教學(xué)目標(biāo)
1．通過分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而解決問題．
2．體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決問題的能力．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：從實(shí)際問題中建立反比例函數(shù)模型，運(yùn)用反比例函數(shù)的意義和性質(zhì)解決實(shí)際問題．
難點(diǎn)：根據(jù)具體實(shí)際問題的情景建立反比例函數(shù)的模型．
教學(xué)過程
導(dǎo)入
你吃過拉面嗎？知道在做拉面的過程中滲透著什么數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？
(1)將體積為20 cm3的面團(tuán)做成拉面，面條的長(zhǎng)度y(單位：cm)與面條的粗細(xì)(橫截面面積)S(單位：mm2)有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
(2)某家面館的師傅手藝精湛，她拉的面條粗1 mm2，則面條總長(zhǎng)是多少？
探究新知
探究點(diǎn)一 建立反比例函數(shù)模型
【例1】某項(xiàng)工程需要沙石料2×106 m3，陽光公司承擔(dān)了該工程運(yùn)送沙石料的任務(wù)．
(1)在這項(xiàng)任務(wù)中，平均每天的工作量v(單位：m3)與完成任務(wù)所需要的時(shí)間t(單位：天)之間成怎樣的函數(shù)關(guān)系？寫出這個(gè)函數(shù)的解析式；
(2)陽光公司計(jì)劃投入A型卡車200輛，每天一共可以運(yùn)送沙石料2×104 m3，則完成全部運(yùn)送任務(wù)需要多少天？如果工作了25天后，由于工程進(jìn)度的需要，公司準(zhǔn)備再投入A型卡車120輛，那么在保持每輛車每天工作量不變的前提下，是否能提前28天完成任務(wù)？
【解析】(1)根據(jù)題意，得這項(xiàng)任務(wù)中平均每天的工作量v(單位：m3)與完成任務(wù)所需要的時(shí)間t(單位：天)之間的關(guān)系為v· t＝2×106，成反比例函數(shù)關(guān)系；(2)用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步求解可得答案．
【解】(1)成反比例函數(shù)關(guān)系，v＝eq \f(2×106,t).
(2)把v＝2×104代入函數(shù)解析式，得t＝100，
即完成全部運(yùn)送任務(wù)需要100天．
根據(jù)題意，得(2×106－2×104×25)÷[(200＋120)×100]＝46.875.
∵100－25－46.875＝28.125＞28，
∴能提前28天完成任務(wù)．
【方法總結(jié)】現(xiàn)實(shí)生活中存在大量成反比例函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量，解答該類問題的關(guān)鍵是先確定兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．
探究點(diǎn)二 反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用
【例2】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)要在生活垃圾存放區(qū)建一個(gè)老年活動(dòng)中心，這樣就必須把1 200 m3的生活垃圾運(yùn)走．
(1)假如每天能運(yùn)x m3，所需時(shí)間為y天，寫出y與x之間的函數(shù)解析式；
(2)若每輛拖拉機(jī)一天能運(yùn)12 m3，則5輛這樣的拖拉機(jī)要用多少天才能運(yùn)完全部 垃圾？
(3)在(2)的情況下，運(yùn)了8天后，剩下的任務(wù)要在不超過6天的時(shí)間內(nèi)完成，那么至少需要增加多少輛這樣的拖拉機(jī)才能按時(shí)完成任務(wù)？
【解析】(1)根據(jù)每天能運(yùn)x m3與所需時(shí)間y天的積就是1 200 m3，即可寫出函數(shù)解析式；(2)把x＝12×5＝60代入，即可求得天數(shù)；(3)首先算出8天以后剩余的數(shù)量，然后計(jì)算出6天運(yùn)完所需的拖拉機(jī)數(shù)，即可求解．
【解】(1)y＝eq \f(1 200,x).
(2)把x＝12×5＝60代入函數(shù)解析式，得y＝eq \f(1 200,60)＝20.
故5輛這樣的拖拉機(jī)要用20天才能運(yùn)完全部垃圾．
(3)運(yùn)了8天后剩余的垃圾是1 200－8×60＝720(m3)．剩下的任務(wù)要在不超過6天的時(shí)間完成，則每天至少運(yùn)720÷6＝120(m3)，則需要的拖拉機(jī)數(shù)是120÷12＝10(輛)，所以至少需要增加10－5＝5(輛)，才能按時(shí)完成任務(wù)．
【方法總結(jié)】在解決反比例函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，若題目要求“至多”“至少”，可以利用反比例函數(shù)的增減性來解答．
課堂訓(xùn)練
1．矩形的面積是2 cm2，設(shè)長(zhǎng)為y cm，寬為x cm，則y與x之間的函數(shù)解析式為________．
2．學(xué)校鍋爐旁建有一個(gè)儲(chǔ)煤庫(kù)，開學(xué)時(shí)購(gòu)進(jìn)一批煤，現(xiàn)在知道：按每天用煤0.6 t計(jì)算，一學(xué)期(按150天計(jì)算)剛好用完．若每天的用煤量為x t，則這批煤能維持y天．
(1)y與x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
(2)畫出函數(shù)圖象；
(3)若每天節(jié)約0.1 t，則這批煤能維持多少天？
答案
1．y＝eq \f(2,x)(x>0) 【解析】根據(jù)等量關(guān)系：長(zhǎng)×寬＝矩形面積，得xy＝2，∴y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq \f(2,x).根據(jù)x的實(shí)際意義知x應(yīng)大于0.
