考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 古典概型
【例1】 (2023·河南安陽）某市在疫情期間，便民社區(qū)成立了由網(wǎng)格員?醫(yī)療人員?志愿者組成的采樣組，并上門進行，核酸檢測，某網(wǎng)格員對該社區(qū)需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的年齡（單位：歲）進行了統(tǒng)計調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左開右閉區(qū)間），得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求m的值，并估計需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的年齡的平均數(shù)；（精確到1，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）
(2)在年齡處于的老人中，用分層隨機抽樣的方法選取9人，再從9人中隨機選取2人，求2人中恰有1人年齡超過需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的平均年齡的概率.
【一隅三反】
1．（2022河北?。┠承榱吮Ｕ象w藝節(jié)順利舉辦，從高一、高二兩個年級的同學(xué)中挑選了志愿者60人，人數(shù)如下表所示：
(1)從所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的這人是女同學(xué)的概率；
(2)用等比例分層隨機抽樣的方法從所有的女志愿者中按年級抽取六人，再從這六人中隨機抽取兩人接受記者采訪，求這兩人中恰有一人來自高一年級的概率.
2． (2023·廣東）新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有人．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計本次評測分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，并精確到）；
(3)為了今后更好地完成當?shù)氐姆酪吖ぷ?，政府部門又采用比例分配的分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出人進行詳細的調(diào)查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率．
3． (2023·四川眉山）某校高二（2）班的一次化學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如下圖：
(1)求全班人數(shù)及全班分數(shù)的中位數(shù)；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該班本次測試的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.
(3)若從分數(shù)在及的答題卡中采用分層抽樣的方式抽取了5份答題卡，再從抽取的這5份答題卡中隨機抽取2份答題卡了解學(xué)生失分情況，求這2份答題卡至少有一份分數(shù)在的概率.
考點二 條件概率
【例2-1】 (2023·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】 (2023·陜西渭南·高二期末（文））甲、乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶、唯怡豆奶、雪碧這3種飲品中隨機選擇一個，且兩人的選擇結(jié)果互不影響．記事件“甲選擇唯怡豆奶”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則條件概率________．
【例2-3】 (2023·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習）已知箱中有5個大小相同的產(chǎn)品，其中3個正品，2個次品，每次從箱中取1個，不放回的取兩次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的條件下，第二次取到正品的概率.
【一隅三反】
1． (2023·福建）設(shè)A，B為兩個事件，已知，，，則（ ）
A．0.24B．0.375C．0.4D．0.5
2． (2023·陜西西安）長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機超過的概率為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·福建三明）有3箱同一品種的零件，每箱裝有10個零件，其中第一箱內(nèi)一等品6個，第二箱內(nèi)一等品4個，第三箱內(nèi)一等品2個，現(xiàn)從3箱中隨機挑出一箱，然后從該箱中依次隨機取出2個，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的條件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
考點三 綜合運用
【例3】 (2023·江蘇揚州·高三期末）為了更好滿足人民群眾的健身和健康需求，國務(wù)院印發(fā)了《全民健身計劃（）》．某中學(xué)為了解學(xué)生對上述相關(guān)知識的了解程度，先對所有學(xué)生進行了問卷測評，所得分數(shù)的分組區(qū)間為、、、、，由此得到總體的頻率分布直方圖，再利用分層抽樣的方式隨機抽取名學(xué)生進行進一步調(diào)研，已知頻率分布直方圖中、、成公比為的等比數(shù)列．
(1)若從得分在分以上的樣本中隨機選取人，用表示得分高于分的人數(shù)，求的分布列及期望；
(2)若學(xué)校打算從這名學(xué)生中依次抽取名學(xué)生進行調(diào)查分析，求在第一次抽出名學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的名學(xué)生分數(shù)在同一分組區(qū)間的概率．
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）某校從學(xué)生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動.
（1）求男生甲被選中的概率；
（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率.
2． (2023·遼寧沈陽·二模）甲、乙是北京2022冬奧會單板滑雪坡面障礙技巧項目的參賽選手，二人在練習賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種．
(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為．設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為0.5，受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會發(fā)生改變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1．
（?。┣笠以谇皟纱翁魬?zhàn)中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率．高一年級
高二年級
男同學(xué)
女同學(xué)
男同學(xué)
女同學(xué)
16
12
8
24
6.2 古典概型及條件概率（精講）（基礎(chǔ)版）
思維導(dǎo)圖
考點呈現(xiàn)
例題剖析
考點一 古典概型
【例1】 (2023·河南安陽）某市在疫情期間，便民社區(qū)成立了由網(wǎng)格員?醫(yī)療人員?志愿者組成的采樣組，并上門進行，核酸檢測，某網(wǎng)格員對該社區(qū)需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的年齡（單位：歲）進行了統(tǒng)計調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左開右閉區(qū)間），得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求m的值，并估計需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的年齡的平均數(shù)；（精確到1，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）
(2)在年齡處于的老人中，用分層隨機抽樣的方法選取9人，再從9人中隨機選取2人，求2人中恰有1人年齡超過需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的平均年齡的概率.
