初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)28.2 解直角三角形及其應(yīng)用精品課堂檢測(cè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)01 直角三角形的性質(zhì)
直角三角形的性質(zhì)：
①直角三角形角的性質(zhì)：兩銳角互余。
②直角三角形邊的性質(zhì)：直角三角形的三邊滿(mǎn)足勾股定理。
③直角三角形的邊角關(guān)系：三種銳角三角形函數(shù)。；
；。
解直角三角形的定義：
利用直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形的已知量求未知量的過(guò)程。
題型考點(diǎn)：①解直角三角形。
【即學(xué)即練1】
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝．解這個(gè)直角三角形．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，a＝，b＝
∴c＝8，
∵tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
【即學(xué)即練2】
2．在△ABC中，已知∠C＝90°，b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°．解這個(gè)直角三角形．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∵sin30°＝＝，
∴b＝c，
∵b+c＝30，
∴c+c＝30，
解得c＝20，
則b＝10，
a＝＝10．
【即學(xué)即練3】
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；
（1）a＝8，b＝8；
（2）∠B＝45°，c＝14．
【解答】解：（1）∵a＝8，b＝8，∠C＝90°；
∴c＝，∠A＝30°，∠B＝60°，
（2）∵∠B＝45°，c＝14，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，a＝b＝．
【即學(xué)即練4】
4．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D．求：
（1）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）tan∠DBA的值．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，
∴可設(shè)AB＝3k，則BC＝5k，
∵AC＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k＝2（負(fù)值舍去），
∴AB＝3×2＝6；
（2）過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BC于E，設(shè)AD＝x，則CD＝8﹣x．
∵BD平分∠CBA交AC邊于點(diǎn)D，∠CAB＝90°，
∴DE＝AD＝x．
在Rt△BDE與Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE＝BA＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝90°，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AD＝3，
∴tan∠DBA＝＝＝．
【即學(xué)即練5】
5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝12，BC＝5．
（1）求cs∠ADE的值；
（2）當(dāng)DE＝DC時(shí)，求AD的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，∵AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
設(shè)AD為x，則，
∵AC＝AD+CD＝12，
∴，
解得，
∴．
知識(shí)點(diǎn)02 解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題
仰角與俯角的認(rèn)識(shí)：
向上看物體的視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角叫仰角；向下看物體的視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角叫俯角。
解決此類(lèi)問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問(wèn)題以一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決。
題型考點(diǎn)：①解直角三角形在仰角俯角中的應(yīng)用。
【即學(xué)即練1】
6．如圖，從A處觀測(cè)C處的仰角∠CAD＝30°，從B處觀測(cè)C處的仰角∠CBD＝45°，從C處觀測(cè)A，B兩處的視角∠ACB是多少度？
【解答】解：方法1：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠CAD+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠ACB＝45°﹣30°＝15°．
方法2：由鄰補(bǔ)角的定義可得
∠CBA＝180°﹣∠CBD＝180°﹣45°＝135°．
∵∠CAD＝30°，∠CBA＝135°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAD﹣∠CAD
＝180°﹣30°﹣135°
＝180°﹣165°
＝15°．
【即學(xué)即練2】
7．在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明計(jì)劃測(cè)量城門(mén)大樓的高度，在點(diǎn)B處測(cè)得樓頂A的仰角為22°，他正對(duì)著城樓前進(jìn)21米到達(dá)C處，再登上3米高的樓臺(tái)D處，并測(cè)得此時(shí)樓頂A的仰角為45°．
（1）求城門(mén)大樓的高度；
（2）每逢重大節(jié)日，城門(mén)大樓管理處都要在A，B之間拉上繩子，并在繩子上掛一些彩旗，請(qǐng)你求出A，B之間所掛彩旗的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈，cs22°≈，tan22°≈）
【解答】解：（1）作AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)E，如圖所示，
由題意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，
