【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】
1.直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.
2.圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req \\al(2,1)，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req \\al(2,2)，
則圓心距d＝|C1C2|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：
1.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法
(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（xM＋xN）2－4xM·xN).
【重難點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：直線及其方程
1．無(wú)論為何實(shí)數(shù)值，直線總過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】當(dāng)時(shí)，，故直線總過(guò)定點(diǎn).
故選：D．
2．直線與直線的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直B．平行C．重合D．垂直
【答案】C
【詳解】直線可化為，
所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.
故選：C
3．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．
故選：D．
4．若直線與直線平行，則的值為（ ）
A．B．3C．3或D．或6
【答案】B
【詳解】直線：與直線：平行，
所以，解得：或，
①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，
故，
故選：B
5．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線：的垂線，垂足為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】依題意，，直線l的方向向量，則有，
解得，因此，，
因當(dāng)時(shí)，取最小值，則有，
所以的取值范圍是.
故選：D
考點(diǎn)二：圓及其方程
6．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切
【答案】C
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑，
,所以圓心距，所以兩圓相外切.
故選：C
7．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則直線l的方程是 （ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
由題意圓心到直線l的距離
（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，符合題意，
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，解得，則直線方程為，
綜上，直線 l的方程為或．
故選：B．
8．過(guò)點(diǎn)引圓的切線，其方程是（ ）
A．B．
C．D．和
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)題意，圓，
即，其圓心為，半徑r＝1；
過(guò)點(diǎn)引圓的切線，
若切線的斜率不存在，切線的方程為x＝2，符合題意；
若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，
則有，
即kx－y＋3－2k＝0，
則有，
解得，
此時(shí)切線的方程為，
即12x－5y－9＝0．
綜上：切線的方程為x＝2和12x－5y－9＝0．
故選：D．
9．已知直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑為，如圖，
所以圓心到直線的距離，
則，
又點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，
所以面積的最大值．
故選：A.
.
10．直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6B．4C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)榭苫癁椋?br>令，解得，
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，
因?yàn)?，所以要求的最小值，即求圓心到直線的最大距離，
顯然當(dāng)時(shí)，最大，最小，
又因?yàn)閳A，所以圓心，，則，
故此時(shí).
故選：D.
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】
一、單選題
1．直線的傾斜角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題，將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得，
所以直線的斜率，
因?yàn)?，所以?br>故選:C.
2．已知直線相互垂直，則值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【詳解】由可得
∵
故選：C
3．若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】的圓心為,半徑，
因?yàn)闉閳A的弦的中點(diǎn)，
所以圓心與點(diǎn)確定的直線斜率為，
因?yàn)閳A心和弦的中點(diǎn)的連線與弦所在的直線垂直，
所以弦所在直線的斜率為，
所以弦所在直線的方程為：，
即.
故選：A.
4．圓與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．外離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】D
【詳解】因?yàn)閳A 的圓心, 半徑為,
圓 的圓心, 半徑為，,
則兩圓的圓心距為,而，
則圓 與圓 的位置關(guān)系為內(nèi)切.
故選: D.
5．過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則m的值為（ ）
A．2B．C．-2D．
【答案】D
【詳解】∵點(diǎn)在圓上，圓心為，
∴直線的斜率為，且直線與切線垂直，
∵切線與直線垂直，所以直線與斜率相等，
∴，
∴．
故選：D．
6．兩條直線與的距離為（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【詳解】直線即，
所以與的距離為，
故選：D.
7．對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．直線l傾斜角為B．直線l在y軸上的截距為
C．直線l不過(guò)第二象限D(zhuǎn)．直線l過(guò)點(diǎn)
【答案】C
【詳解】將直線改寫成斜截式方程為
由斜截式方程的幾何意義可知，斜率為，
所以直線傾斜角滿足，即，故A錯(cuò)誤；
易知，直線l在y軸上的截距為，所以B錯(cuò)誤；
畫出直線l的圖象如下：
由圖象可知，直線l不過(guò)第二象限，故C正確；
將點(diǎn)代入直線方程得，
所以直線l不過(guò)點(diǎn)，即D錯(cuò)誤.
故選：C.
8．直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由，所以圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以弦長(zhǎng)為，
故選：C
二、多選題
9．已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．直線l的方程為
B．過(guò)點(diǎn)O且與直線l平行的直線方程為
C．若點(diǎn)到直線l的距離為，則
D．點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為
【答案】ABD
【詳解】對(duì)A，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，，直線l的方程為，即，A對(duì)；
對(duì)B，直線l斜率為1，故過(guò)點(diǎn)O且與直線l平行的直線方程為，即，B對(duì)；
對(duì)C，點(diǎn)到直線l的距離為，故或0，C錯(cuò)；
對(duì)D，點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)滿足，解得，故該點(diǎn)為，D對(duì).
故選：ABD
10．已知直線：和圓：，則（ ）
A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．存在使得直線與直線：垂直
C．直線與圓相離D．若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為
【答案】BD
【詳解】直線，即，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
當(dāng) 時(shí)，直線與直線垂直，故B正確；
∵定點(diǎn)在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C不正確：
當(dāng)時(shí)，直線l化為，即x+y+2=0，
圓心O到直線的距離，
直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為，故D正確，
故選：BD.