【答案】(1)，平均數(shù)為歲(2)
【解析】（1）解：由圖可得，解得.估計需要上門核酸檢測服務(wù)的老年人的年齡的平均數(shù)為歲.
（2）解：，兩組的人數(shù)之比為，∴在，的老人中抽取的人數(shù)分別為4，5，分別記為，，，，，，，，，從9人中隨機選取2人，樣本空間，共有36個樣本點，恰有一人年齡超過80歲，即恰有一人年齡在，令“恰有一人年齡在”為事件B，則，共有20個樣本點，∴.
【一隅三反】
1．（2022河北?。┠承榱吮Ｕ象w藝節(jié)順利舉辦，從高一、高二兩個年級的同學(xué)中挑選了志愿者60人，人數(shù)如下表所示：
(1)從所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的這人是女同學(xué)的概率；
(2)用等比例分層隨機抽樣的方法從所有的女志愿者中按年級抽取六人，再從這六人中隨機抽取兩人接受記者采訪，求這兩人中恰有一人來自高一年級的概率.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）高一年級志愿者有人，其中女同學(xué)12人，高二年級志愿者有人，其中女同學(xué)24人.故抽到的這人是女同學(xué)的概率.
（2）在高一年級中抽取的志愿者的人數(shù)為2，在高二年級中抽取的志愿者的人數(shù)為4.記從高一年級中抽取的志愿者為a，b，從高二年級中抽取的志愿者為A，B，C，D，樣本空間，共15個樣本點.設(shè)事件“這兩人中恰有一人來自高一年級”，則，共8個樣本點.故所求概率為.
2． (2023·廣東）新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分為分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有人．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計本次評測分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，并精確到）；
(3)為了今后更好地完成當?shù)氐姆酪吖ぷ?，政府部門又采用比例分配的分層抽樣的方法，從評分在的居民中選出人進行詳細的調(diào)查，再從中選取兩人進行面對面溝通，求選出的兩人恰好都是評分在之間的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1），.
（2）平均數(shù)為.
（3）評分在和的頻率之比為，應(yīng)在評分在的居民中應(yīng)抽取人，記為；在的居民中應(yīng)抽取人，記為，則從中選取兩人有，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中選出的兩人恰好都是評分在之間的有，僅有種；所求概率.
3． (2023·四川眉山）某校高二（2）班的一次化學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如下圖：
(1)求全班人數(shù)及全班分數(shù)的中位數(shù)；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計該班本次測試的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.
(3)若從分數(shù)在及的答題卡中采用分層抽樣的方式抽取了5份答題卡，再從抽取的這5份答題卡中隨機抽取2份答題卡了解學(xué)生失分情況，求這2份答題卡至少有一份分數(shù)在的概率.
【答案】(1)人，分(2)(3)
【解析】（1）解：由莖葉圖可知，分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為3，由頻率分布直方圖可知，分數(shù)在內(nèi)的頻率為，所以， 全班人數(shù)為人，因為分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為11，分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為16，所以，全班分數(shù)的中位數(shù).
（2）解：由莖葉圖知，分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為3，在內(nèi)的頻數(shù)為11，分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為16，在內(nèi)的頻數(shù)為8，所以，分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為，所以，該班本次測試的平均成績?yōu)?
（3）解：因為分數(shù)在內(nèi)的頻數(shù)為，在內(nèi)的頻數(shù)為8，所以，由分層抽樣抽取了5份答題卡中，分數(shù)在內(nèi)的有份，分別記為，分數(shù)在內(nèi)的有份，分別記為，所以，從抽取的這5份答題卡中隨機抽取2份答題卡的所有情況有：，，，共10種，其中，這2份答題卡至少有一份分數(shù)在內(nèi)的情況有：，，，共7種，所以，這2份答題卡至少有一份分數(shù)在的概率為.
考點二 條件概率
【例2-1】 (2023·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，且，所以
，所以，故選：D.
【例2-2】 (2023·陜西渭南·高二期末（文））甲、乙兩人到一商店購買飲料，他們準備分別從加多寶、唯怡豆奶、雪碧這3種飲品中隨機選擇一個，且兩人的選擇結(jié)果互不影響．記事件“甲選擇唯怡豆奶”，事件“甲和乙選擇的飲品不同”，則條件概率________．
【答案】
【解析】由題意得，設(shè)加多寶、唯怡豆奶、雪碧分別標號為，則兩人的選擇結(jié)果有：
,，則事件的可能結(jié)果為：共3個，
在事件的條件下發(fā)生事件的結(jié)果有，共2個，所以.故答案為: .
