【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】
排列與組合
1.排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq \\al(m,n)表示.
(2)從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
二項(xiàng)式定理
1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
3.各二項(xiàng)式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.
(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
【重難點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：排列與組合
1．現(xiàn)有5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，不同選法的種數(shù)是（ ）
A．B．C．20D．9
2．將4名新老師安排到三所學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少一人，則不同的安排方案的種數(shù)是（ ）
A．54B．36C．24D．18
3．北京某大學(xué)為第十八屆四中全會(huì)招募了名志愿者（編號(hào)分別是，，…，號(hào)），現(xiàn)從中任意選取人按編號(hào)大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個(gè)編號(hào)較小的人在一組，三個(gè)編號(hào)較大的在另一組，那么確保號(hào)、號(hào)與號(hào)同時(shí)入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
4．某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個(gè)學(xué)生社團(tuán)的指導(dǎo)教師，每個(gè)社團(tuán)各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時(shí)參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（ ）
A．360種B．480種C．600種D．720種
5．當(dāng)前，國(guó)際疫情仍未得到有效控制，國(guó)內(nèi)防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻?復(fù)雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個(gè)地區(qū)開展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，每人只去一個(gè)地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．24種B．30種C．36種D．72種
．
考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理
6．展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
7．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．80D．200
8．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（ ）
A．16B．32C．1D．
9．已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（ ）
A．展開式所有項(xiàng)的系數(shù)和為B．展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大為
C．展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)D．展開式中有理項(xiàng)共有5項(xiàng)
10．若，則的值是（ ）
A．1B．2C．D．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、單選題
1．甲乙丙丁4名同學(xué)站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（ ）
A．6種B．12種C．36種D．48種
2．已知二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．B．C．15D．20
3．2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國(guó)人民的喜愛.某商店有3個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2個(gè)不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法有多少種？（ ）
A．24B．12C．6D．2
4．已知甲袋子中裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，若從甲、乙兩個(gè)袋子中各取出2個(gè)球，則取出的4個(gè)球中恰有2個(gè)紅球的不同取法共有（ ）
A．9種B．18種C．27種D．36種
5．已知（1+2x）n的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為（ ）
A．211B．210C．29D．28
6．教育部于2022年開展全國(guó)高校書記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市4所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長(zhǎng)拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（ ）
A．8種B．10種C．14種D．20種
7．若展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．160B．60C．D．
8．某中學(xué)為了更好地培養(yǎng)學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐能力，舉辦了一次勞動(dòng)技術(shù)比賽.根據(jù)預(yù)賽成績(jī)，最終確定由甲、乙等5名同學(xué)進(jìn)入決賽，決出第1名到第5名的名次.決賽后甲和乙去詢問成績(jī)，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對(duì)乙說：“你和甲都不是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，甲、乙等5人的決賽名次可能有（ ）種排列情況.
A．18B．36C．54D．72
二、多選題
9．在二項(xiàng)式的展開式中，正確的說法是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng)B．各項(xiàng)的系數(shù)和是
C．第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為
10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測(cè)指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（ ）
A．所有可能的安排方法有125種
B．若A 醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種
C．若專家甲必須去A 醫(yī)院，則不同的安排方法有16種
D．若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種
三、填空題
11．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)是___________.
12．為弘揚(yáng)我國(guó)古代“六藝”文化，某校研學(xué)活動(dòng)社團(tuán)計(jì)劃開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程.若甲、乙、丙三位同學(xué)均只能體驗(yàn)其中一門課程，則恰有3門課程沒有被這三位同學(xué)選中的概率為______.
四、解答題
13．在的展開式中，求：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．
14．（1）書架上有3本不同的語文書，4本不同的數(shù)學(xué)書，2本不同的英語書，將這些書全部豎起排成一排，如果同類書不能分開，一共有多少種不同的排法？
（2）某學(xué)校要安排5位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲既不能第一個(gè)出場(chǎng)，也不能最后一個(gè)出場(chǎng)，則共有多少種不同的安排方法？
15．某學(xué)習(xí)小組有4名男生和3名女生共7人．
(1)將這7人排成一排，4名男生相鄰有多少種不同的排法？
(2)從中選出2名男生和2名女生分別承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有多少種不同的選派方法？
【能力提升】
一、單選題
1．若，則（ ）
A．5B．C．3D．
2．從1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．C．80D．200
4．某校為落實(shí)“雙減”政策，在課后服務(wù)時(shí)間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動(dòng).現(xiàn)有，，，四名同學(xué)擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每個(gè)人只能等可能的參加其中一項(xiàng)，則恰有兩人參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．當(dāng)前，國(guó)際疫情仍未得到有效控制，國(guó)內(nèi)防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻?復(fù)雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個(gè)地區(qū)開展防疫宣傳活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少安排一人，每人只去一個(gè)地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個(gè)地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（ ）
A．24種B．30種C．36種D．72種
二、填空題
6．某辦公樓前有7個(gè)連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號(hào)的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．
7．二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國(guó)至遲在11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項(xiàng)式系數(shù)法則.在的二項(xiàng)式展開式中，的系數(shù)為______.
三、解答題
8．中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)．
(1)若“射”和“樂”兩門課程相鄰，且它們都與“數(shù)”不相鄰，求不同的排課順序有多少種；
(2)若“射”不排在第一節(jié)，“數(shù)”不排在第四節(jié)，求不同的排課順序有多少種．
9．若，.
(1)求；
(2)求的值；
(3)求的值.
10．在10件產(chǎn)品中，有4件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件．
(1)抽出的3件中恰好有2件是次品的抽法有多少種？
(2)若已知抽出的3件中至少有1件是次品，那么抽出的3件中恰好有2件是次品的概率是多少？
名稱
定義
排列
從n個(gè)不同對(duì)象中取出m(m≤n)個(gè)對(duì)象
并按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列
組合
并成一組，稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)組合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq \\al(0,n)＝1
性質(zhì)
(1)0?。?；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m＋1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1)
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對(duì)稱性
與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增減性
二項(xiàng)式系數(shù)Ceq \\al(k,n)
當(dāng)k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的
當(dāng)k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的
二項(xiàng)式
系數(shù)最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值

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