∵∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE，
設(shè)AF＝a米，則AE＝（a﹣3）米，
∵tan∠B＝，
∴tan22°＝，
即，
解得，a＝12，
答：城門(mén)大樓的高度是12米；
（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，
∴sin22°＝，
∴AB＝32，
即A，B之間所掛彩旗的長(zhǎng)度是32米．
【即學(xué)即練3】
8．如圖，為了測(cè)量山坡上一棵樹(shù)PQ的高度，小明在點(diǎn)A處利用測(cè)角儀測(cè)得樹(shù)頂P的仰角為45°，然后他沿著正對(duì)樹(shù)PQ的方向前進(jìn)6m到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)測(cè)得樹(shù)頂P和樹(shù)底Q的仰角分別是60°和30°，設(shè)PQ垂直于AB，且垂足為C．
（1）求∠BPQ的度數(shù)；
（2）求樹(shù)PQ的高度（結(jié)果精確到0.1m，≈1.732）．
【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∠PBC＝60°，
∴∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）設(shè)PC＝xm．
在Rt△APC中，∠PAC＝45°，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴AC＝PC＝x；
∵∠PBC＝60°，
∴∠BPC＝30°．
在Rt△BPC中，BC＝PC＝x，
∵AB＝AC﹣BC＝6，
∴x﹣x＝6，
解得：x＝9+3，
則BC＝3+3，
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（3+3）＝3+，
∴PQ＝PC﹣QC＝9+3﹣（3+）＝6+2≈9.5（m）．
答：樹(shù)PQ的高度約為9.5m．
知識(shí)點(diǎn)03 解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題
方向角的定義：
方向角一般是以南北方向?yàn)槠鹗?，? 東西方向進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)形成的夾角。通常表示為方向加上角度。
在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。
題型考點(diǎn)：①解直角三角形在方向角問(wèn)題中的應(yīng)用。
【即學(xué)即練1】
9．如圖所示，某風(fēng)景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹(shù)B，小明從湖邊的C處測(cè)得A在北偏西45°方向上，測(cè)量B在北偏東32°方向上，且量得B，C之間的距離是100m，則A、B之間的距離為 138 m．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin32°＝0.5299，cs32°＝0.8480）
【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．
∵BC＝100m，
∴在Rt△CBD中，BD＝BC?sin32°＝100×0.5299＝52.99（m）．
DC＝BC?cs∠DCB＝100?cs32°＝100×0.8480＝84.80（m）．
在Rt△ADC中，tan∠ACD＝．
AD＝CD?tan∠ACD＝84.80×tan45°＝84.80（m）．
AB＝AD+DB＝84.80+52.99≈138（m）．
【即學(xué)即練2】
10．如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離（結(jié)果不取近似值）．
【解答】解：如圖，過(guò)B作AB的垂線(xiàn)，過(guò)C作AB的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)E；過(guò)C作AB的垂線(xiàn)，過(guò)D作AB的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝×1000＝500米；
在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝BC＝1000米，
∴CF＝CD＝500米，
∴DA＝BE+CF＝（500+500）米，
故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是（500+500）米．
【即學(xué)即練3】
11．為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利，海監(jiān)部門(mén)對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理，如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)50海里的速度向正東方航行，在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上．
（1）求∠APB的度數(shù)；
（2）已知在燈塔P的周?chē)?5海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？
【解答】解：（1）∵∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP＝∠BPA＝30°，
∴BA＝BP＝50，
在Rt△PBH中，PH＝PB?sin60°＝50×＝25，
∵25＞25，
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．
知識(shí)點(diǎn)04 解直角三角形的應(yīng)用—坡度問(wèn)題
坡角的概念：
斜坡與水平面的夾角叫做坡角。
坡度（或坡比）：
斜坡的鉛垂高度與水平寬度的比值，叫做坡度或者叫做坡比。它是一個(gè)比值，用字母i來(lái)表示，常寫(xiě)成i＝的形式。坡度或者坡比等于坡角的正切值。
在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題。
題型考點(diǎn)：①解直角三角形
【即學(xué)即練1】
12．如圖，已知梯形ABCD是一水庫(kù)攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬AD＝6米．壩高18米，迎水坡CD的坡度i1＝1：1，背水坡AB的坡度i2＝1：，求壩底寬BC．
【解答】解：分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，作GH⊥BC于點(diǎn)H，
∵i1＝1：1，i2＝1：＝2：3，
故設(shè)DH＝AG＝2x，則CH＝2x，BG＝3x，
則AG＝18＝2x，
則x＝9，
