考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 超幾何分布
【例1】 (2023·四川綿陽）某校高一，高二年級(jí)的學(xué)生參加書法比賽集訓(xùn)，高一年級(jí)推薦了4名男生，2名女生，高二年級(jí)推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參加市上比賽.
(1)求高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
(2)正式比賽時(shí)，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取2人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋中裝有大小相同的8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)球．
(1)求至少摸到個(gè)紅球的概率；
(2)求摸到紅球的個(gè)數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
2． (2023·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；
(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）新高考按照“3＋1＋2”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該?？忌倪x科情況，從首選科目為物理的考生中隨機(jī)抽取10名（包含考生甲和考生乙）進(jìn)行調(diào)查.假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.
(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率；
(2)已知抽取的這10名考生中，女生有4名，從這10名考生中隨機(jī)抽取5名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn)二 二項(xiàng)分布
【例2】 (2023·河南安陽）某省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對(duì)出行工具的選擇，交管部門隨機(jī)抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計(jì)表：
同時(shí)交管部門對(duì)某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：
(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；
(2)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【一隅三反】
1． (2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為了解本市成年人的交通安全意識(shí)情況，某中學(xué)的同學(xué)利用五一假期進(jìn)行了一次全市成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問卷調(diào)查．這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80分以上（含80分）的為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機(jī)抽取4人，記“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
2． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占到，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有．現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪（視頻率為概率）．
(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；
(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時(shí)的份數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；
(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入．并說明理由．
考點(diǎn)三 獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)
【例3】 (2023·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．
(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；
(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【一隅三反】
1 (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））甲和乙相約下圍棋，已知甲開局時(shí)，甲獲勝的概率為；乙開局時(shí)，乙獲勝的概率為，并且每局下完，輸者下一局開局.第1局由甲開局.
(1)如果兩人連下3局，求甲至少勝2局的概率；
(2)如果每局勝者得1分，輸者不得分，先得2分者獲勝且比賽結(jié)束（無平局）.若兩人最后的比分為，求.
2． (2023·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競(jìng)、電商這些新興產(chǎn)業(yè)上．只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時(shí)隨地都可以辦公．這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時(shí)代的大背景．甲、乙兩人同時(shí)競(jìng)聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制進(jìn)行比賽，假設(shè)甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽都分出了勝負(fù)．
(1)求比賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；
(2)比賽結(jié)束時(shí)，記甲獲勝的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列．
3． (2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知某射擊運(yùn)動(dòng)員射中固定靶的概率為，射中移動(dòng)靶的概率為，每次射中固定靶、移動(dòng)靶分別得1分、2分，脫靶均得0分，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，該射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3次打靶射擊；向固定靶射擊2次，向移動(dòng)靶射擊1次．
(1)求“該射擊運(yùn)動(dòng)員沒有射中移動(dòng)靶且恰好射中固定靶1次”的概率；
(2)若該射擊運(yùn)動(dòng)員的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)四 正態(tài)分布
【例4-1】 (2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)（理））已知隨機(jī)變量，若，則（ ）
A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82
【例4-2】 (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）為應(yīng)對(duì)氣候變化，我國計(jì)劃在2030年前實(shí)現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機(jī)抽取50家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標(biāo)”企業(yè)：
(1)假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，.試估計(jì)這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)；
(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè)，市政府決定對(duì)這8家“超標(biāo)”企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計(jì)劃在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（參考數(shù)據(jù)：若X~，則，，.）
【一隅三反】
1． (2023·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.977B．0.954C．0.5D．0.023
2 (2023·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））貴陽一中有2000人參加2022年第二次貴陽市模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?05分到120分（含105分和120分）之間的人數(shù)約為（ ）
A．300B．400C．600D．800
3． (2023·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表.
(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)x以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）.
①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的方差.
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.
