第08講等比數(shù)列及其求和-【寒假講義】高二數(shù)學寒假講義練習（人教B版選擇性必修三）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.理解等比數(shù)列的概念.
2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式
3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
【知識導航】
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項起，每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù)q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.
數(shù)學語言表達式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項，且G2＝xy.
2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.
(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
1.若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.
2.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q)，x，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
【知識預習】
考點一：等比數(shù)列
11．在等比數(shù)列中，則（）
A．16B．16或－1
C．32D．32或－32
【答案】A
【詳解】設(shè)公比為，則，解得：，所以.
故選：A
12．設(shè)是等比數(shù)列，且，則（）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【詳解】由題意可得：，解得，
故.
故選：B.
13．已知等比數(shù)列，，則（）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【詳解】
故選：C.
14．在等比數(shù)列中，且，則（）
A．16B．8C．4D．2
【答案】C
【詳解】由題意可知，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，若，則；
所以，因為，所以.
故選：C.
15．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)可得：
故選：C
考點二：等比數(shù)列的前n項和
16．已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．83B．108C．75D．63
【答案】D
【詳解】由題知，等比數(shù)列的前項和為，
所以也是等比數(shù)列，即也是等比數(shù)列，
根據(jù)等比中項性質(zhì)解得，
故選：D
17．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【詳解】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，
所以，由題可得，解得，
所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.
故選：C.
18．記為等比數(shù)列的前項和.若，則（）
A．1B．2C．4D．7
【答案】D
【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，
所以成等比數(shù)列，
所以，
因為，
所以，解得7，
故選：D.
19．已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）
A．2B．3C．6D．9
【答案】B
【詳解】因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，
所以由，
當時，，所以，不符合題意；
當時，由，
或，
因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，
故選：B
20．集合論是德國數(shù)學家康托爾于十九世紀末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽其為“數(shù)學思想的驚人產(chǎn)物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現(xiàn)之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作一直繼續(xù)下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（）
（參考數(shù)據(jù)：，）
A．9B．8C．7D．6
【答案】A
【詳解】第一次操作去掉的線段長度為，第二次操作去掉的線段長度和為，第三次操作去掉的線段長度和為，…，第操作去掉的線段長度和為，
由此得，
所以，，
，，
所以的最小值是9.
故選：A．
【對點訓練】
一、單選題
1．在數(shù)列中，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】∵，即：，
∴為等比數(shù)列，公比，
∴
故選：D.
2．與的等差中項和等比中項分別是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】與的等差中項是，
與的等比中項是
故選：A
3．在正項等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前 5 項之和為（）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)得,
數(shù)列的前 5 項之和為，
故選：C
4．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（）
A．128B．127C．126D．125
【答案】C
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，，
，，
所以，即
故選：C
5．已知正項等比數(shù)列前項和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【詳解】因為，
所以
設(shè)公比為q，可得：，
兩式相除得：
故選：A
6．已知等比數(shù)列的前項積滿足，則（）.
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】等比數(shù)列的前項積，，，
.
故選：C
7．若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（）
A．B．1C．D．
【答案】C
【詳解】由題意得,,
故
所以
故選: .
8．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且數(shù)列的前n項乘積，n的最大值為（）
A．10B．11C．20D．21
【答案】C
【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，，
，
，
所以使的n的最大值為20.
故選：C
二、多選題
9．下列說法中正確的是（）
A．若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列
B．等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù)
C．數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有
D．若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，則這個數(shù)列的公比是1
【答案】CD
【詳解】A. 如數(shù)列0，0，0，滿足b2=ac，但a，b，c不成等比數(shù)列，故錯誤；
B.如數(shù)列1，1，1，…，是等差數(shù)列，其前n項和為n，不是常數(shù)項為0的二次函數(shù)，故錯誤；
C.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則，即，故必要，若，即為，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，故充分，故正確；D.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列，即，則這個數(shù)列的公比是，故正確；
故選：CD
10．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則下列說法正確的是（）
A．B．為等比數(shù)列
C．D．
【答案】ABD
【詳解】∵，則，即，
∴數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，則，
故A、B正確；
又∵，
顯然不符合上式，則，
故C錯誤，D正確；
故選：ABD.