則BC＝BG+GH+HC＝3x+2x+6＝51（米），
則壩底寬BC為51米．
【即學(xué)即練2】
13．如圖是一座人行天橋引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行且與地面成30°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成．已知水平平臺(tái)DE＝3m，引橋水平跨度AB＝12m．若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3.5m，求AD、CE的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，
則DG＝EH＝FB＝MN＝3.5m，GH＝DE＝3m，EF＝BH，
在Rt△DAG中，∠A＝30°，DG＝3.5m，
則AD＝2DG＝7m，AG＝DG＝m，
∴BH＝AB﹣AG﹣GH＝12﹣﹣3＝（9﹣）m，
∴EF＝（9﹣）m，
在Rt△DAG中，∠CEF＝30°，
則CE＝＝＝（6﹣7）m，
答：AD的長(zhǎng)度為7m，CE的長(zhǎng)度為（6﹣7）m．
【即學(xué)即練3】
14．如圖是一座人行天橋的示意圖，已知天橋的高度CD＝6米，坡面BC的傾斜角∠CBD＝45°，距B點(diǎn)8米處有一建筑物NM，為了方便行人推自行車(chē)過(guò)天橋，市政府決定降低坡面BC的坡度，把傾斜角由45°減至30°，即使得新坡面AC的傾斜角為∠CAD＝30°．
（1）求新坡面AC的長(zhǎng)度；
（2）試求新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
則AC＝2CD＝2×6＝12（米），
答：新坡面AC的長(zhǎng)度為12米；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝6米，
∴BD＝CD＝6米，
∵NB＝8米，
∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米，
則AD＝＝6（米），
∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米，
答：新坡面底部點(diǎn)A到建筑物MN的距離為（14﹣6）米．
題型01 解直角三角形
【典例1】
在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，則AB的長(zhǎng)為（）
A．2B．4C．6D．2
【解答】解：∵∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
故選：B．
【典例2】
如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，G為邊BC上一點(diǎn)，∠EGB＝∠FDC，連結(jié)EF．若，tanC＝2，BC＝14，則GD的長(zhǎng)為 3 ．
【解答】解：在△ABC中，BC＝14，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF為△ABC的中位線(xiàn)，
∴EF∥BC，EF＝BC＝7，
∵AD⊥BC，
∴△ACD和△ABD均為直角三角形，
又∵點(diǎn)D為Rt△ACD斜邊AC的中點(diǎn)，
∴DF＝CF＝AF，
∴∠C＝∠FDC，
∵∠EGB＝∠FDC，
∴∠EGB＝∠C，
∴EG∥CF，
∴四邊形EFCG為平行四邊形，
∴CG＝EF＝7，
設(shè)CD＝x，則GD＝CG﹣CD＝7﹣x，
在Rt△ACD中，tanC＝＝2，
∴AD＝2CD＝2x，
在Rt△ABD中，tanB＝＝，
∴BD＝＝×2x＝2.5x，
∴BC＝CD+BD＝x+2.5x＝3.5x＝14，
解得：x＝4，
∴CD＝x＝4，
∴GD＝CG﹣CD＝7﹣4＝3．
故答案為：3．
【典例3】
根據(jù)下列條件解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴b＝c＝4，
∴a＝b＝12，
∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
c＝2a＝6，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．
【典例4】
如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，CO＝6.5，BC＝5．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求cs∠OCA與tan∠B的值．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，CO＝6.5，
∴AB＝2CO＝13，
∵BC＝5，
∴AC＝＝12，
（2）∵∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，
∴OC＝AB，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴cs∠OCA＝cs∠A＝＝，tanB＝＝．
【典例5】
如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，D是邊AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD．
（1）已知BC＝，求AB的長(zhǎng)；
（2）求ct∠ABD的值．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，
∵csA＝＝，
∴AC＝AB．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AB2+2＝AB2．
∴AB＝3或﹣3（﹣3不合題意舍去）．
∴AB＝3．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．
由（1）知AB＝3，
∴AC＝AB＝2．
∵D是邊AC的中點(diǎn)，
∴CD＝AD＝AC＝1，
S△BCD＝S△ABD＝CD?BC＝×1×＝.
∴AB?DE＝．
∴DE＝．
在Rt△DAE中，
∵AE＝＝＝，
∴BE＝3﹣＝．
在Rt△DBE中，
ct∠ABD＝＝＝．
題型02 仰角俯角問(wèn)題
【典例1】
小明利用所學(xué)三角函數(shù)知識(shí)對(duì)小區(qū)樓房的高度進(jìn)行測(cè)量．他們?cè)诘孛娴腁點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得樓房頂端D點(diǎn)的仰角為30°，向樓房前行30m在B點(diǎn)處測(cè)得樓房頂端D點(diǎn)的仰角為60°，已知測(cè)角儀的高度是1.5m（點(diǎn)A，B，C在同一條直線(xiàn)上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓房CD的高度．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）
