5C．5D．5.5
【答案】B
【解析】由題意可知，在樣本（4，3）處的殘差－0.15，則，即，
解得，即，又，且線性方程過樣本中心點（，），
則，則，解得.故答案為：B
【一隅三反】
1 (2023·全國·高三專題練習）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：
由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程=-4x+a，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以，即滿足的點有，共3個
所以在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為，故選：C
2．（2022·福建）對兩個變量y和x進行回歸分析，則下列說法中不正確的是（ ）
A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點的中心.
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.
C．用相關指數(shù)來刻畫回歸效果，的值越小，說明模型的擬合效果越好.
D．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.
【答案】C
【解析】項，由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本點的中心，正確；
項，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，正確；
項，用相關指數(shù)來刻畫回歸效果，的值越大，擬合的效果越好，故錯誤；
項，回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，正確.故選：.
3． (2023·全國·高三專題練習）已知兩個變量和之間有線性相關關系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)，
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得同歸方程，則下列說法正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】由已知數(shù)據(jù)，可知隨著的增大而減小，則變量和變量之間存在負相關的關系，，
當時，則，即：，．故選：B.
4．（2022·廣東）某公司由于改進了經(jīng)營模式，經(jīng)濟效益與日俱增.統(tǒng)計了2018年10月到2019年4月的純收益（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，如下表：
得到關于的線性回歸方程為.請預測該公司2019年6月的純收益為（ ）
A．萬元B．萬元
C．萬元D．萬元
【答案】C
【解析】將2019年6月代號帶入題中的線性回歸方程，得．故選：C．
考點二 線性回歸方程（解答題）
【例2】 (2023·江西）北京時間2022年4月5日，CBA官方公布了2021—2022賽季CBA季后賽1/4決賽賽程表．賽程表顯示，1/4決賽將在4月7日（周四）15：00打響，首場比賽是上半?yún)^(qū)的遼寧本鋼迎戰(zhàn)山西汾酒股份．其中遼寧隊當家球星郭艾倫信心滿滿，球迷們終于可以一飽眼福．為了更好地預測球員郭艾倫在首戰(zhàn)中的發(fā)揮情況，球迷們收集了郭艾倫賽前的一場比賽的數(shù)據(jù)如表所示．
由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．
(1)請用相關系數(shù)說明y與x具有很強的線性相關關系；（精確到0.01）
(2)求出y關于x的線性回歸方程，并預測球員郭艾倫在首戰(zhàn)中出場時間40分鐘的累計得分．（回歸方程的斜率與縱截距精確到0.1，累計得分保留整數(shù)）
附：相關系數(shù)
線性回歸方程的斜率與截距的最小二乘法公式分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，．
【答案】(1)說明見解析(2)，累計得分約為42分
【解析】(1)由題知，，，，
所以，即y與x具有很強的線性相關關系．
(2)由，，得到回歸直線方程為，
則當時，，所以球員郭艾倫在首戰(zhàn)中出場時間為40分鐘時，他的累計得分約為42分．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：
該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
參考公式：，．
(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；
(2)若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù)．
①請根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；
②若某日的晝夜溫差為7℃，請預測當日就診人數(shù)．（結(jié)果保留整數(shù)）．
【答案】(1)(2)① ；②14人
【解析】(1)記6組依次為1，2，3，4，5，6，從這6組中隨機選取4組數(shù)據(jù)，剩余的2組數(shù)據(jù)所有等可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中2組數(shù)據(jù)都是20日，即都取自2，4，6組的情況有3種．
根據(jù)古典概型概率計算公式，剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率．
(2)①由所選數(shù)據(jù)，得，，
所以，所以，
所以y關于x的線性回歸方程為．
②當時，，所以某日的晝夜溫差為7℃，預測當日就診人數(shù)約為14人．
2 (2023·山西省長治市第二中學校高三階段練習（文））某西紅柿種植戶將一批西紅柿批發(fā)給當?shù)匾患页校懈鶕?jù)西紅柿的品質(zhì)將其分為一級品、二級品、和三級品，批發(fā)單價分別為6元/、5元/和4元/
(1)根據(jù)以往的經(jīng)驗，該種植戶的西紅柿為一級品、二級品和三級品的比例分別為，估計這批西紅柿的批發(fā)單價的平均值；
(2)為了對西紅柿進行合理定價，超市對近5天的日銷量y和單價進行了統(tǒng)計，得到一組數(shù)據(jù)如表所示：
