第03講圓錐曲線-【寒假講義】高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B版選擇性必修一）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【易錯點總結(jié)】
1.橢圓的定義
如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a＞|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|＋|PF2|＝2a的動點P的軌跡稱為橢圓，其中兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則點P的軌跡為橢圓；
(2)若a＝c，則點P的軌跡為線段；
(3)若a＜c，則點P的軌跡不存在.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
2.雙曲線的定義
一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝2a的動點P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)若ac，則點P的軌跡不存在.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
3.拋物線的定義
(1)一般地，設(shè)F是平面內(nèi)的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線.
(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點M到準(zhǔn)線l的距離).
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
【重難點剖析】
考點一：橢圓方程及其性質(zhì)
1．如果橢圓上一點到焦點的距離等于6，則點到另一個焦點的距離是（）
A．6B．26C．4D．14
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義，
又橢圓上一點到焦點的距離等于6，
，則，
故選：D.
2．己知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）
A．36B．25C．20D．16
【答案】B
【詳解】由橢圓易知，根據(jù)橢圓定義可知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即的最大值為.
故選：B.
3．已知橢圓的一個焦點為，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由已知可得，，
則，
所以，
則離心率．
故選：D.
4．已知為圓的一個動點，定點，線段的垂直平分線交線段于點，則點的軌跡方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：
易知，則，即，
故點的軌跡是以為焦點且長軸長為6的橢圓，
設(shè)其方程為，則，則，
故，則橢圓方程為：.
故選：C.
5．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)點，
因為線段的中垂線過點，所以，即，
化簡得，
因為，所以，即，
所以，
又因為，所以，解得.
故選：D.
考點二：雙曲線方程及其性質(zhì)
6．一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，
動圓圓心為，半徑為，
當(dāng)兩圓外切時：，所以；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時：，所以；
即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，
所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，
，
所以動圓圓心的軌跡方程為：，
故選：C.
7．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則（）
A．B．的焦距為
C．的離心率為D．的面積為
【答案】B
【詳解】由雙曲線，可得，，，，，
把，代入雙曲線方程可得：，解得，
不妨取，，，，
為正三角形，
，
解得，
，，，，
．
故選：．
8．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是過坐標(biāo)原點O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個交點，且則雙曲線C的離心率為（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【詳解】不妨設(shè)點M在第一象限，
由題意得：，
即，
故，故，
因為O為的中點，
所以，
因為，故為等邊三角形，
故，，
由雙曲線定義可知：，
即，解得：.
故選：C.
9．已知雙曲線的一個焦點為，則雙曲線C的一條漸近線方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意可知，，
則由得；
所以，漸近線方程為，即
故選：A.
10．設(shè)為坐標(biāo)原點，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線的兩條漸近線，垂直于的延長線交于，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
雙曲線的漸近線方程為：，不妨令，
因為直線垂直，則，故，又，
則點到直線的距離為=，所以，
，又，可知直線的方程為：，與聯(lián)立方程組可得：
，則，解得，故,
由,則,
中，由勾股定理可得:
,
故；
又,則，即，
因為的延長線交于，此時點的縱坐標(biāo)大于0，即，故，所以，
所以化簡得.則，
故，則.
故選：B.
考點三：拋物線方程及其性質(zhì)
11．已知拋物線：的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【詳解】解：拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線的方程為，
如圖，過作于，
由拋物線的定義可知，所以
則當(dāng)三點共線時，最小為.
所以的最小值為.
故選：C.
12．已知點P在拋物線上．若點P到拋物線焦點的距離為4，則點P的坐標(biāo)是（）
A．B．C．或D．
【答案】C
【詳解】對于拋物線，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點，根據(jù)拋物線得定義得：
點P到拋物線焦點的距離等于點P到準(zhǔn)線的距離為，所以，
則，，所以點P的坐標(biāo)為或；
故選：C．
13．已知直線和直線，則拋物線上一動點到直線和直線的距離之和的最小值是（）
A．B．C．2D．
【答案】C
【詳解】是拋物線的準(zhǔn)線，到的距離等于.