2．解：(1)煤的總量為0.6×150＝90(t).
∵x·y＝90，
∴y＝eq \f(90,x)，y與x之間有反比例函數(shù)關(guān)系.
(2)函數(shù)的圖象如圖所示．
(3)∵每天節(jié)約0.1 t的煤，
∴每天的用煤量為0.6－0.1＝0.5(t)，
∴y＝eq \f(90,x)＝eq \f(90,0.5)＝180，
即每天節(jié)約0.1 t，這批煤能維持180天
板書設(shè)計(jì)
第1課時(shí) 反比例函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用
1．建立反比例函數(shù)模型
常見的與實(shí)際相關(guān)的反比例：
(1)面積一定時(shí)，矩形的長(zhǎng)與寬成反比例；
(2)面積一定時(shí)，三角形的一邊長(zhǎng)與這邊上的高成反比例；
(3)體積一定時(shí)，柱(錐)體的底面面積與底面上的高成反比例；
(4)工作總量一定時(shí)，工作效率與工作時(shí)間成反比例；
(5)總價(jià)一定時(shí)，商品單價(jià)與商品的件數(shù)成反比例；
(6)溶質(zhì)一定時(shí)，溶液的濃度與溶液的質(zhì)量成反比例．
2．反比例函數(shù)在工程問題中的應(yīng)用
3．利用反比例函數(shù)解決利潤(rùn)問題
課堂小結(jié)
本節(jié)課從實(shí)際問題中獲取信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)模型，利用反比例函數(shù)知識(shí)解決問題．其中根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
教學(xué)反思
本節(jié)課是用函數(shù)的觀點(diǎn)處理實(shí)際問題．關(guān)鍵在于分析實(shí)際情境，建立函數(shù)模型，并進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)問題．將實(shí)際問題置于已有的知識(shí)背景之中，用數(shù)學(xué)知識(shí)重新解釋“這是什么”，使學(xué)生逐步形成考察實(shí)際問題的能力．在解決問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)的圖象，聯(lián)系數(shù)形結(jié)合的思想．
第2課時(shí) 反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)
1．能根據(jù)與其他學(xué)科相關(guān)的公式確定反比例關(guān)系，并求出反比例函數(shù)的解析式．
2．能夠根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的模型，并解決與其他學(xué)科知識(shí)相關(guān)的 問題．
3．通過探究與其他學(xué)科相關(guān)的實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想的構(gòu)建．
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：利用反比例函數(shù)的知識(shí)解決跨學(xué)科問題．
難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題情景建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型．
教學(xué)過程
導(dǎo)入
某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的濕地．為了安全、迅速地通過這片濕地，他們沿著前進(jìn)路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時(shí)通道，從而順利完成任務(wù)．
問題思考：
(1)請(qǐng)你解釋他們這樣做的道理；
(2)當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S(單位：m2)的變化，人和木板對(duì)濕地地面的壓強(qiáng)p(單位：Pa)將如何變化？
探究新知
探究點(diǎn)一 反比例函數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用
【例1】某?？萍夹〗M進(jìn)行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地，你能解釋他們這樣做的道理嗎？當(dāng)人和木板對(duì)濕地的壓力一定時(shí)，隨著木板面積S(單位：m2)的變化，人和木板對(duì)濕地地面的壓強(qiáng)p(單位：Pa)將如何變化？已知人和木板對(duì)濕地地面的壓力合計(jì)600 N.
(1)用含S的代數(shù)式表示p，p是S的反比例函數(shù)嗎？為什么？
(2)當(dāng)木板面積為0.2 m2時(shí)，壓強(qiáng)是多少？
(3)如果要求壓強(qiáng)不超過6 000 Pa，木板面積至少要多大？
(4)畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象．
【解析】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是具有一定的物理知識(shí)，明確壓強(qiáng)、壓力及受力面積之間的關(guān)系．(1)根據(jù)壓強(qiáng)等于壓力除以受力面積和反比例函數(shù)的定義即可解得；(2)將S＝0.2代入函數(shù)解析式，計(jì)算壓強(qiáng)即可；(3)令壓強(qiáng)小于等于6 000 Pa，求得面積即可；(4)根據(jù)函數(shù)解析式作出反比例函數(shù)的圖象，注意其取值范圍．
【解】(1)由p＝eq \f(F,S)，得p＝eq \f(600,S)，
∴根據(jù)反比例函數(shù)的定義，可知p是S的反比例函數(shù)．
(2)令S＝0.2，則p＝eq \f(600,0.2)＝3 000，
∴物體受到的壓強(qiáng)為3 000 Pa.
(3)∵p≤6 000，
∴p＝eq \f(600,S)≤6 000，
解得S≥0.1.
故壓強(qiáng)不超過6 000 Pa，木板面積至少要0.1 m2.