【解答】解：由題意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝30m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN 的外角，
∴∠MDN＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝30m，
在Rt△DNE中，DE＝DN?sin60°＝30×＝15（m），
∴DC＝DE+CE＝15+1.5≈25.95+1.5≈27.5（m）．
答：樓房CD的高度約為27.5m．
【典例2】
如圖，無(wú)人機(jī)在塔樹(shù)上方Q處懸停，測(cè)得塔頂A的俯角為37°，樹(shù)頂D的俯角為60°，樹(shù)高CD為12米，無(wú)人機(jī)豎直高度PQ為60米，B、P、C在一條直線(xiàn)上，且P點(diǎn)到塔底B的距離比到樹(shù)底C的距離多8米，求塔高AB的值．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：如圖：延長(zhǎng)CD交GH于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BA交GH于點(diǎn)F，
由題意得：CE⊥GH，BF⊥GH，CE＝BF＝PQ＝60米，EQ＝CP，QF＝PB，
∵CD＝12米，
∴DE＝CE﹣CD＝48（米），
在Rt△DEQ中，∠EQD＝60°，
∴EQ＝＝＝16（米），
∵PB﹣PC＝8，
∴QF﹣QE＝8，
∴QF＝QE+8＝（16+8）米，
在Rt△QFA中，∠FQA＝37°，
∴AF＝QF?tan37°≈0.75（16+8）米，
∴AB＝BF﹣AF＝60﹣0.75（16+8）＝（54﹣12）米，
∴塔高AB的值為（54﹣12）米．
【典例3】
隨著5G技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，中國(guó)大疆無(wú)人機(jī)享譽(yù)世界，生活中的測(cè)量技術(shù)也與時(shí)俱進(jìn)，某天，數(shù)學(xué)小達(dá)人小婉利用無(wú)人機(jī)來(lái)測(cè)量神農(nóng)湖上A，B兩點(diǎn)之間的距離（A．B位于同一水平地面上），如圖所示，小婉站在A處遙控空中C處的無(wú)人機(jī)，此時(shí)她的仰角為α，無(wú)人機(jī)的飛行高度為41.6m，并且無(wú)人機(jī)C測(cè)得湖岸邊B處的俯角為60°，若小婉的身高AD＝1.6m，CD＝50m（點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）．
（1）求仰角α的正切值；
（2）求A，B兩點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果精確到1m，）
【解答】解：（1）如圖所示，作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，作DF⊥CE交CE于點(diǎn)F，
∵無(wú)人機(jī)的飛行高度為41.6m，
∴CE＝41.6m，
由題意可得，四邊形AEFD是矩形，
∴EF＝AD＝1.6m，
∴CF＝CE﹣EF＝40m，
∵DF⊥CE，CD＝50m，
∴，
∴；
（2）∵四邊形AEFD是矩形，
∴AE＝DF＝30m，
∵無(wú)人機(jī)C測(cè)得湖岸邊B處的俯角為60°，
∴∠CBE＝60°，
∴，
即，
解得BE≈24，
∴AB＝AE+BE＝30+24＝54m，
∴A，B兩點(diǎn)之間的距離54m．
【典例4】
如圖，某校無(wú)人機(jī)興趣小組為測(cè)量教學(xué)樓的高度，在操場(chǎng)上展開(kāi)活動(dòng)．此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30m的D處，操控者從A處觀測(cè)無(wú)人機(jī)D的仰角為30°，無(wú)人機(jī)D測(cè)得教學(xué)樓BC頂端點(diǎn)C處的俯角為37°，又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的距離AB為60m，點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）求教學(xué)樓BC的高度（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AE＝DE＝30（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，
∴此時(shí)無(wú)人機(jī)D與教學(xué)樓BC之間的水平距離BE的長(zhǎng)度為（60﹣30）m；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE，垂足為F，
由題意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF?tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.5﹣15≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教學(xué)樓BC的高度約為24m．
【典例5】
隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度，圓圓要測(cè)量教學(xué)樓AB的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°，CD長(zhǎng)為49.6米．已知目高CE為1.6米．
（1）求教學(xué)樓AB的高度．
（2）若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．求經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)圓圓的視線(xiàn)EB．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，則∠DBM＝∠BDN＝30°，
在Rt△BDM中，BM＝AC＝24米，∠DBM＝30°，
∴DM＝BM?tan∠DBM＝24×＝24（米），
∴AB＝CM＝CD﹣DM＝49.6﹣24＝25.6（米）．
答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米；
（2）延長(zhǎng)EB交DN于點(diǎn)G，則∠DGE＝∠MBE，
在Rt△EMB中，BM＝AC＝24米，EM＝CM﹣CE＝24米，
∴tan∠MBE＝＝＝，
∴∠MBE＝30°＝∠DGE，
∵∠EDG＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△EDG中，ED＝CD﹣CE＝48米，
∴DG＝ED?tan60°＝48（米），
∴48÷4＝12（秒），