過P作于 Q，則到直線和直線的距離之和為
拋物線的焦點
過作于，和拋物線的交點就是，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)F、P、Q三點共線時等號成立）
點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，
最小值．
故選：C．
14．如圖，過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準(zhǔn)線于點C，準(zhǔn)線與對稱軸交于點M，若，且，則p為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【詳解】如圖，分別過點、作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點、，
設(shè)，則由己知得，由拋物線的定義得，
故，
在直角三角形中，，，
又因為，
則，從而得，
又因為，
所以.
故選：B.
15．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，
依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準(zhǔn)線為，
由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，
過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，
則有，
在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準(zhǔn)線于點，連，如圖，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合時取等號，
所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.
故選：D
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．若是橢圓上動點，則到該橢圓兩焦點距離之和是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由橢圓方程得：，根據(jù)橢圓定義可知：到橢圓兩焦點的距離之和為.
故選：B.
2．是拋物線上一點，是拋物線的焦點，則（）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【詳解】解：因為是拋物線上一點，
所以，
則拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義可知，，
故選：A.
3．雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】令
得
即雙曲線的漸近線方程為
故選：A.
4．雙曲線的方程為 ?，則該雙曲線的離心率為（）
A．?B．?
C．?D．?
【答案】D
【詳解】由雙曲線方程得，，
則雙曲線的離心率為.
故選：D.
5．已知直線與拋物線交于，兩個點，求線段長（）
A．4B．C．2D．20
【答案】D
【詳解】由拋物線的方程，可得焦點，而直線的方程也過，可得直線過拋物線的焦點，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得，
可得，
所以，
由拋物線的性質(zhì)可得．
故選：D
6．直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（）
A．或B．
C．D．
【答案】D
【詳解】聯(lián)立，消y得，.
因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，
所以方程有一正一負(fù)根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D．
7．已知為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由雙曲線方程可知，
根據(jù)雙曲線的幾何意義可得，，又，
解得，，，
在中由余弦定理得,
故選：A
8．已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（）
A．（1，）B．（1，]C．（，＋∞）D．[ ，＋∞）
【答案】C
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，
所以雙曲線的離心率．
故選：C.
二、多選題
9．已知曲線，下列說法正確的是（）
A．若，，則是兩條直線
B．若，則是圓，其半徑為
C．若，則是橢圓，其焦點在軸上
D．若，則是雙曲線，其漸近線方程為
【答案】AD
【詳解】因為曲線，
若，，則：和，即表示兩條直線，所以A選項正確；
若，則，即是以為圓心，半徑為的圓，所以B選項錯誤；
若，即，則，即是焦點在軸上的橢圓，所以C選項錯誤；
若，則，即是漸近線方程為的雙曲線，所以D選項正確.
故選：AD.
10．已知點在雙曲線上，分別是左?右焦點，若的面積為20，則下列判斷正確的有（）
A．點到軸的距離為
B．
C．為鈍角三角形
D．
【答案】BC
【詳解】設(shè)點．因為雙曲線，所以．
又，所以，故A錯誤．
將代入得，得．
由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標(biāo)為，得．
由雙曲線的定義得，所以，故B正確．
在中，，且，
則為鈍角，所以為鈍角三角形，故C正確．
由余弦定理得，所以，故D錯誤．
故選：BC．
三、填空題
11．拋物線的焦點為，為拋物線上一動點，定點，則的最小值為___________.
【答案】
【詳解】由，得，準(zhǔn)線方程為：，
過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.
故答案為：
12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作斜率為的弦．則的長是________．
【答案】25
【詳解】設(shè)，，雙曲線的左焦點為，
則直線的方程為，由得，，
，，則．
故答案為：25.
四、解答題
13．已知橢圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓C右焦點且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題得，解得，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知橢圓C的右焦點坐標(biāo)為，
則直線l的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，化簡得，
，．
．
14．已知拋物線（）的焦點為，點為拋物線上一點，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，，若，求的值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由拋物線過點，且，
得
所以拋物線方程為；
（2）由不過原點的直線：與拋物線交于不同兩點，
設(shè)，聯(lián)立
得，
所以，
所以，
所以
因為，
所以，
則，
，即，
解得或，
又當(dāng)時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，
不符合題意，故舍去；
所以實數(shù)的值為.