(4)函數(shù)圖象如圖所示．
探究點(diǎn)二 反比例函數(shù)在電學(xué)中的應(yīng)用
【例2】在某一電路中，電源電壓U保持不變，電流I(單位：A)與電阻R(單位：Ω)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)寫出I與R之間的函數(shù)解析式；
(2)結(jié)合圖象回答：當(dāng)電路中的電流不超過12 A時(shí)，電路中的電阻R的取值范圍是什么？
【解析】(1)根據(jù)圖象可知I與R之間的關(guān)系，列出函數(shù)解析式I＝eq \f(U,R)，可知U保持不變，把圖象所經(jīng)過的點(diǎn)A(6，6)代入函數(shù)解析式，求出U的值等于36；(2)當(dāng)I＝12時(shí)，R＝3，∴求出R的取值范圍是R≥3.
【解】(1)電源電壓U保持不變，由圖象可知，I與R的函數(shù)解析式為I＝eq \f(U,R).
將點(diǎn)A(6，6)代入，解得U＝36，
∴I與R之間的函數(shù)解析式為I＝eq \f(36,R).
(2)∵I＝eq \f(36,R)，∴當(dāng)I＝12時(shí)，R＝3，
∴當(dāng)電路中的電流不超過12 A時(shí)，R≥ 3Ω.
【方法總結(jié)】解決跨學(xué)科問題的一般步驟：
(1)審題：弄清題意，分析問題中的等量關(guān)系；
(2)建模：根據(jù)等量關(guān)系，將跨學(xué)科問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用反比例函數(shù)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型；
(3)解模：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
課堂訓(xùn)練
1．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位：kPa)是氣體體積V(單位：m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120 kPa時(shí)，氣球?qū)⒈ǎ疄榱税踩鹨姡瑲馇虻捏w積應(yīng) ( )
A．不大于eq \f(5,4) m3 B．大于eq \f(5,4) m3
C．不小于eq \f(4,5) m3 D．小于eq \f(4,5) m3
2．某汽車的輸出功率P為一定值，汽車行駛時(shí)的速度v(單位：m/s)與它所受的牽引力F(單位：N)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
(1)求這輛汽車的功率，并寫出v與F之間的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)它所受的牽引力為2 400 N時(shí)，汽車的速度為多少？
(3)如果限定汽車的速度不超過30 m/s，則F在什么范圍內(nèi)？
答案
1．C 【解析】設(shè)氣球內(nèi)氣體的氣壓p(單位：kPa)和氣體體積V(單位：m3)的解析式為p＝eq \f(k,V).∵圖象過點(diǎn)(1.6，60)，∴k＝96，即p＝eq \f(96,V).在第一象限內(nèi)，p隨V的增大而減小，∴當(dāng)p≤120時(shí)，V＝eq \f(96,p)≥eq \f(4,5).
2．解：(1)設(shè)v與F之間的函數(shù)解析式為v＝eq \f(P,F).
把(3 000，20)代入v＝eq \f(P,F)，得P＝60 000，
∴這輛汽車的功率是60 000 W，函數(shù)解析式為v＝eq \f(60 000,F).
(2)將F＝2 400N代入v＝eq \f(60 000,F)，得v＝eq \f(60 000,2 400)＝25.
故汽車的速度為25 m/s.
(3)把v≤30代入v＝eq \f(60 000,F)，得eq \f(60 000,F)≤30，
解得F≥2 000.
故F不小于2 000 N
板書設(shè)計(jì)
第2課時(shí) 反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用
1．反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用的解題思路
現(xiàn)實(shí)世界、其他學(xué)科在數(shù)學(xué)中的問題情境→抽象出公式→列出反比例函數(shù)→性質(zhì)→應(yīng)用解題
2．反比例函數(shù)與其他學(xué)科的綜合
在利用反比例函數(shù)解決跨學(xué)科問題時(shí)，一定要注意y＝eq \f(k,x)(k≠0，k是常數(shù))這一條件，結(jié)合圖象說明其性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)大致畫出圖象及求函數(shù)的解析式．
課堂小結(jié)
本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)利用反比例函數(shù)解決跨學(xué)科問題時(shí)，要根據(jù)物理、化學(xué)等學(xué)科中的公式建立函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)需要進(jìn)行變形或計(jì)算；還學(xué)到了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)學(xué)建模思想，如將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的函數(shù)關(guān)系．
課堂反思
本節(jié)課是反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)用函數(shù)的觀點(diǎn)來處理問題．在教學(xué)中，教師要注意改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．教師給出問題后，讓學(xué)生體會(huì)實(shí)際情景，經(jīng)過小組交流、討論得出結(jié)論，解釋現(xiàn)象，使知識(shí)內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，再給學(xué)生總結(jié)出應(yīng)用反比例函數(shù)解決問題的思路：分析問題→找到反比例函數(shù)關(guān)系→建立模型→求解，以便讓學(xué)生更加清晰解題的思路和方法，提高學(xué)習(xí)效率．

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26.2 實(shí)際問題與反比例函數(shù)

版本： 人教版

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