第06講數(shù)列基礎(chǔ)-【寒假講義】高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B版選擇性必修三）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
【知識(shí)導(dǎo)航】
1.數(shù)列的定義
按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都稱為這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的通項(xiàng)
如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用an＝f(n)來表示，其中f(n)是關(guān)于n的不含其他未知數(shù)的表達(dá)式，則稱上述關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.
4.數(shù)列的遞推公式
如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來表示，則稱這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱為遞推公式或遞歸公式).
5.數(shù)列的前n項(xiàng)和
一般地，給定數(shù)列{an}，稱Sn＝a1＋a2＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【知識(shí)預(yù)習(xí)】
考點(diǎn)一：數(shù)列的概念
1．已知數(shù)列、、、、，那么在此數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由可得，因此，在此數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)是.
故選：C.
2．?dāng)?shù)列，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)?，，，，，……?br>所以數(shù)列，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.
故選：D
3．觀察圖，點(diǎn)數(shù)所成數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意，依次點(diǎn)數(shù)為1、4、9、16，為完全平方數(shù)，故.
故選：B.
4．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：因?yàn)?，，?br>所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是.
故選：D.
5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為（）
A．1，0，1，0B．0，1，0，1C．0，2，0，2D．2，0，2，0
【答案】A
【詳解】依題意，.
故選：A
考點(diǎn)二：數(shù)列中的遞推
6．?dāng)?shù)列中，，，則（）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?，故?br>，，
故選：B.
7．若數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：由題意，，
在數(shù)列中，，
∴.
故選：A.
8．已知數(shù)列滿足，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由，得，，，，
故選：B
9．已知數(shù)列滿足，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意得，又，所以，
易得，則，
同理，，，故
故選：B
10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由相鄰層球的個(gè)數(shù)差，歸納可知，，
對(duì)累加得.
所以，，
，
，所以ABC錯(cuò)誤，
故選：D．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
一、單選題
1．?dāng)?shù)列滿足，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意可得，，，.
故選：C.
2．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：由題意，
在數(shù)列中，
分母是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∵數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，
∴比例系數(shù)為
∴數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為：
故選：C.
3．?dāng)?shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】底數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為；指數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，第n項(xiàng)為.
所以數(shù)列1,,,，的第n項(xiàng)為.
故選：D
4．兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們?cè)谏碁┥袭嫵鳇c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如下圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為5，9，14，20，…，這樣的一組數(shù)被稱為梯形數(shù)，記此數(shù)列為，則（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】解：觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得：
…
由此可得
故選：D．
5．有窮等比數(shù)列，28，211，……，的項(xiàng)數(shù)是（）
A．B．C．D．n
【答案】C
【詳解】的間隔是，
若，則，
所以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為項(xiàng).
故選：C
6．已知數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，則( )
A．B．C．3D．
【答案】B
【詳解】數(shù)列滿足，，
，，，，…
數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，
，
∴．
故選：B．
7．已知數(shù)列滿足：，，則（）
A．16B．12C．9D．4
【答案】C
【詳解】，則，．
故選：C
8．已知數(shù)列滿足，.若數(shù)列是常數(shù)列，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】∵數(shù)列滿足，，
∴.
∵數(shù)列是常數(shù)列，∴，解得.
故選：A.
二、多選題
9．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）
A．?dāng)?shù)列與數(shù)列是同一個(gè)數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,則110是該數(shù)列的第10項(xiàng)
C．在數(shù)列中,第8個(gè)數(shù)是
D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的通項(xiàng)公式為
【答案】BCD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,數(shù)列與中數(shù)字的排列順序不同,
不是同一個(gè)數(shù)列,
所以選項(xiàng)A不正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,令,
解得或（舍去）,
所以選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,根號(hào)里面的數(shù)是公差為1的等差數(shù)列,
第8個(gè)數(shù)為,即,
所以選項(xiàng)C正確;
對(duì)于選項(xiàng)D,由數(shù)列3,5,9,17,33,…的前5項(xiàng)可知通項(xiàng)公式為,
所以選項(xiàng)D正確.