∴經(jīng)過(guò)12秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)了圓圓的視線(xiàn)．
題型03 方向角問(wèn)題
【典例1】
如圖，上午8時(shí)，一條船從A處測(cè)得燈塔C在北偏西30°，該船以30海里時(shí)的速度向正北航行，9時(shí)30分到達(dá)B處，測(cè)得燈塔C在北偏西60°，若船繼續(xù)向正北方向航行，求輪船何時(shí)到達(dá)燈塔C的正東方向D處．
【解答】解：由題意得：AB＝1.5×30＝45（海里），CD⊥AD，∠DBC＝60°，∠BAC＝30°，
∵∠DBC是△ABC的一個(gè)外角，
∴∠ACB＝∠DBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴AB＝BC＝45海里，
在Rt△BCD中，BD＝BC?cs60°＝45×＝（海里），
∴÷30＝（時(shí)）＝45（分鐘），
∴9時(shí)30分+45分＝10時(shí)15分，
∴輪船10時(shí)15分到達(dá)燈塔C的正東方向D處．
【典例2】
如圖所示，一輪船由西向東航行，在A處測(cè)得小島P在北偏東75°的方向上，輪船行駛40海里后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島P在北偏東60°的方向上．
（1）求BP的距離；
（2）已知小島周?chē)?2海里內(nèi)有暗礁，若輪船仍向前航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．
【解答】解：（1）∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝40（海里），
（2）作PD⊥AC于點(diǎn)D，
在直角△PBC中，PD＝PB＝40×＝20＜22，
答：若輪船仍向前航行有觸礁的危險(xiǎn)．
【典例3】
某地修建了一座以“講好家鄉(xiāng)故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為900m的圓形紀(jì)念園．如圖，紀(jì)念園中心A位于C村西南方向和B村南偏東61°方向上．C村在B村的正東方向且兩村相距2.8km．有關(guān)部門(mén)計(jì)劃在B，C兩村之間修一條筆直的公路來(lái)連接兩村．問(wèn)該公路是否穿越紀(jì)念園？試通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明．（參考數(shù)據(jù)：sin61°≈0.87，cs61°≈0.48，tan61°≈1.80，）
【解答】解：該公路不會(huì)穿越紀(jì)念園，
理由：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，
由題意得：∠ACD＝45°，∠ABE＝61°，BC＝2.8km，AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝61°，
設(shè)AD＝x km，
在Rt△ABD中，BD＝AD?tan61°≈1.80x（km），
在Rt△ACD中，CD＝＝x（km），
∵BD+CD＝BC，
∴1.80x+x＝2.8，
解得：x＝1，
∴AD＝1km＝1000m，
∵1000m＞900m，
∴該公路不會(huì)穿越紀(jì)念園．
【典例4】
如圖為某體育公園部分示意圖，C為公園大門(mén)，A、B、D分別為公園廣場(chǎng)、健身器材區(qū)域、兒童樂(lè)園．經(jīng)測(cè)量：A、B、C在同一直線(xiàn)上，且A、B在C的正北方向，AB＝240米，點(diǎn)D在點(diǎn)B的南偏東75°方向，在點(diǎn)A的東南方向．
（1）求B、D兩地的距離；（結(jié)果精確到0.1m）
（2）大門(mén)C在兒童樂(lè)園D的南偏西60°方向，由于安全需要，現(xiàn)準(zhǔn)備從兒童樂(lè)園D牽一條筆直的數(shù)據(jù)線(xiàn)到大門(mén)C的控制室，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明公園管理部門(mén)采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線(xiàn)是否夠用（接頭忽略不計(jì)）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AD于點(diǎn)P，
由題意知∠BAD＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ADB＝30°，∠ABP＝45°＝∠A，
∴BD＝2BP，AP＝BP，
在Rt△ABP中，AB＝240，
∴AP＝BP＝＝120，
∴BD＝2BP＝240≈339.4．
答：B、D兩地的距離約為339.4m；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CD于點(diǎn)M，
由（1）得BD＝2BP＝240，
∵∠CDB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∠CBD＝75°，∠DCB＝60°，
∴∠DBM＝45°＝∠CDB，
∴BM＝DM，
在Rt△BDN中，BD＝240，sin45°＝，
∴BM＝DM＝BD?sin45°＝240×＝240，
在Rt△BCM中，CBM＝75°﹣45°＝30°，
∴CM＝BM?tan30°＝80，
∴DC＝DM+CM＝240+80≈378.56，
∵380＞378.56，
答：公園管理部門(mén)采購(gòu)的380米數(shù)據(jù)線(xiàn)夠用．
【典例5】
如圖，五邊形ABCDE是一個(gè)公園沿湖的健身步道（步道可以騎行），BD是僅能步行的跨湖小橋．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正北方935米處，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)D在點(diǎn)B的北偏東74°，且在點(diǎn)E的正北方，∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米．（參考數(shù)據(jù)：sin74°≈0.96，cs74°≈0.27，tan74°≈3.55）
（1）求AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1米）；
（2）小明和爸爸在健身步道鍛煉，小明以200米/分的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿路線(xiàn)A→B→C→D→E→A的方向騎行，爸爸以150米/分的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿路線(xiàn)B→D→E→A的方向跑步前行．兩人約定同時(shí)出發(fā)，那么小明和爸爸誰(shuí)先到達(dá)A點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE，垂足為F，
