TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28027" 【題型1 A字型】 PAGEREF _Tc28027 \h 2
\l "_Tc27968" 【題型2 “8”字形】 PAGEREF _Tc27968 \h 6
\l "_Tc13487" 【題型3 AX字型】 PAGEREF _Tc13487 \h 12
\l "_Tc31320" 【題型4 子母型】 PAGEREF _Tc31320 \h 19
\l "_Tc17647" 【題型5 三角形內(nèi)接矩形型】 PAGEREF _Tc17647 \h 26
\l "_Tc1063" 【題型6 雙垂直型】 PAGEREF _Tc1063 \h 31
\l "_Tc21621" 【題型7 手拉手型】 PAGEREF _Tc21621 \h 35
\l "_Tc14553" 【題型8 一線三角型】 PAGEREF _Tc14553 \h 44
【基本模型】
①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．
②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；

③模型拓展2： 如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．
【題型1 A字型】
【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時，測得影子的長為1米，繼續(xù)往前走2米到達處時，測得影子的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈的高度等于_________．
【答案】4.5
【詳解】如圖，設(shè)之間的距離為x米，
根據(jù)題意可得，，
∴
∴，，
∴，，
即，，
∴，
解得，經(jīng)檢驗是所列方程的解，
∴，解得，
經(jīng)檢驗是所列方程的解，
故路燈的高為4.5米．
故答案為：4.5．
【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．
（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；
（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．
【答案】（1），；（2）t＝3或
【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面積是△ABD面積的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；
（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
則有，即，解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
則有，即，
解得t＝，
答：當t＝3或時，以A、M、N為頂點的三角形與△ABD相似．
【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．
【答案】甲同學
【詳解】解：如圖1所示，設(shè)甲同學加工的桌面邊長為xm，
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴
即
∴x＝
圖2所示，過點B作BH⊥AC，交AC于點H，交DE于點P．
由勾股定理得：
AC＝
∵，
∴
設(shè)乙同學加工的桌面邊長為ym，
∵DE∥AC
∴△BDE∽△BAC
∴
即
∴y＝
∵＞，即x＞y，x2＞y2
∴甲同學的加工方法更好．
【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足為F、E、G，
∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，
∴AF=4，BE=DG=3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，
∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，
在△BCE與△ACF中，，
∴△BCE≌△CAF，
∴CF=BE=3，
∴AC==5，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF，
∴，即，
解得：CD=，
∴BD==．
故選：A．
【基本模型】
①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；
②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．

③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．
【題型2 “8”字形】
【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF 的面積為2，則△ABC的面積為( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【詳解】∵平行四邊形ABCD
∴，AD=BC
∵E為邊AD的中點
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，
則，
∴，
∵△AEF的面積為2
∴
故選C．
【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動點P在射線EF上，BP交CE于點D，∠CBP的平分線交CE于點Q，當CQ＝CE時，EP+BP的值為（ ）
A．9B．12C．18D．24
【答案】C
【詳解】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．
∵，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝EC，
∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，
∴△EQG∽△CQB，
∴＝＝3，
∵BC＝6，
∴EG＝18，
∴EP+PB＝EG＝18，
故選：C．
【變式2-2】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當時，求的長．
【答案】
【詳解】解：如解圖，補成矩形，延長交于點，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴設(shè)，則，
又∵在矩形中，，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
【變式2-3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．
【答案】
【詳解】解法1：如圖2，過點D作AC的平行線交BN于點H．
因為．
所以，
所以．
因為D為BC的中點，所以．
因為，所以，
所以．
因為M為AD的中點，所以．
所以，
所以．
解法2：如圖3，過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H．
因為，所以，
所以．
因為D為BC的中點，所以．
因為M為AD的中點，所以，
所以．
因為，
所以，
所以．
解法3：如圖4，過點A作BC的平行線交BN的延長線于點H．
因為，所以，
所以．
因為M為AD的中點，所以，所以．
因為，所以，
所以．
因為D為BC的中點，且，
所以．
解法4：如圖5，過點D作BN的平行線交AC于點H．
在中，
因為M為AD的中點，，
所以N為AH的中點，即．
在中，因為D為BC的中點，，所以H為CN的中點，即，
所以．
所以．
【基本模型】
A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.
【題型3 AX字型】
【例3】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故選：C．
【變式3-1】（2022·河北石家莊·九年級期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）連接，交于點．
①若，求的長；
②作，垂足為，求證：．
【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．
【詳解】（1）∵是等邊三角形
∴，
在中，
∴
∵點是線段的中點
∴
∴是等邊三角形
∴，
∴
∴
∴
∴四邊形為平行四邊形；
（2）①如圖，連接，交于點
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴；
②如圖，作，垂足為
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
【變式3-2】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．
【答案】； ．
【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設(shè)EF與CD的延長線交于H，
∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，
∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）點F在線段AD的延長線上時，設(shè)EF與CD交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，
∵AB//CD，
∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案為：或．
【變式3-3】（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．
（1）請你探究：，是否都成立？
（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．
（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．
【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）
【詳解】解：（1） 等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，