故選:BCD
10．下列四個(gè)數(shù)列中的遞增數(shù)列是（）
A．1，，，，…
B．，，，…
C．，，，，…
D．1，，，…，
【答案】CD
【詳解】解：對(duì)于A，數(shù)列1，，，，…為遞減數(shù)列，故不符合題意；
對(duì)于B，數(shù)列，，，…為周期數(shù)列，且，故不符合題意；
對(duì)于C，數(shù)列，，，，…為遞增數(shù)列，故符合題意；
對(duì)于D，數(shù)列1，，，…，為遞增數(shù)列，故符合題意.
故選：CD.
三、填空題
11．?dāng)?shù)列1，3，7，15，…的一個(gè)可能的通項(xiàng)公式為=_____
【答案】，
【詳解】各項(xiàng)都加1后為2，4，8，16，…，因此一個(gè)可能的通項(xiàng)公式為=.
故答案為:
12．1766年，德國有一位名叫提丟斯的中學(xué)數(shù)學(xué)老師，把數(shù)列0，3，6，12，24，48，96，……經(jīng)過一定的規(guī)律變化，得到新數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，新數(shù)列的各項(xiàng)恰好為太陽系行星與太陽的平均距離，并據(jù)此發(fā)現(xiàn)了“天王星”、“谷神星”等行星，這個(gè)新數(shù)列就是著名的“提丟斯-波得定則”．根據(jù)規(guī)律，新數(shù)列的第8項(xiàng)為______．
【答案】##
【詳解】原數(shù)列，從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的兩倍，所以其第項(xiàng)為，
新數(shù)列，是將原數(shù)列的對(duì)應(yīng)的項(xiàng)：先加，然后除以所得，
所以，新數(shù)列的第項(xiàng)為.
故答案為：
四、解答題
13．寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)．
(1)，，，；
(2)，，，；
(3)3，4，3，4；
(4)6，66，666，6666．
【答案】
（1）4個(gè)項(xiàng)都是分?jǐn)?shù)，它們的分子依次為，分母是正奇數(shù)，依次為，
所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
（2）4個(gè)項(xiàng)按先負(fù)數(shù)，后正數(shù)，正負(fù)相間排列，其絕對(duì)值的分子依次為，分母比對(duì)應(yīng)分子多1，
所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
（3）4個(gè)項(xiàng)是第1，3項(xiàng)均為3，第2，4項(xiàng)均為4，所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
（4）
4個(gè)項(xiàng)，所有項(xiàng)都是由數(shù)字6組成的正整數(shù)，其中6的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)一致，
依次可寫為，
所以給定4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為.
14．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是.
(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？
(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？
【詳解】（1）解：數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是：．
（2）解：令，即，
解得或（舍，
是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第16項(xiàng)．
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求，，；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
(1)，，.
(2)當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
滿足上式，所以.
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：A
2．已知數(shù)列滿足，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由已知，
，，，，
上述等式全加可得，.
故選：D.
3．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）
A．4956B．4959C．4962D．4965
【答案】B
【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：
，
所以.
所以.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí), .
因此.
故選：B.
4．已知數(shù)列滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
上述各式相乘得，
因?yàn)?，所以?br>經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，
所以.
故選：D.
5．已知數(shù)列滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即．
如圖所示，作出函數(shù)和的圖象，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，，且．
故當(dāng)時(shí)，，且，
依此類推可得，
滿足是遞增數(shù)列，即的取值范圍是．
故選:A.
二、填空題
6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則等于___________.
【答案】20
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故答案為：20.
7．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做“和差等比數(shù)列”．已知是“和差等比數(shù)列”，，，則使得不等式的的最小值是______．
【答案】
【詳解】依題意，，
，解得，
，解得，
，解得，
所以使得不等式的的最小值是.
故答案為：
三、解答題
8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】
【詳解】解：由，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以.
9．已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】.
【詳解】由題意得，
當(dāng)時(shí)，
，
又也滿足上式，所以.
故.
10．已知數(shù)列，，，求 .
【答案】 .
【詳解】由，，得，
所以，
，
，
，
，
將以上個(gè)等式累加，得，
所以 .
當(dāng)時(shí)，顯然符合上式，
故.
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項(xiàng)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
項(xiàng)與項(xiàng)
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中
n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

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