∴∠BFE＝∠BFD＝90°，
由題意得：∠GBD＝74°，∠A＝∠E＝90°，
∴四邊形ABFE是矩形，
∴AB＝FE＝935米，AE＝BF，AB∥EF，
∴∠GBD＝∠BDF＝74°，
∵∠C＝90°，BC＝800米，CD＝600米
∴BD＝＝＝1000（米），
在Rt△BFD中，BF＝BD?sin74°≈1000×0.96＝960（米），
∴BF＝AE＝960米，
∴AE的長(zhǎng)度約為960米；
（2）爸爸先到達(dá)A點(diǎn)，
理由：在Rt△BFD中，∠BDF＝74°，BD＝1000米，
∴DF＝BD?cs74°≈1000×0.27＝270（米），
∵EF＝935米，
∴DE＝DF+EF＝935+270＝1205（米），
∴小明從點(diǎn)A出發(fā)沿路線(xiàn)A→B→C→D→E→A的方向騎行需要的時(shí)間＝＝＝22.5（分鐘），
爸爸從點(diǎn)B出發(fā)沿路線(xiàn)B→D→E→A的方向跑步前行需要的時(shí)間＝＝＝21.1（分鐘），
∵21.1分鐘＜22.5分鐘，
∴爸爸先到達(dá)A點(diǎn)．
題型04 坡度問(wèn)題
【典例1】
北大壺滑雪場(chǎng)是我國(guó)重要的滑雪基地，擁有國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)雪道19條，其中青云大道某段坡長(zhǎng)AB為800米，坡角∠BAC＝25°，求垂直落差BC的高度．
（結(jié)果保留整數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.423，cs25°≈0.906，tan25°＝0.466）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝25°，AB＝800米，
∵sin∠BAC＝，
∴BC＝AB?sin∠BAC≈800×0.423≈338（米），
答：垂直落差BC的高度約為338米．
【典例2】
如圖是一防洪堤背水坡的橫截面，斜坡AB的長(zhǎng)為12m，它的坡角度數(shù)為45°．為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡度為的斜坡AD，在CB方向距點(diǎn)B6m處有一座房屋．（參考數(shù)據(jù)：，．）
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）在改造背水坡的施工過(guò)程中，此房屋是否需要拆除？并說(shuō)明理由．
【解答】解：（1）∵坡度為的斜坡AD，
∴tan∠ADC＝＝＝，
∴∠ADC＝30°，
∴∠DAC＝60°，
∵AB的坡角為45°，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵AB＝12m，∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴BC＝AC＝×12＝6（m），
∴tan30°＝＝，
解得：DC＝6，
故DB＝DC﹣BC＝6﹣6≈6.216（米），
∵6.216＞6，
∴此處房屋需要拆除．
【典例3】
如圖，長(zhǎng)500米的水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬3m，壩高，斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．
（1）求壩底寬AD的長(zhǎng)；
（2）修筑這個(gè)堤壩需要土方多少立方米？
【解答】解：（1）由題意得：BE⊥AD，CF⊥AD，BE＝CF＝4m，BC＝EF＝3m，
∵斜坡AB的坡比i1＝1：2，斜坡CD的坡比i2＝1：3．
∴＝，＝，
∴AE＝2BE＝8（m），DF＝3CF＝12（m），
∴AD＝AE+EF+DF＝8+3+12＝（20+3）m，
∴壩底寬AD的長(zhǎng)為（20+3）m；
（2）∵BC＝3m，AD＝（20+3）m，BE＝4m，
∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）?BE＝×（20+3+3）×4＝（120+12）m2，
∴修筑這個(gè)堤壩需要土方＝500×（120+12）＝（60000+6000）m3，
∴修筑這個(gè)堤壩需要土方（60000+6000）立方米．
【典例4】
科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿(mǎn)足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A處且水流AC與水平面夾角為63°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動(dòng)10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．
（1）求連接水管AM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）
（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0，≈1.73）
【解答】解：（1）∵M(jìn)C＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，
∴AM＝MC?tan∠ACM＝MC?tan63°≈10×2.0＝20cm．
答：連接水管AM的長(zhǎng)為20cm．
（2）如圖，連接BC．
∵AB∥MC，AB＝MC，
∴四邊形ABCM為平行四邊形．
∵∠AMC＝90°，
∴四邊形ABCM為矩形，
∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．
∵∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝40cm，
∴．
答：水盆兩邊緣C，D之間的距離為34.6cm．
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠A＝α，則AB的長(zhǎng)為（）
A．msinαB．mcsaC．D．
【解答】解：如圖所示：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝m，
∴csα＝，
∴AB＝，
故選：D．
2．已知△ABC三邊AC，BC，AB的長(zhǎng)度分別5，12，13，現(xiàn)將每條邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角A的余弦值（）
A．不變B．縮小為原來(lái)的
C．?dāng)U大為原來(lái)的3倍D．不能確定
【解答】解：∵將△ABC三邊AC，BC，AB的長(zhǎng)度分別5，12，13，
∴AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC為直角三角形，即∠C＝90°，
∴csA＝＝，