因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，
∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，
AD＝B1D，

綜上：這兩個等式都成立；
（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：
如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，
線段AD為其內(nèi)角角平分線
∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD
∴BE＝AB，
又∵BE＝AB．
∴，
即對任意三角形結(jié)論仍然成立；
（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，
∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，
∴
∵DE∥AC，


∵DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

【基本模型】
如圖為斜“A”字型基本圖形．當時，，則有．．
如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．
當時，，則有．
【題型4 子母型】
【例4】（2022·重慶實驗外國語學校九年級期末）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．
【答案】5
【詳解】解：在CD上取點F，使，
，，
由，
，
，，
且，
，
，
∽，
，
，
，
又，
，
∽，
，
又，
，
或舍去，
經(jīng)檢驗：符合題意，
．
故答案為：5．
【變式4-1】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知：如圖1，中，是的角平分線，．
求證：與互為母子三角形．
（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結(jié)，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．
【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．
【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2，故選：C
（2）是的角平分線，，
，
．
又，
與互為母子三角形．
（3）如圖，當分別在線段上時，
與互為母子三角形，
，
，
是中線，
，
又，．
，
，
．
如圖，當分別在射線上時，
與互為母子三角形，
，
，
是中線，
，
又，
．
，
，
．
綜上所述，或3
【變式4-2】（2022·遼寧鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長；
（2）如圖（2），過點A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點E，F(xiàn)．
①求證：∠ABC＝∠EAF；
②求的值．
【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．
【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ACB.
又∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，即，
∴AD＝
①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，
∴∠AFB＝∠EAC＝90°.
又∵∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴∠BAF＝∠CEA.
∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，
∴∠ABC＝∠EAP.
②如圖，取CE的中點M，連接AM.
在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AME，
∴AM＝AB，
∴．
【變式4-3】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，中，點分別是的中點，與點．
（1）求證：；
（2）求的大小；
（3）若，求的面積．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2．
【詳解】（1），，
在和中，，，，；
，
是等腰直角三角形，
，
由（1）可知，，
，
點E是AC的中點，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
；
（3）設(shè)，
是等腰直角三角形，
，
點分別是的中點，
，
在中，，
，
由（1）知，，
，即，解得，
在中，，
，
在和中，，，
，即，解得，
又，，解得，
，
則的面積為．
【基本模型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推導出來的。

結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
【題型5 三角形內(nèi)接矩形型】
【例5】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的邊長；
（2）如圖2，在BC邊上放兩個小正方形DEFG、FGMN，則DE= ．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】解：過點作AM⊥BC于點M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=BC=3，
在Rt△ABM中，AM==4，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN=DE，
設(shè)MN=DE=x，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC=AN：AM，∴，
解得：DG=﹣x+6，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴DE=DG，即x=﹣x+6，
解得x=，
∴正方形DEFG的邊長為；
（2）由題意得：DN=2DE，
由（1）知：，
∴DE=．
故答案為．
【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長．
【答案】
【詳解】解： ∵四邊形EFGH是正方形
∴EH∥BC
∴△AEH∽△ABC
∴ ，即
解得：EH=
∴四邊形EFGH的邊長為
【變式5-2】（2022秋?八步區(qū)期中）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【變式5-3】（2022秋?渭濱區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：；
（2） 如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．
①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；
②如圖3，求證MN2=DM·EN．
【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．
【詳解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴，
同理在△ACQ和△APE中，，
∴；
（2）①作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE邊上的高為，MN：GF=：，
∴MN：=：，∴MN=．故答案為：．
②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG?EF=CF?BG，
又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF?BG，
由（1）得，
∴，
∴，
∵GF2=CF?BG
∴MN2=DM?EN．
【基本模型】
①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．
（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．