根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用線性回歸模型擬合y與x的關系，求出y關于x的線性回歸方程，并預測當西紅柿單價為12元/時，該超市西紅柿的日銷量．
參考公式：線性回歸方程中，．
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)4.9元/(2)，
【解析】(1)由題意，因此估計這批西紅柿的批發(fā)單價的平均值為4.9元/
(2)由表知，，所以
，故y關于x的線性回歸方程為．
當時，，即當西紅柿單價為12元/時，預測該超市西紅柿的日銷量為
考點三 非線性回歸方程
【例3-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖是一組實驗數(shù)據(jù)構(gòu)成的散點圖，以下函數(shù)中適合作為與的回歸方程的類型是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由散點圖中各點的變化趨勢知，各點不在一條直線上，排除A.
由散點圖中各點呈單調(diào)遞減趨勢，排除B.又圖中點的橫坐標有正有負，故排除C.故選：D.
【例3-2】．（2023·全國·高三專題練習）某市衛(wèi)健委用模型的回歸方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人數(shù)，令后得到的線性回歸方程為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，所以，，解得.故選：A.
【例3-3】．（2023·全國·高三專題練習）當下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關的平均過關時間，如下表：
計算得到一些統(tǒng)計量的值為：，其中，.
若用模型擬合與的關系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗回歸方程；
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
【答案】
【解析】因為兩邊取對數(shù)可得，
即，令，所以，
由，，.
所以，
又，即，
所以，所以.
所以關于的經(jīng)驗回歸方程為.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）用模型擬合一組數(shù)據(jù)時，設，將其變換后得到回歸方程為，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】因為，，所以，
又，所以，解得，所以，故選：D
2．（2023·全國·高三專題練習）某公司為了確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費用，需了解年宣傳費x（單位：萬元）對年銷量y（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響，對近年宜傳費和年銷售量的數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：
經(jīng)電腦模擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式，即，對上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關的值如下表：
(1)從表中所給出的年年銷售量數(shù)據(jù)中任選年做年銷售量的調(diào)研，求所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于噸的概率；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程．
附：對于一組數(shù)據(jù)、、，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)從表中所給出的年年銷售量數(shù)據(jù)中任選年做年銷售量的調(diào)研，
所有的基本事件有：、、、、、
、、、、、
、、、、，共種，
其中，事件“所選數(shù)據(jù)中至多有一年年銷售量低于噸”所包含的基本事件有：
、、、、、、
、、、、、、
、，共種，
故所求概率為.
(2)解：令，，則，
則，，，
，
所以，，，，
故關于的回歸方程為.
3． (2023·山東濰坊·模擬預測）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機構(gòu)開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗．根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力．通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關數(shù)據(jù)如下表所示．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖．
(1)根據(jù)散點圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出到斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；
(3)從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取3天的數(shù)據(jù)作進一步的分析，求其中的y值小于50的天數(shù)的分布列及數(shù)學期望．
參考數(shù)據(jù)：其中．
參考公式：；，．
【答案】(1)更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型
(2)y關于x的回歸方程為；
該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL
(3)的分布列為
數(shù)學期望
【解析】(1)根據(jù)散點圖判斷，更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型.
(2)，，
設，則有，
，，
，
所以y關于x的回歸方程為.
當時，，
則該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL.