4． (2023·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（理））W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?br>根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．， ，．
(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；
(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)10元/件，次品檢測(cè)費(fèi)15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．
5． (2023·安徽省舒城中學(xué)三模（理））某高中組織了1000名學(xué)生參加線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，現(xiàn)從參與答題的男生、女生中分別隨機(jī)抽取20名學(xué)生的得分情況（滿分100分）．得到如下統(tǒng)計(jì)圖：
(1)若從這40名成績(jī)位于的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為X，求X最有可能的取值；
(2)若此次知識(shí)競(jìng)答全校學(xué)生的成績(jī)Y近似服從正態(tài)分布．若學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于95分的學(xué)生進(jìn)行表彰，請(qǐng)估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)．
附：若隨機(jī)變量，則，
，．出行方式
步行
騎行
自駕
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[）
[175，20.5）
[20.523.5）
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4
消費(fèi)金額（千元）
人數(shù)
30
50
60
20
30
10
產(chǎn)品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件數(shù)
4
27
27
80
產(chǎn)品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件數(shù)
36
20
6
6.6 分布列基礎(chǔ)（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點(diǎn)呈現(xiàn)
例題剖析
考點(diǎn)一 超幾何分布
【例1】 (2023·四川綿陽）某校高一，高二年級(jí)的學(xué)生參加書法比賽集訓(xùn)，高一年級(jí)推薦了4名男生，2名女生，高二年級(jí)推薦了3名男生，5名女生，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)參加市上比賽.
(1)求高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
(2)正式比賽時(shí)，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取2人參賽，設(shè)表示參賽的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望
【答案】(1)；(2)的分布列見解析，.
【解析】(1)從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取人，
女生中隨機(jī)抽取人組成代表隊(duì)的抽取方法數(shù)為，
代表隊(duì)中恰好有名高一學(xué)生的抽取方式中，
恰有名高一學(xué)生，若學(xué)生為男生，則抽取方法數(shù)為，
若學(xué)生為女生，則抽取方法數(shù)為，
高一恰好有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
(2)依題意得，的所有可能取值為，
則，
，
，
的分布了如下：
.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋中裝有大小相同的8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)球．
(1)求至少摸到個(gè)紅球的概率；
(2)求摸到紅球的個(gè)數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1).(2)分布列見解析，.
【解析】(1)設(shè)至少摸到1個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，則.
(2)服從超幾何分布，，
，，
，.
所以摸到紅球的個(gè)數(shù)的概率分布列為
.
2． (2023·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；
(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）
【答案】(1)0.20(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)5
【解析】(1)由頻率分布直方圖得：，
解得，，所以日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.20；
(2)由頻率分布直方圖得：
這500名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，，，，，三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，
則從日平均閱讀時(shí)間在，內(nèi)的學(xué)生中抽?。喝?，
現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
(3)，理由如下：
由頻率分布直方圖得學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率為0.50，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，，由組合數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)最大.
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）新高考按照“3＋1＋2”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該?？忌倪x科情況，從首選科目為物理的考生中隨機(jī)抽取10名（包含考生甲和考生乙）進(jìn)行調(diào)查.假設(shè)考生選擇每個(gè)科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.
(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率；
(2)已知抽取的這10名考生中，女生有4名，從這10名考生中隨機(jī)抽取5名，記X為抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)(2)分布列見解析，
【解析】(1)考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科， 共有 種，
其中考生選擇了地理作為再選科目， 共有 種，
故考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率.
(2)由題意可得， 所有可能取值為0，1，2，3，4
， ，
，.
故的分布列為：
故.