【例2-3】 (2023·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習）已知箱中有5個大小相同的產(chǎn)品，其中3個正品，2個次品，每次從箱中取1個，不放回的取兩次，求：
(1)第一次取到正品的概率；
(2)在第一次取到正品的條件下，第二次取到正品的概率.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：設(shè)“第一次取到正品” “第二次取到正品”，所以，第一次取到正品的概率為；
（2）解：，所以，故在第一次取到正品的條件下第二次取到正品的概率為.
【一隅三反】
1． (2023·福建）設(shè)A，B為兩個事件，已知，，，則（ ）
A．0.24B．0.375C．0.4D．0.5
【答案】B
【解析】由，，得，所以.故選：B
2． (2023·陜西西安）長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人的近視率約為．現(xiàn)從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機超過的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他是近視記為事件A，且，從該校學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生他每天玩手機超過記為事件B，且由題可知，，所以從該校近視的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他每天玩手機超過的概率為：.故B，C，D錯誤.故選：A.
3． (2023·福建三明）有3箱同一品種的零件，每箱裝有10個零件，其中第一箱內(nèi)一等品6個，第二箱內(nèi)一等品4個，第三箱內(nèi)一等品2個，現(xiàn)從3箱中隨機挑出一箱，然后從該箱中依次隨機取出2個，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的條件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)設(shè)＝“被挑出的是第i箱”，＝“第i次取出的零件是一等品”，
則， 因為，，
所以第1次取出的零件是一等品的概率是．
(2)由（1）得，
因為，
所以，
所以．故在第1次取出的零件是一等品的條件下，第2次取出的零件也是一等品的概率為．
考點三 綜合運用
【例3】 (2023·江蘇揚州·高三期末）為了更好滿足人民群眾的健身和健康需求，國務(wù)院印發(fā)了《全民健身計劃（）》．某中學(xué)為了解學(xué)生對上述相關(guān)知識的了解程度，先對所有學(xué)生進行了問卷測評，所得分數(shù)的分組區(qū)間為、、、、，由此得到總體的頻率分布直方圖，再利用分層抽樣的方式隨機抽取名學(xué)生進行進一步調(diào)研，已知頻率分布直方圖中、、成公比為的等比數(shù)列．
(1)若從得分在分以上的樣本中隨機選取人，用表示得分高于分的人數(shù)，求的分布列及期望；
(2)若學(xué)校打算從這名學(xué)生中依次抽取名學(xué)生進行調(diào)查分析，求在第一次抽出名學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的條件下，后兩次抽出的名學(xué)生分數(shù)在同一分組區(qū)間的概率．
【答案】(1)分布列見解析，期望為；(2).
【解析】(1)解：由題意得，，因為，所以．
由分層抽樣，抽出的名學(xué)生中得分位于區(qū)間內(nèi)有人，
位于內(nèi)有人，位于內(nèi)有人，
位于內(nèi)有人，位于區(qū)間學(xué)生有人，
這樣，得分位于分以上的共有人，其中得分位于的有人，
所以的可能取值有、、，，，
所以的分布列為：
所以.
(2)解：記事件第一次抽出名學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)，
記事件后兩次抽出的名學(xué)生分數(shù)在同一分組區(qū)間內(nèi)，
則，，
由條件概率公式可得.
【一隅三反】
1． (2023·全國·高三專題練習）某校從學(xué)生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動.
（1）求男生甲被選中的概率；
（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】記4名男生為，，，，2名女生為，，則從6名成員中挑選2名成員，有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況.
（1）記“男生甲被選中”為事件，不妨假設(shè)男生甲為，事件所包含的基本事件為，，，，，共有5個，
∴.
（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，不妨設(shè)男生甲為，女生乙為，則.
又由（1）知：，故.
2． (2023·遼寧沈陽·二模）甲、乙是北京2022冬奧會單板滑雪坡面障礙技巧項目的參賽選手，二人在練習賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種．
(1)甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為．設(shè)X為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為0.5，受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會發(fā)生改變其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1．
（?。┣笠以谇皟纱翁魬?zhàn)中，恰好成功一次的概率；
（ⅱ）求乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率．
【答案】(1)分布列見解析，(2)（?。?.4；（ⅱ）0.62．
【解析】(1)由題意得，，則，其中，
則X的分布列為：
則.
(2)設(shè)事件為“乙在第i次挑戰(zhàn)中成功”，其中．
（?。┰O(shè)事件B為“乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次”，則，
則
．
即乙在前兩次挑戰(zhàn)中，恰好成功一次的概為0.4．
（ⅱ）因為
，
且
，
所以．
即乙在第二次成功的條件下，第三次成功的概率為0.62．高一年級
高二年級
男同學(xué)
女同學(xué)
男同學(xué)
女同學(xué)
16
12
8
24
X
0
1
2
3
P

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