現(xiàn)將每條邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，則＝
∴csA的值不變．
故選：A．
3．小明沿著坡比為的山坡向上走了300m，則他升高了（）
A．mB．150mC．mD．100m
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，
∵坡度：i＝1：，
∴tan∠A＝1：＝，
∴∠A＝30°，
∵AB＝300m，
∴BE＝AB＝150（m）．
∴他升高了150m．
故選：B．
4．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線(xiàn)，BC＝6，CD＝5，則cs∠ACD＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：如圖，
∵∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線(xiàn)，CD＝5，
∴CD＝AD＝BD＝5，
∴AB＝10，∠ACD＝∠A，
∵BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴cs∠ACD＝cs∠A＝＝＝．
故選：D．
5．如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）米．
A．B．C．200cs20°D．200sin20°
【解答】解：∵，
∴AB＝AC?sin∠C＝200sin20°，
故選：D．
6．如圖，某購(gòu)物廣場(chǎng)要修建一個(gè)地下停車(chē)場(chǎng)，停車(chē)場(chǎng)的入口設(shè)計(jì)示意圖如圖所示，其中斜坡AD與水平方向的夾角為α（0°＜α＜90°），地下停車(chē)場(chǎng)層高CD＝3米，則在停車(chē)場(chǎng)的入口處，可通過(guò)汽車(chē)的最大高度是（）
A．3B．C．3sinαD．3csa
【解答】解：過(guò)C作CE⊥AD，垂足為E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵斜坡AD與水平方向的夾角為α，
∴∠BAD＝α，
∴∠DCE＝α，
在Rt△CDE中，CE＝CD?csα＝3csα（米），
故在停車(chē)場(chǎng)的入口處，可通過(guò)汽車(chē)的最大高度是3csα米．
故選：D．
7．如圖源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則csα的值為（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，
∴小正方形的邊長(zhǎng)為 1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，
設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長(zhǎng)的直角邊是a+1，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故選：D．
8．閱讀理解：為計(jì)算tan15°三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建Rt△ACB（如圖），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．類(lèi)比這種方法，請(qǐng)你計(jì)算tan22.5°的值為（）
A．+1B．﹣1C．D．
【解答】解：如圖：
在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長(zhǎng)CB使BD＝AB，連接AD，
∴∠BAD＝∠D＝22.5°，
設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD＝AC＝，
∴CD＝BC+BD＝1+，
在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，
故選：B．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，BD＝5，，則AC＝ 6或．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，如圖所示：
∵sin∠DCB＝，
在Rt△CDE中，sin∠DCB＝，
∴＝，
設(shè)DE＝3k，CD＝5k，
由勾股定理得：CE＝＝4k，
∵BC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，
在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，
由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，
即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，
整理得：25k2﹣64k+39＝0，
解得：k＝1，或k＝，
當(dāng)k＝1時(shí)，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC，
即3：AC＝4：8，
∴AC＝6，
當(dāng)k＝，DE＝3k＝，BE＝8﹣4k＝，
同理：DE：AC＝BE：BC，
即，
∴AC＝．
綜上所述：AC＝6或．
10．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則sin∠BOC為．
【解答】解：連接AE、BE，如圖：
∵由圖可知：∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠CDE＝45°，
∴∠AEB＝∠2+∠3＝90°，BE∥CD，
∴∠BOC＝∠ABE，
∵小正方形的邊長(zhǎng)為1，
在Rt△ABE中，AB＝＝，AE＝＝2，
∴sin∠ABE＝＝＝，
∴sin∠BOC＝sin∠ABE＝．
故答案為：．
11．如圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝1，∠ADB＝30°，，則BC的長(zhǎng)為 1 ．
【解答】解：∵AB＝1，
在Rt△OAB中，，
∴，
在Rt△DBC中，，
∴BC＝1．
故答案為：1．
12．“淄博燒烤”火了，許多游客紛紛從外地來(lái)到淄博吃燒烤．如圖，濟(jì)南的小李乘坐高鐵由濟(jì)南來(lái)淄博吃燒烤時(shí)，在距離鐵軌200米的B處，觀察他所乘坐的由濟(jì)南經(jīng)過(guò)淄博開(kāi)往青島的“和諧號(hào)”動(dòng)車(chē)．他觀察到，當(dāng)“和諧號(hào)”動(dòng)車(chē)車(chē)頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動(dòng)車(chē)車(chē)頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上．小李根據(jù)所學(xué)知識(shí)求得，這時(shí)段動(dòng)車(chē)的平均速度是 20（+1）米/秒．