考點(diǎn)二 二項(xiàng)分布
【例2】 (2023·河南安陽）某省會(huì)城市為了積極倡導(dǎo)市民優(yōu)先乘坐公共交通工具綠色出行，切實(shí)改善城市空氣質(zhì)量，緩解城市交通壓力，公共交通系統(tǒng)推出“2元換乘暢享公交”“定制公交”“限行日免費(fèi)乘公交”“綠色出行日免費(fèi)乘公交”等便民服務(wù)措施．為了更好地了解人們對(duì)出行工具的選擇，交管部門隨機(jī)抽取了1000人，做出如下統(tǒng)計(jì)表：
同時(shí)交管部門對(duì)某線路公交車統(tǒng)計(jì)整理了某一天1200名乘客的年齡數(shù)據(jù)，得到的頻率分布直方圖如下圖所示：
(1)求m的值和這1200名乘客年齡的中位數(shù)；
(2)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率，從該市所有市民中抽取4人，記X為抽到選擇公共交通出行方式的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)，中位數(shù)為；(2)分布列見解析，
【解析】(1)解：依題意可得，解得，
因?yàn)?，所以中位?shù)為于，
設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故這1200名乘客年齡的中位數(shù)為；
(2)解：選擇公共交通出行方式的頻率為，
所以，則的可能取值為、、、、，
所以，，
，，
所以的分布列為：
所以；
【一隅三反】
1． (2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為了解本市成年人的交通安全意識(shí)情況，某中學(xué)的同學(xué)利用五一假期進(jìn)行了一次全市成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查．先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問卷調(diào)查．這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80分以上（含80分）的為“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市成年人中隨機(jī)抽取4人，記“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)眾數(shù)65分;中位數(shù)66.4分
(2)X的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【解析】(1)由頻率分布直方圖，眾數(shù)為65分，
又因?yàn)?，所以中位?shù)在之間，為（分）；
(2)由頻率分布直方圖，抽到“具有很強(qiáng)安全意識(shí)”的成年人的概率為，所以，故X的分布列為
期望
2． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時(shí)間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的學(xué)生占到，而每天睡眠時(shí)間不少于8小時(shí)的學(xué)生只有．現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪（視頻率為概率）．
(1)求抽取到的問卷中至少有兩份調(diào)查結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率；
(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為少于7小時(shí)的份數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望
【解析】(1)根據(jù)題意可知每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間少于7小時(shí)的概率為，
每位學(xué)生每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為，
所以4份問卷中至少有兩份結(jié)果為睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為：
．
(2)根據(jù)題意可知，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以．
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）小明所在學(xué)習(xí)小組開展社會(huì)調(diào)查，記錄了某快餐連鎖店每天騎手的人均業(yè)務(wù)量．現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；
(2)將上圖中的頻率作為相應(yīng)的概率，從該連鎖店的騎手中任意選3人，記其中業(yè)務(wù)量不少于65單的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
(3)如果該連鎖店的騎手每送1單可以提成3元，試估計(jì)一名騎手每天的收入．并說明理由．
【答案】(1)0.4；(2)分布列見解析，1.2；(3)186元，理由見解析.
【解析】(1)由頻率分布直方圖知，該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的頻率為：，
所以，隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率為0.4.
(2)的可能值為0，1，2，3，依題意，，，
，，
，，
所以的分布列為：
期望.
(3)由頻率分布直方圖知，騎手每天送單的平均數(shù)為：，
因騎手每送1單可以提成3元，則騎手每天的收入的期望為（元）.
考點(diǎn)三 獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)
【例3】 (2023·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．
(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；
(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析，
【解析】(1)記事件:“甲在第局比賽中獲勝”，，事件:“甲在第局比賽中末勝” .
.記事件“甲奪得冠軍"，
則.
(2)設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了局比賽，易知或.
則，故.
記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，
的所有可能取值為;
;
;
.
綜上可得，的分布列如下:
數(shù)學(xué)期望為
【一隅三反】
1 (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））甲和乙相約下圍棋，已知甲開局時(shí)，甲獲勝的概率為；乙開局時(shí)，乙獲勝的概率為，并且每局下完，輸者下一局開局.第1局由甲開局.
(1)如果兩人連下3局，求甲至少勝2局的概率；
(2)如果每局勝者得1分，輸者不得分，先得2分者獲勝且比賽結(jié)束（無平局）.若兩人最后的比分為，求.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)甲至少勝2局，則第1到3局勝負(fù)情況有{乙勝,甲勝,甲勝}，{甲勝,乙勝,甲勝}，{甲勝,甲勝,乙勝}，{甲勝,甲勝,甲勝}
由第1局由甲開局，每局下完輸者下一局開局，
所以甲至少勝2局的概率.