(3)
由表中數(shù)據(jù)可知，前三天的值小于50，故的可能取值為0，1，2，3.
，
，
，
，
故的分布列為
所以數(shù)學期望.
考點四 獨立性檢驗
【例4】（2023·全國·高三專題練習）2021年4月22日，一則“清華大學要求從2019級學生開始，游泳達到一定標準才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.游泳作為一項重要的求生技能和運動項目受到很多人的喜愛.其實，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.某中學為了解2020屆高三學生的性別和喜愛游泳是否有關，對100名高三學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：
已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為.
(1)請將上述列聯(lián)表補充完整；
(2)判斷是否有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關.
附：，
【答案】(1)答案見解析(2)有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關
【解析】（1）因為在100人中隨機抽取1人抽到喜歡游泳的學生的概率為，所以喜歡游泳的學生人數(shù)為.其中女生有20人，男生有40人，列聯(lián)表補充如下：
（2）因為，所以有99.9%的把握認為喜歡游泳與性別有關.
【一隅三反】
1． (2023·山東·濟南市歷城第二中學模擬預測）2022年我國將舉辦第24屆冬季奧林匹克運動會（The winter Olympics），為調(diào)查某城市居民對冰雪運動的了解情況，隨機抽取了該市120名市民進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：
已知從參與調(diào)查的男性中隨機選取1名，抽到“了解冰雪運動”的概率為．
(1)直接寫出m，n，p，q的值；
(2)能否在犯錯誤概率不超過0.1的前提下認為該市居民了解冰雪運動與性別有關？請說明理由．
附：，，
【答案】(1)，，，
(2)能在犯錯誤概率不超過0.1的前提下認為該市居民了解冰雪運動與性別有關，理由見解析
【解析】(1)因為從參與調(diào)查的男性中隨機選取1名，抽到“了解冰雪運動”的概率為，
所以，
所以，，．
(2)能；理由如下：
由題意知，，
所以能在犯錯誤概率不超過0.1的前提下認為該市居民了解冰雪運動與性別有關．
2．（2023·全國·高三專題練習）2022年北京冬奧會即第24屆冬季奧林匹克運動會在2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行.某研究機構(gòu)為了解大學生對冰壺運動是否有興趣，從某大學隨機抽取男生、女生各200人，對冰壺運動有興趣的人數(shù)占總數(shù)的，女生中有80人對冰壺運動沒有興趣.
(1)完成上面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關？
(2)按性別用分層抽樣的方法從對冰壺運動有興趣的學生中抽取9人，若從這9人中隨機選出2人作為冰壺運動的宣傳員，設X表示選出的2人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.
附：.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關．
(2)分布列見解析，.
【解析】（1）解：依題意對冰壺運動有興趣的人數(shù)為人，則女生中對冰壺運動有興趣的有人，男生中對冰壺運動有興趣的有人，所以男生中對冰壺運動無興趣的有人，所以列聯(lián)表：
，有的把握認為對冰壺運動是否有興趣與性別有關．
（2）解：從對冰壺運動有興趣的學生中抽取人，抽到的男生人數(shù)、女生人數(shù)分別為：（人，（人，則的所有可能取值為，，，所以，，，故的分布列是：
故．
3． (2023·四川成都·模擬預測（文））北京某大學為了了解大一新生喜歡打籃球是否與性別有關，對學校一百名新生進行了初步統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：
在這100名新生中每5個人就有3個人喜歡打籃球．
(1)把上述列聯(lián)表補充完整；
(2)請問，是否有99.9%的把握認為喜歡打籃球與性別有關？說明你的理由；
(3)被調(diào)查的學生中基礎數(shù)學專業(yè)有5名學生，其中3名喜歡打籃球，現(xiàn)從這5名學生中隨機抽取2人，求恰有1人喜歡打籃球的概率．
附表：
參考公式：的觀測值：（其中）
【答案】(1)填表見解析
(2)有99.9%的把握認為喜歡打籃球與性別有關；理由見解析
(3)
【解析】(1)因為在這100名新生每5個人中就有3個人喜歡打籃球，
