A 組·素養(yǎng)自測(cè)
一、選擇題
1．如果復(fù)數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的值為( A )
A．－2 B．1
C．2 D．1或－2
[解析] 由題意知：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a－2＝0,a2－3a＋2≠0))解得a＝－2，故選A．
2．以3i－1的虛部為實(shí)部，以－2＋i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是( C )
A．－2＋3i B．－3＋i
C．－2i＋3 D．1－3i
[解析] 3i－1的虛部為3，－2＋i的實(shí)部為－2，故以3i－1的虛部為實(shí)部，以－2＋i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是3－2i，故選C．
3．若復(fù)數(shù)z＝(m2－2m－15)＋(m2－16)i>0，則實(shí)數(shù)m的值等于( B )
A．4 B．－4
C．5 D．－3
[解析] ∵z>0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,m2－2m－15>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝±4，,m>5或m1，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)2__.
[解析] 由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2－1>1，))解得m＝2.
8．已知實(shí)數(shù)x滿足－x2－x＋2xi＝m＋i，則實(shí)數(shù)m的值為 －eq \f(3,4) .
[解析] 由復(fù)數(shù)相等的定義可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－x＝m，,2x＝1，))解得m＝－eq \f(3,4).
三、解答題
9．分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
[解析] (1)∵x，y∈R，
∴由復(fù)數(shù)相等的定義得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
(2)∵x∈R，
∴由復(fù)數(shù)相等的定義得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.
10．實(shí)數(shù)m分別為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq \f(2m2＋m－3,m＋3)＋(m2－3m－18)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．
[解析] (1)要使所給復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部為0.
故若使z為實(shí)數(shù)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－18＝0，,m＋3≠0，))
解得m＝6.所以當(dāng)m＝6時(shí)，z為實(shí)數(shù)．
(2)要使所給復(fù)數(shù)為虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的虛部不為0.
故若使z為虛數(shù)，則m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以當(dāng)m≠6且m≠－3時(shí)，z為虛數(shù)．
(3)要使所給復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，必使復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0.
故若使z為純虛數(shù)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2＋m－3＝0，,m＋3≠0，,m2－3m－18≠0，))
解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1.
所以當(dāng)m＝－eq \f(3,2)或m＝1時(shí)，z為純虛數(shù)．
B 組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．若sin 2θ－1＋i(eq \r(2)cs θ＋1)是純虛數(shù)，則θ的值為( B )
A．2kπ－eq \f(π,4) B．2kπ＋eq \f(π,4)
C．2kπ±eq \f(π,4) D．eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(以上k∈Z)
[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin 2θ－1＝0，,\r(2)cs θ＋1≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2θ＝2kπ＋\f(π,2)，,θ≠2kπ＋π±\f(π,4)))(k∈Z)．
∴θ＝2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
2．(多選題)若關(guān)于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a可以等于( AB )
A．11 B．－eq \f(71,5)
C．eq \f(71,5) D．－eq \f(11,5)
[解析] 設(shè)方程的實(shí)根為x＝m，
則3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0.))
解得a＝11或a＝－eq \f(71,5).故選AB．
3．復(fù)數(shù)4－3a－a2i與a2＋4ai相等，則實(shí)數(shù)a的值為( C )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[解析] 由題意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.
二、填空題
4．已知m，n∈R，z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，則m＝_2__，n＝_±2__.
[解析] ∵z1＝z2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2－3m－1＝－3，,n2－m－6＝－4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝2，))即m＝2，n＝±2.
5．已知關(guān)于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有實(shí)數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于_3－i__.
[解析] 由題意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1，))∴z＝3－i.
三、解答題
6．若不等式m2－(m2－3m)i

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7.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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