第07講等差數(shù)列及其求和-【寒假講義】高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（人教B版選擇性必修三）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
【知識導(dǎo)航】
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于_____常數(shù)d，即_____恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項(xiàng)，A＝eq \f(x＋y,2).
②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝_____.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝_______________.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋__________(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則__________.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
(6)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)時(shí)，則S2n＝__________，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)時(shí)，則S2n－1＝_____，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
【知識預(yù)習(xí)】
考點(diǎn)一：等差數(shù)列
1．在等差數(shù)列中，若，，則（）
A．14B．15C．16D．8
2．等差數(shù)列中，已知，，則公差d（）
A．1B．2C．3D．4
3．已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式（）
A．nB．C．D．
4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A．2020B．1525C．1515D．2015
5．已知為遞增的等差數(shù)列，，若，則（）
A．10B．11C．12D．13
考點(diǎn)二：兩角和與差的余弦
6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）
A．B．C．D．
7．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）
A．B．C．D．
8．已知等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，則（）
A．200B．300C．500D．1000
9．在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）
A．B．C．或D．
10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（）
A．B．C．D．
【對點(diǎn)訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知是數(shù)列等差數(shù)列，，則公差（）
A．1B．2C．3D．4
2．在等差數(shù)列中，若，，則公差（）
A．B．1C．D．2
3．已知等差數(shù)列中，，，則的值是（）
A．4B．15C．31D．64
4．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)取最小值時(shí)是（）
A．2或B．2C．3D．3或
5．已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，則（）
A．B．C．D．
6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A．7B．C．D．10
7．《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是（）
A．升B．升C．升D．升
8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且，則的前項(xiàng)和為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A．B．
C．，，成等差數(shù)列D．，，成等差數(shù)列
10．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，則下列等式正確的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
11．在等差數(shù)列中,,則___________.
12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若公差則 __
四、解答題
13．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的最小值.
14．已知數(shù)列中，且.
(1)求；
(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的最大值.
15．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．已知等差數(shù)列中，，公差，則數(shù)列的前4項(xiàng)和（）
A．15B．30C．50D．75
2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（）
A．1B．2C．3D．4
3．記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中一定成立的是（）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）
A．55B．60C．65D．75
5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有（）
A．145項(xiàng)B．146項(xiàng)C．144項(xiàng)D．147項(xiàng)
二、填空題
6．等差數(shù)列前n項(xiàng)和，等差數(shù)列前n項(xiàng)和，，則_____.
7．為等差數(shù)列，，則__________.
三、解答題
8．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求n的最小值．
9．已知數(shù)列滿足，記，
(1)寫出數(shù)列的前4項(xiàng)；
(2)記，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
(3)求的前20項(xiàng)和．
10．已知正項(xiàng)數(shù)列和為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足
(1)分別求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)將數(shù)列與數(shù)列相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.