(2)由題意，可能值為0、1，
，，
所以.
2． (2023·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（理））靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競(jìng)、電商這些新興產(chǎn)業(yè)上．只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時(shí)隨地都可以辦公．這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時(shí)代的大背景．甲、乙兩人同時(shí)競(jìng)聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制進(jìn)行比賽，假設(shè)甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽都分出了勝負(fù)．
(1)求比賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；
(2)比賽結(jié)束時(shí)，記甲獲勝的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列．
【答案】(1)(2)答案見解析
【解析】(1)比賽結(jié)束時(shí)，乙獲勝有三種情況：
①第一局甲勝，第二局乙勝，第三局乙勝，②第一局乙勝，第二局甲勝，第三局乙勝，③第一局，第二局2勝，
∴比賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；
(2)由題意可得，X的所有可能取值為0，1，2，
，
，
．
∴X的分布列為
3． (2023·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知某射擊運(yùn)動(dòng)員射中固定靶的概率為，射中移動(dòng)靶的概率為，每次射中固定靶、移動(dòng)靶分別得1分、2分，脫靶均得0分，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，該射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3次打靶射擊；向固定靶射擊2次，向移動(dòng)靶射擊1次．
(1)求“該射擊運(yùn)動(dòng)員沒有射中移動(dòng)靶且恰好射中固定靶1次”的概率；
(2)若該射擊運(yùn)動(dòng)員的總得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析；期望為
【解析】（1）記“該射擊運(yùn)動(dòng)員沒有射中移動(dòng)靶且恰好射中固定1次”為事件A，
則．
(2)
X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
則，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
所以X的數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)四 正態(tài)分布
【例4-1】 (2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)（理））已知隨機(jī)變量，若，則（ ）
A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選:C．
【例4-2】 (2023·湖北武漢·高三開學(xué)考試）為應(yīng)對(duì)氣候變化，我國計(jì)劃在2030年前實(shí)現(xiàn)碳排放量到達(dá)峰值，2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”.某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機(jī)抽取50家企業(yè)進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標(biāo)”企業(yè)：
(1)假設(shè)該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，.試估計(jì)這320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)；
(2)通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標(biāo)”企業(yè)，市政府決定對(duì)這8家“超標(biāo)”企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計(jì)劃在這8家“超標(biāo)”企業(yè)中任取5家先進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（參考數(shù)據(jù)：若X~，則，，.）
【答案】(1)51(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【解析】（1）由已知，得，，所以因?yàn)樗赃@320家企業(yè)中“超標(biāo)”企業(yè)的家數(shù)約為51.
（2）由頻數(shù)分布表可知，8家“超標(biāo)”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且所以Y的分布列為
所以
【一隅三反】
1． (2023·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）
A．0.977B．0.954C．0.5D．0.023
【答案】B
【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
若，則依據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)有
故選：B
2 (2023·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））貴陽一中有2000人參加2022年第二次貴陽市模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?05分到120分（含105分和120分）之間的人數(shù)約為（ ）
A．300B．400C．600D．800
【答案】C
【解析】由題意，隨機(jī)變量，即，即正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?br>所以，
所以此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到105分之間的人數(shù)約為，
故選:C．
3． (2023·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）教育部門最近出臺(tái)了“雙減”政策.即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)，持續(xù)規(guī)范校外培訓(xùn)（包括線上培訓(xùn)和線下培訓(xùn)）.“雙減”政策的出合對(duì)校外的培訓(xùn)機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響.某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對(duì)2021年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表.
(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額為和的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎(jiǎng)問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)以頻率估計(jì)概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，，分別為報(bào)名前200名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)x以及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）.
