第10講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性-【寒假講義】高二數(shù)學寒假講義練習（人教B版選擇性必修三）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.結(jié)合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.
2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).
【知識導航】
1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系
2.利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟
第1步，確定函數(shù)的定義域；
第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；
第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.
1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
2.對于可導函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件.
【知識預習】
考點一：利用導數(shù)判斷單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：由題意，
在中，
當時，解得（舍）或
當即時，函數(shù)單調(diào)遞減
∴單調(diào)遞減區(qū)間為
故選：B.
2．已知函數(shù)，則（）
A．在上是增函數(shù)
B．在和上是增函數(shù)
C．在和上是減函數(shù)
D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
【答案】B
【詳解】依題意，由得的定義域為，
又，即在和上都單調(diào)遞增，
所以在和上是增函數(shù).
故選：B
3．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）
A．和B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由，得
令，即，解得
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是
故選：D
4．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）
A．B．，
C．D．
【答案】C
【詳解】定義域為，，
解得，當時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：C
5．已知函數(shù)，不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，
則等價于，解得，即原不等式的解集為.
故選：B.
考點二：函數(shù)與導數(shù)圖像之間的關(guān)系
6．定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A． B．C．D．
【答案】C
【詳解】由導函數(shù)圖像可知：當時，，函數(shù)單調(diào)遞減
的單調(diào)遞減區(qū)間是
故選：C
7．函數(shù)在定義域內(nèi)可導，圖像如圖所示，記的導函數(shù)為，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間
結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為
則的解集為
故選：C．
8．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（）
B．
C．D．
【答案】A
【詳解】解：由的圖象可知，當時函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；
當時先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應的導數(shù)值應該先小于，再大于，最后小于，故排除B；
故選：A
9．已知函數(shù)在上可導，的圖象如圖所示，其中為函數(shù)的導數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由圖象可知，在單增，在單減，即在上大于0，在上小于0，
又或，則解集為.
故選：A.
10．函數(shù) 的導函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列命題：
①是函數(shù)的極值點；
②是函數(shù)的最小值點；
③在區(qū)間上單調(diào)遞增；
④在處切線的斜率小于零．
以上正確命題的序號是（）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【詳解】根據(jù)導函數(shù)圖象可知：當時，，在時，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故③正確；
則是函數(shù)的極小值點，故①正確；
在上單調(diào)遞增，
不是函數(shù)的最小值點，故②不正確；
函數(shù)在處的導數(shù)大于，
切線的斜率大于零，故④不正確．
故選：C．
考點三：含參討論函數(shù)的單調(diào)性
11．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意得，
在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
12．已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題得的解集為，
所以不等式的解集為，
所以
故選：B
13．（多選）若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍可以是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【詳解】定義域為，；
由得函數(shù)的增區(qū)間為；
由得函數(shù)的減區(qū)間為；
因為在區(qū)間上單調(diào)，
所以或
解得或；
結(jié)合選項可得A,C正確.
故選：AC.
14．（多選）已知，若不等式在上恒成立，則a的值可以為（）
A．B．C．1D．
【答案】AD
【詳解】設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以對恒成立，即恒成立．
令，當時，，
當時，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以為，，
故選：AD.
15．（多選）若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則a的可能取值為（）
A．2B．1C．0D．
【答案】AB
【詳解】解：因為，所以，
因為在，上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在，上恒成立，
當時，有在，上恒成立，不符合題意；
當時，二次函數(shù)開口向下，不可能滿足在，上恒成立，不符合題意；
當時，若，則在，上恒成立；
若，則，△，滿足在，上恒成立．
綜上所述，可以取到1和2．
故選：．
【對點訓練】
一、單選題
1．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）
A．B．C．D．以上都不對
【答案】D
【詳解】由題知，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
函數(shù)無單調(diào)減區(qū)間，
故選：D.
2．已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，
因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，
所以即，
故選：A.
3．已知函數(shù)的導函數(shù)為的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)導函數(shù)的正負可判斷，原函數(shù)的單調(diào)性為先增后減再增，故排除AD,
又C選項，遞減區(qū)間斜率不變，故排除，
故選：B.
4．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由，
因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以有在上恒成立，即在上恒成立，
因為，所以由，
因為，所以，于是有，
故選：D
5．已知函數(shù)的部分圖像，其中，，為圖上三個不同的點.如下圖.則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】由圖象可知，點A在單調(diào)遞增區(qū)間上，點B為極值點，
點C在單調(diào)遞減區(qū)間上，所以可知，
所以.