15．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：雙曲線的漸近線為，即，
所以，
又焦點到直線的距離，所以，
又，所以，，所以雙曲線方程為
（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，
所以，，
兩式相減得，即
即，所以，解得，
所以直線的方程為，即，
經(jīng)檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，
所以直線的方程為.
【能力提升】
一、單選題
1．設(shè)F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則的面積為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意知，
∴過A、B的直線方程為，即：

設(shè) ，則
∴

故選：A.
2．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，則的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】解：橢圓的焦點為，
又雙曲線：的一條漸近線方程為，
所以，解得，所以雙曲線方程為.
故選：C
3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則（）
A．B．的焦距為
C．的離心率為D．的面積為
【答案】B
【詳解】由雙曲線，可得，，，，，
把，代入雙曲線方程可得：，解得，
不妨取，，，，
為正三角形，
，
解得，
，，，，
．
故選：．
4．已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，則過作傾斜角為45°的直線分別交拋物線于，（在軸上方）兩點，則的值為（）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【詳解】依題意，是拋物線的焦點，故，則，.
根據(jù)已知條件如圖所示，在軸上方，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
過B作的垂線，垂足為P，設(shè)，
根據(jù)拋物線的定義知，所以直角梯形中，
，，
又直線AB的傾斜角，故，
解得，即，
故選：A.
5．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于兩點，為坐標(biāo)原點．若，且的面積為，則點的縱坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】拋物線焦點為，準(zhǔn)線方程為，
，，，
代入拋物線方程可得，不妨設(shè)點在x軸上方，即，
又，
所以，即，同理可得
所以點的縱坐標(biāo)為
故選：C．
二、填空題
6．第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運會，國家體育場(鳥巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為______．
【答案】
【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，由于內(nèi)外橢圓離心率相同，由題意可設(shè)外層橢圓方程為.
所以點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，設(shè)切線的方程為，切線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程得，，因為直線與橢圓相切，
所以，
整理可得，.
同理，聯(lián)立直線的方程與內(nèi)層橢圓方程，可推出，
所以.
因為，所以，則，
所以.
故答案為：.
7．已知拋物線C：，點，O是坐標(biāo)原點，A，B，M，N是拋物線C上的四個動點，，過點P分別作，的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則點距離的最大值為__________．
【答案】
【詳解】設(shè)直線為，，，由題知：
，則.
，解得.
所以直線為，恒過定點.
同理直線恒過定點.
因為，，
則在以為直徑的圓上.
所以的最大值為直徑.
故答案為：2
三、解答題
8．已知橢圓離心率為，左右頂點，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線與曲線交于不同的兩點，（異于A，B兩點），直線，分別交直線于，兩點，當(dāng)時，求的值.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意可知：，所以，，
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，
設(shè)，則，
直線的方程為：，令，則，所以，
直線的方程為：，令，則，所以，
因此，即，
化簡得，
將代入得，進(jìn)而，
所以，化簡得，進(jìn)而得，
故
9．已知雙曲線過點，點在雙曲線的漸近線上，點，過作直線交雙曲線于兩點（其中不平行于軸），直線與軸交于點，直線與軸交于點.
(1)求的方程；
(2)若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由題意知，
可得，所以的方程為.
（2）設(shè)，即，設(shè)點
聯(lián)立方程得，整理可得：，
由韋達(dá)定理得，
又，
且.
直線，令可得，
直線，令可得，
.
，即
即
且
的方程為：或.
10．已知點在拋物線上，且到的焦點的距離與到軸的距離之差為.
(1)求的方程；
(2)當(dāng)時，是上不同于點的兩個動點，且直線的斜率之積為為垂足.證明：存在定點，使得為定值.
【答案】(1)或
(2)證明見解析
【詳解】（1）解：拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，
又點在拋物線上，即，所以，即，
依題意可得，解得或，
或.
（2）解：，，.
設(shè)：，，，聯(lián)立，
消去整理得，①，
且，，
，
，即，
適合①，
將m代入得，令，解得，
直線恒過定點.
又，點在以為直徑的圓上，因為、的中點為，，
所以以為直徑的圓方程為，
所以存在使得.
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離
性
質(zhì)
頂點
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

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