【解答】解：過(guò)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，
在Rt△BCD中，BD＝200米，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴CD＝BD＝200（米），
在Rt△ABD中，BD＝200米，∠DBA＝90°，∠ABD＝60°，
∴AD＝BDtan60°＝200（米），
∴AC＝AD+DC＝200+200＝200（1+）米，
則這時(shí)段動(dòng)車(chē)的平均速度是×200（1+）＝20（+1）米/秒．
故答案為：20（+1）
13．超速行駛被稱(chēng)為“馬路第一殺手”．為了讓駕駛員自覺(jué)遵守交通規(guī)則，公路檢測(cè)中心在一事故多發(fā)地段安裝了一個(gè)測(cè)速儀器，如圖所示，已知檢測(cè)點(diǎn)設(shè)在距離公路20m的A處，測(cè)得一輛汽車(chē)從B處行駛到C處所用時(shí)間為2.7s．已知∠B＝45°，∠C＝30°．
（1）求B，C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
（2）如果此地限速為70km/h，那么這輛汽車(chē)是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù) ≈1.7，
【解答】解：（1）作AD⊥BC，則AD＝20m，
∵∠B＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝20m，
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝20m，
∴BC＝BD+CD＝（20+20）m，
∴B，C之間的距離是20+20）m．
（2）這輛汽車(chē)超速，理由如下：
≈＝20（m/s），
∵20m/s＝72km/h＞70km/h，
∴這輛汽車(chē)超速．
14．某臨街店鋪在窗戶(hù)上方安裝如圖1所示的遮陽(yáng)棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽(yáng)棚展開(kāi)長(zhǎng)度AB＝200cm，遮陽(yáng)棚前端自然下垂邊的長(zhǎng)度BC＝25cm，遮陽(yáng)棚固定點(diǎn)A距離地面高度AD＝296.8cm，遮陽(yáng)棚與墻面的夾角∠BAD＝72°．
（1）如圖2，求遮陽(yáng)棚前端B到墻面AD的距離；
（2）如圖3，某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)與地面夾角∠CFG＝60°，求遮陽(yáng)棚在地面上的遮擋寬度DF的長(zhǎng)（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.951，cs72°≈0.309，tan72°≈3.078，≈1.732）
【解答】解：（1）如圖，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮陽(yáng)棚前端B到墻面AD的距離約為190.2cm；
（2）解：如圖3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延長(zhǎng)BC交DG于K，則BK⊥DG，
∴四邊形BEHC，四邊形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cs72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由題意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮陽(yáng)棚在地面上的遮擋寬度DF的長(zhǎng)約為69cm．
15．如圖，在小明家所住的高樓AD的正西方有一座小山坡BC，已知小山坡的坡面距離BC為200米，坡度i＝1：0.75，在B點(diǎn)處測(cè)得樓頂D的仰角為45°，在山頂C處測(cè)得樓頂D的仰角為15°．
（1）求AB的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到整數(shù)）
（2）一天傍晚，小明從A出發(fā)散步去山頂C，已知小明從A到B的速度為每分鐘44米，從B沿著B(niǎo)C上山的速度為每分鐘25米，若他6：00出發(fā)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他在6：20前能否到達(dá)山頂C處？
（A，B，C，D在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：tan15°≈0.27，sin15°≈0.26，tan15°≈0.96）
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，
由題意得：CE＝AF，CF＝AE，
∵小山坡BC的坡度i＝1：0.75，
∴＝＝，
∴設(shè)CE＝4x米，則BE＝3x米，
在Rt△CEB中，BC＝＝＝5x（米），
∵BC＝200米，
∴5x＝200，
解得：x＝40，
∴CE＝AF＝160米，BE＝120米，
設(shè)AB＝y(tǒng)米，
∴CF＝AE＝AB+BE＝（120+y）米，
在Rt△CFD中，∠DCF＝15°，
∴DF＝CF?tan15°≈0.96（120+y）米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝AB?tan45°＝y(tǒng)（米），
∵AF+DF＝AD，
∴160+0.96（120+y）＝y(tǒng)，
解得：y≈264，
∴AB＝264米，
∴AB的長(zhǎng)度約為264米；
（2）若他6：00出發(fā)，他在6：20前能到達(dá)山頂C處，
理由：∵小明從A到B的速度為每分鐘44米，從B沿著B(niǎo)C上山的速度為每分鐘25米，
∴小明從A出發(fā)散步去山頂C需要的時(shí)間＝+＝14（分鐘），
∴若他6：00出發(fā)，他在6：20前能到達(dá)山頂C處．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①直角三角形的性質(zhì)及其解直角三角形
③解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用
掌握直角三角形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)解直角三角形。
掌握解直角三角形的基本類(lèi)型。
掌握解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，仰角俯角問(wèn)題，方向角問(wèn)題，坡度問(wèn)題。

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