三、填空題
11．已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，則______．
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，成等差數(shù)列，
，則，
即，解得或(不合題意，舍去)，
．
故答案為：．
12．《九章算術(shù)》敘述了一個老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.問：何日相逢？各穿幾何？意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞進度是前一天的2倍，小老鼠每天的進度是前一天的一半.第3天結(jié)束后，兩只老鼠相距______尺.
【答案】
【詳解】設(shè)大老鼠第n天打洞的距離為，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為；小老鼠第n天打洞的距離為，則數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，其前n項和為.則，則，從而相距尺.
故答案為：
四、解答題
13．在數(shù)列中，，，．
(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）證明：
又
數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）可知，即，
.
14．已知等差數(shù)列滿足，前4項和．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為d．
∵
∴
解得：
∴等差數(shù)列通項公式
（2）設(shè)等比數(shù)列首項為，公比為q
∵
∴
解得：
即或
∴等比數(shù)列通項公式或
15．已知是等差數(shù)列，是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，且，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）依題意，知，則，，
設(shè)的公差為d，
則，
．
（2）由（1）知，，，
，
設(shè)的前n項和為，
則
．
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．設(shè)正項等比數(shù)列的前n項和為，若，則公比（）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】A
【詳解】由，有，即．
由等比數(shù)列的通項公式得，即，解得或，由數(shù)列為正項等比數(shù)列，∴．
故選：A
2．若成等差數(shù)列；成等比數(shù)列，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】由題意得：，
設(shè)的公比為，則，，
解得：，
.
故選：B
3．等比數(shù)列前項和為.若，則數(shù)列前項和的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
又，解得，
所以，則，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，
令，則，易知，
所以，
故當或6時，取最小值，最小值為，
故選：
4．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，若對任意的正整數(shù)，都有，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當，，
所以，
解得：，當n=1適合
因為，
所以
，
又因為是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以有，對任意的正整數(shù)，都有，
所以，
故選：C
5．已知數(shù)列的前n項和為，，且，則下列說法中錯誤的是（）
A．B．
C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列
【答案】C
【詳解】由題意數(shù)列的前項和為，，且，
則，即，
所以即選項A正確；
因為①，
∴當時，②，
①-②可得，，即，
當時，，不滿足，
故數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤，
由時，可得，則，
故，故B正確；
由得：
所以
令，則
所以
所以，即，
故是首項為，
公比為4的等比數(shù)列，D正確，
故選：C.
二、填空題
6．已知等比數(shù)列的公比成等差數(shù)列，則公比____________．
【答案】2
【詳解】由題意得，
而為等比數(shù)列，化簡得，而，解得，
故答案為：2
7．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，則數(shù)列前10項的和為___________.
【答案】
【詳解】由，或，
當時，即，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，這不符合數(shù)列的各項均為正數(shù)；
當時，即，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，
所以，
因為，
所以前10項的和為，
故答案為：
三、解答題
8．設(shè)是等比數(shù)列，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，
則由已知有，，所以，．
因此．
（2）由(1)則前n項和
9．已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前n項和為，求．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，，
所以，，
所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，①，
當時，②，
①減②得：，
當時，成立，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以
10．已知數(shù)列為等差數(shù)列,數(shù)列為等比數(shù)列,數(shù)列的公差為2;
(1)若,求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,若,求;
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解:由題知,
為等比數(shù)列,不妨設(shè)公比為,
又數(shù)列的公差為2,
,
即,
解得,
故;
（2）由題知數(shù)列為等差數(shù)列,且公差為2,
,
解得:,
故.

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