①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2021年消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
②若從該機(jī)構(gòu)2021年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額為的人數(shù)為，求的方差.
參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.
【答案】(1)X的分布列為：
；
(2)①．
②．
【解析】(1)由題意得，抽中的5人中消費(fèi)金額為的人數(shù)為，
消費(fèi)金額為的人數(shù)為，設(shè)消費(fèi)金額為的人數(shù)為X，則，
所以，，，
所以X的分布列為：
；
(2)
①由題意得，
所以，
所以．
②由題意及①得，，，所以．
4． (2023·廣西桂林·模擬預(yù)測(cè)（理））W企業(yè)D的產(chǎn)品p正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品p尺寸服從正態(tài)分布，從當(dāng)前生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，產(chǎn)品尺寸匯總?cè)缦卤恚?br>根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和生產(chǎn)線的實(shí)際情況，產(chǎn)品尺寸在以外視為小概率事件．一旦小概率事件發(fā)生視為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，產(chǎn)品尺寸在以內(nèi)為正品，以外為次品．， ，．
(1)判斷生產(chǎn)線是否正常工作，并說明理由；
(2)用頻率表示概率，若再隨機(jī)從生產(chǎn)線上取3件產(chǎn)品復(fù)檢，正品檢測(cè)費(fèi)10元/件，次品檢測(cè)費(fèi)15元/件，記這3件產(chǎn)品檢測(cè)費(fèi)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望及方差．
【答案】(1)生產(chǎn)線沒有正常工作；理由見解析
(2)數(shù)學(xué)期望是（元）；方差是
【解析】（1）依題意，有 ，所以正常產(chǎn)品尺寸范圍為(78.5，81.5]．生產(chǎn)線正常工作，次品不能多于，而實(shí)際上，超出正常范圍以外的零件數(shù)為10，故生產(chǎn)線沒有正常工作．
（2）依題意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率為．記這3件產(chǎn)品中次品件數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，，則， ，所以的數(shù)學(xué)期望是（元），方差是．
5． (2023·安徽省舒城中學(xué)三模（理））某高中組織了1000名學(xué)生參加線上新冠肺炎防控知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，現(xiàn)從參與答題的男生、女生中分別隨機(jī)抽取20名學(xué)生的得分情況（滿分100分）．得到如下統(tǒng)計(jì)圖：
(1)若從這40名成績(jī)位于的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為X，求X最有可能的取值；
(2)若此次知識(shí)競(jìng)答全校學(xué)生的成績(jī)Y近似服從正態(tài)分布．若學(xué)校要對(duì)成績(jī)不低于95分的學(xué)生進(jìn)行表彰，請(qǐng)估計(jì)獲得表彰的學(xué)生人數(shù)．
附：若隨機(jī)變量，則，
，．
【答案】(1)1(2)23人
【解析】(1)40人中，成績(jī)位于中有5人，位于有10人，
可能的值分別為0，1，2．
對(duì)應(yīng)事件的概率為；
對(duì)應(yīng)事件的概率為；
對(duì)應(yīng)事件的概率為；
由于最大，故最可能值為1；
(2)
，
獲得表彰的學(xué)生人數(shù)約為人；
綜上，X最可能的值為1，獲得表彰的人數(shù)約為23人.0
1
2
3
0
1
2
3
出行方式
步行
騎行
自駕
公共交通
比例
5%
25%
30%
40%
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064
X
1
2
3
X
0
1
2
X
0
1
2
3
4
P
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[）
[175，20.5）
[20.523.5）
頻數(shù)
5
6
9
12
8
6
4
Y
1
2
3
4
P
消費(fèi)金額（千元）
人數(shù)
30
50
60
20
30
10
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P
產(chǎn)品尺寸/mm
[76，78.5]
(78.5，79]
(79，79.5]
(79.5，80.5]
件數(shù)
4
27
27
80
產(chǎn)品尺寸/mm
(80.5，81]
(81，81.5]
(81.5，83]
件數(shù)
36
20
6

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