三、填空題
11．已知直線，直線，若直線與的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．
【答案】
【詳解】由題意得兩直線不平行，即，得，
由得，
由于直線與的交點(diǎn)在第一象限，
所以，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：.
12．圓心在直線上，且過(guò)兩圓，交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________.
【答案】
【詳解】由解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，則，
解得，
所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故答案為：
四、解答題
13．設(shè)直線的方程為.
(1)已知直線在軸上的截距為，求的值；
(2)已知直線的斜率為1，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意知，即且，
令，則，
即，得或 (舍去)．
∴.
（2）由題意知，，即且，
由直線l化為斜截式方程
得，
則，
得或 (舍去)．
∴.
14．已知圓C的圓心為，半徑為3，l是過(guò)點(diǎn)的直線．
(1)判斷點(diǎn)P是否在圓上，并證明你的結(jié)論；
(2)若圓C被直線l截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．
【答案】(1)點(diǎn)P不在圓上，證明見解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【詳解】（1）點(diǎn)P不在圓上．
證明如下：
∵，
∴由圓的定義可知點(diǎn)P是在圓C的內(nèi)部，不在圓上；
（2）由直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心C到直線l的距離，
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，
此時(shí)，滿足題意；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此時(shí)直線l為3x＋4y－8＝0，
綜上所述：直線l的方程為x＝0或3x＋4y－8＝0．
15．已知圓與圓.
(1)若圓與圓相外切，求實(shí)數(shù)的值；
(2)在（1）的條件下，若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）圓的方程可整理為：，
圓心，半徑；其中,
由圓方程知：圓心，半徑；
圓與圓相外切，，解得：.
（2）由（1）知：圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
，解得：或.
【能力提升】
一、單選題
1．已知直線和互相平行，則實(shí)數(shù)m的取值為（ ）
A．﹣1或3B．-3或﹣1C．﹣1D．3
【答案】C
【詳解】當(dāng)時(shí)，不存在，，不平行.
當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)槠叫?，所以，解得?
當(dāng)時(shí)，，，重合，舍去.
當(dāng)時(shí)，，，.
綜上.
故選：C
2．點(diǎn)為軸上的點(diǎn)，，，以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【詳解】設(shè)，直線的方程為，
點(diǎn)到直線的距離，，
所以，解得：或，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
故選：A
3．如圖，圓內(nèi)有一點(diǎn)，為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】直線AB的斜率為，又直線AB過(guò)點(diǎn)，
所以直線AB的方程為：，即.
圓心到直線AB：的距離為，
則．
故選：B
4．設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線和圓相交于P，Q兩點(diǎn)，若，則m的值為（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：圓，即，
所以圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
由弦長(zhǎng)公式得，則，即，
解得，
所以，
即，
即，解得或.
所以m的值為或．
故選：A．
5．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B的距離為2，動(dòng)點(diǎn)Р滿足，若點(diǎn)Р不在直線AB上，則面積的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
則，設(shè)點(diǎn)，由得：，即，
整理得：，因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，則P到直線AB距離的最大值為，
所以面積的最大值為.
故選：B
二、填空題
6．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則_________.
【答案】
【詳解】解：因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，
所以直線AB的方程為：，
即，
圓心到弦AB的距離，
所以，
故答案為：.
7．已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．
【答案】
【詳解】圓，即，圓心為，半徑.
圓，即，圓心為，半徑.
圓心角，所以兩圓相內(nèi)切.
由解得，
所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，所以公切線的斜率為，
所以公切線的方程為.
故答案為：
三、解答題
8．已知圓，直線．
(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑；
(2)若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】(1)圓心的坐標(biāo)為，半徑為2．
(2)
【詳解】（1）圓，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為2．
（2）直線與圓相切，
圓心到直線的距離，解得．
實(shí)數(shù)的值為．
9．已知，圓.
(1)若圓與圓外切，求實(shí)數(shù)的值；
(2)當(dāng)在中任意取值時(shí)，求圓心的軌跡方程；
(3)是否存在定直線，使得：動(dòng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)恒為?若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)存在，且的方程為或.
【詳解】（1）圓
，
，
所以圓的圓心為，半徑.
圓的圓心為，半徑為，
由于圓與圓外切，所以，
解得或.
（2）由（1）得，即，
消去得，所以圓心的軌跡方程為.
（3）設(shè)直線交圓于兩點(diǎn)，設(shè)到直線的距離為，
則，假設(shè)存在符合題意的定直線，
則，
即圓心與直線的距離恒為，
而圓心的軌跡方程為，
所以可設(shè)直線的方程為，且，
解得或，
所以存在符合題意的定直線，且定直線的方程為或.
10．已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求圓的方程；
(2)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍．
【答案】(1)(2)
(1)
由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對(duì)稱，
設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，
所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為
(2)
連接，將四邊形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長(zhǎng)度的范圍，
在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)闉榘霃介L(zhǎng)度不變，所以最大時(shí)最大；所以最小時(shí)最??；
畫出如下圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至在時(shí)面積最小，時(shí)面積最大；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，
所以，所以；
，所以.
所以
位置關(guān)系
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點(diǎn)
Δ0
幾何觀點(diǎn)
d>r
d＝r
dr1＋r2
d

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