故選：B
6．函數(shù)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示．記的導函數(shù)為，則不等式的解集為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】由題意，知的解集即的單調(diào)遞減區(qū)間，
故的解集為．
故選：A．
7．已知是函數(shù)的導數(shù)，則不等式的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】令，則，
因為，
所以，即，
設(shè)，
所以，
因為，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，
所以等價于，
則，即，解得．
所以不等式的解集是．
故選：C
8．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且有，即，
設(shè)，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集為，
故選：B
二、多選題
9．已知函數(shù)，則（）
A．在單調(diào)遞增
B．有兩個零點
C．曲線在點處切線的斜率為
D．是奇函數(shù)
【答案】AC
【詳解】對A：，定義域為，則，
由都在單調(diào)遞增，故也在單調(diào)遞增，
又，故當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故A正確；
對B：由A知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，
故只有一個零點，B錯誤；
對C：，根據(jù)導數(shù)幾何意義可知，C正確；
對D：定義域為，不關(guān)于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)，D錯誤.
故選：AC.
10．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．的定義域是
B．當時，的圖象位于x軸下方
C．存在單調(diào)遞增區(qū)間
D．有兩個單調(diào)區(qū)間
【答案】BC
【詳解】由，得且，所以函數(shù)的定義域為，所以A不正確.
當時，，，所以，所以當時，的圖象位于x軸下方，所以B正確.
，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，故存在，使得，則函數(shù)只有一個根，當和時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，所以C正確，D不正確.
故選：BC.
三、填空題
11．已知函數(shù)，若在內(nèi)為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】解：，
∵在內(nèi)為減函數(shù)，
∴在內(nèi)恒成立，
∴，即，
解得．
所以實數(shù)a的取值范圍是．
故答案為：．
12．已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為__________.
【答案】
【詳解】設(shè)，，
因為，所以，即在R上為增函數(shù).
.
因為在R上為增函數(shù)，所以，解得.
故答案為：
四、解答題
13．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(1).
(2).
【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為
(2)減區(qū)間為：和，增區(qū)間為
【詳解】（1）的定義域為，，
所以在區(qū)間遞減；
在區(qū)間遞增.
所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）的定義域為，
，
所以在區(qū)間和，遞減；
在區(qū)間，遞增.
所以的減區(qū)間為：和，增區(qū)間為.
14．設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．
【答案】答案見解析
【詳解】的定義域為，．
若，則，所以在上單調(diào)遞增．
若，則當時，；當時，．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
15．已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，(2)
【詳解】（1）當時，，
，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是
（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，則，
設(shè)，則，
由，知，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，
∴，∴．
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．
C． D．
【答案】A
【詳解】函數(shù)的定義域為，
，
令，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
故選：A
2．已知函數(shù)的導函數(shù)是，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對于AB，，
當，即時，，在上單調(diào)遞減；
，，故AB錯誤；
對于D，當，即時，，在上單調(diào)遞增；
，故D正確；
對于C，令，滿足在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時，故C錯誤.
故選：D.
3．已知函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】函數(shù)定義域為R，求導得，
因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而，則有，
所以的大小關(guān)系是，A正確.
故選：A
4．若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）
A．或或B．或
C．D．不存在這樣的實數(shù)
【答案】B
【詳解】解：
，
令，解得，或，所以當或時，
當時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即函數(shù)極值點為，
若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，
則或，
所以或，
解得或
故選：B．
5．若函數(shù)在定義域上恰有三個單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)在定義域上恰有三個單調(diào)區(qū)間，
所以其導函數(shù)在定義域上有兩個不同的零點，
由可得，即，
所以只需，方程在上有兩個不同的實數(shù)根.
故選：A.
二、填空題
6．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________．
【答案】
【詳解】解：因為，所以，
又因為函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，
所以，即，所以，
所以，
由，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：.
7．已知函數(shù)，若函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】
【詳解】,在上是嚴格減函數(shù),故在恒成立，且不恒為0，即，記，則，所以在單調(diào)遞增，故，因此，
故答案為：
三、解答題
8．已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)(2)遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為
【詳解】（1），
，
，又，
曲線在點處的切線方程為，
即；
（2），
∴當時，，當時，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
的遞增區(qū)間為，；遞減區(qū)間為.
9．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】見解析
【詳解】因為，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
當a＝0時，，所以f（x）在R上嚴格增，單調(diào)增區(qū)間為；
當時，當時，；當時，，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（0，2a）；
當時，當時，；當時，，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為及，單調(diào)減區(qū)間為（2a，0）.
10．已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍
(3)若在定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1），則，
因為切線與直線垂直，所以，解得.
（2），則，
在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，
令，則，當時取得最小值，，所以.
（3）當時，，則單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；
當時，時，；時，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
，解得，此時，，，令，則，，所以當時，單調(diào)遞減，，所以當時，，即,
所以所以有兩個零點，故.
條件
恒有
結(jié)論
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)

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