所以喜歡打籃球的學生人數(shù)為人
其中男生有40人，則女生有20人，列聯(lián)表補充如下：
(2)
因為，
所以有99.9%的把握認為喜歡打籃球與性別有關．
(3)5名學生中喜歡打籃球的3名學生記為a，b，c，另外2名學生記為甲，乙，任取2名學生，則所有可能情況為（a，b）、（a，c）、（a，甲）、（a，乙）、（b，c）、（b，甲）、（b，乙）、（c，甲）、（c，乙）、（甲，乙），共10種．
其中恰有1人喜歡打籃球的可能情況為（a，甲）、（a，乙）、（b，甲）、（b，乙）、（c，甲）、（c，乙），共6種．所以恰好有1人喜歡打籃球的概率為．
4． (2023·安徽省舒城中學三模（文））很多人都愛好抖音，為了調(diào)查手機用戶每天使用抖音的時間，某通訊公司在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性平均每天使用抖音的時間（單位：h）分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計女性平均每天使用抖音的時間；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）
(3)若每天玩抖音超過4h的用戶稱為“抖音控”，否則稱為“非抖音控”，完成如下列聯(lián)表，判斷是否有90%的把握認為是否是“抖音控”與性別有關．
參考數(shù)據(jù)：
【答案】(1)0.08(2)4.76
(3)列聯(lián)表見解析，有90%的把握認為是否是“抖音控”與性別有關
【解析】(1)由男性的頻率分布直方圖，可得，解得
(2)估計女性平均每天使用抖間的時間為：；
(3)在男性頻率分布直方圖中，
，
男性非抖音控人數(shù)為：，男性抖音控人數(shù)為；
女性非抖音控人數(shù)為：，女性抖音控人數(shù)為，
所以填表如下：
所以，
因此有90%的把握認為是否是“抖音控”與性別有關．長度（）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
碼數(shù)
38
39
40
41
42
43
3
4
5
6
2.5
3
4
單價(元)
4
5
6
7
8
9
銷量(件)
90
84
83
80
75
68
3
4
5
6
7
3.5
2.4
1.1
-0.2
-1.3
月份
十
十一
十二
一
二
三
四
月份代號
3
4
5
6
7
8
9
純收益
66
69
73
81
89
90
91
上場時間x（分鐘）
6
11
18
24
32
35
累計得分y（分）
5
12
16
22
31
40
日期
1月5日
1月20日
2月5日
2月20日
3月5日
3月20日
晝夜溫差x（℃）
10
11
13
12
8
6
就診人數(shù)y（個）
22
25
29
26
16
12
銷售單價（元/）
5
6
7
8
9
日銷量（）
150
135
110
95
75
關卡
1
2
3
4
5
6
平均過關時間（單位：秒）
50
78
124
121
137
352
年份
年宣傳費（萬元）
年銷售量（噸）
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
抗體含量水平y(tǒng)
5
10
26
50
96
195
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
0
1
2
3

0
1
2
3

喜歡游泳
不喜歡游泳
總計
男生
10
女生
20
總計
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡游泳
不喜歡游泳
合計
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合計
60
40
100
男
女
合計
了解冰雪運動
m
p
70
不了解冰雪運動
n
q
50
合計
60
60
120
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
有興趣
沒有興趣
合計
男
女
80
合計
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
有興趣
沒有興趣
合計
男
女
合計
0
1
2
喜歡打籃球
不喜歡打籃球
合計
男
40
女
50
合計
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
喜歡打籃球
不喜歡打籃球
合計
男生。
40
10
50
女生
20
30
50
合計
60
40
100
抖音控
非抖音控
總計
男性
女性
總計
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828
抖音控
非抖音控
總計
男性
女性
總計

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