【題型6 雙垂直型】
【例6】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將
兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（ ）
A.eq \r(15) B．2eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(17)
【解析】∵AD∥BC，
∴∠ADF＋∠FCB＝180°.
根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，
∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，
∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，
∠DFE＝∠EFC＝90°，
∴∠FDE＝∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴eq \f(EF,CF)＝eq \f(DF,EF)，
∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，
∴EF＝eq \r(15).故選A.
【變式6-1】（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，
∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，
∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，
∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．
故選：A．
【變式6-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．
（1）求證 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【詳解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【變式6-3】（2022秋?汝州市校級月考）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，求的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．
【詳解】證明：（1），
，
，
，
在和中，，
；
（2）點為的中點，
，
由（1）已證：，
，
設(shè)，則，，
，
（等腰三角形的三線合一），
，
又，
，
即；
（3）由（2）已證：，
，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
由（2）可知，設(shè)，則，
，
解得或（不符題意，舍去），
，
則在中，．
【基本模型】
①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.
②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．

總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點組成的三角形相似．
③如圖所示，，則，，且．
【題型7 手拉手型】
【例7】（2022春?江陰市期中）如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（ ）
A．5：3B．4：3C．：2D．2：
【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵，∴△ACE∽△ABD，
∴，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC：BC：AB＝3：4：5，
∴BD：CE＝5：3，
故選：A．
【變式7-1】（2022秋?岳陽縣期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．
（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；
（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）或
【詳解】解：（1）當α＝60°時，∵AB＝AC
∴△ABC為等邊三角形，∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴△PBD為等邊三角形，∴，
∴
在和中，
∴，∴
（2）過點作，如下圖：
∵當α＝120°時，，∴，，∴
由勾股定理得
∴，∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴，
又∵，∴
又∵，
∴，∴，∴
∴
（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度
當在線段上時，如下圖：
由題意可得：，∵α＝120°，∴
在中，，∴，
在中，，，∴
∴，
由（2）得
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得，則
當在線段延長線上，如下圖：
則，
由（2）得，，設(shè)，則
由勾股定理可得：
即，解得，則
綜上所述：點D到CP的距離為或
【變式7-2】（2022秋?炎陵縣期末）如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點，已知，，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)及的長；
（3）若點、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接、、，作出圖象，求的長．
【答案】（1）見解析；（2）60°，12；（3）
【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△ADC與△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△ABE；
∴∠ADP=∠ABP，
設(shè)AB，PD交于O，
∵∠AOD=∠POB，
∴∠DPB=∠DAB=60°；
如圖①，在PE上取點F，使∠PCF=60°，
同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，
∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，
∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；
（3）如圖②，過點Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，
∵點Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，
∴AQ=2x，AG=x，AB=x，
∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，
∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，
∴QR：BE=AQ：AB，
∴．
【變式7-3】（2022春?棲霞市期末）如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點，，點M、N分別在直線BC、DC上．
（1）如圖1，當Q為線段OD的中點時，求證：；
（2）如圖2，當Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若，，求EF的長．
【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長為．
【詳解】解：（1）如圖，過Q點作QP⊥BD交DC于P，
∴∠PQB=90°．
∵∠MQN=90°，
∴∠NQP=∠MQB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，
∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，
∴∠DPQ=∠DBC=45°，
∴△QPN∽△QBM，
∴，
∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，
∴DO=2DQ，DP=DC，
∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，
∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；
（2）如圖，過Q點作QH⊥BD交BC于H，
∴∠BQH=∠DQH=90°，
∴∠BHQ=45°，
∵∠COB=90°，
∴QH∥OC，
∵Q是OB的中點，
∴BH=CH=BC，
∵∠NQM=90°，
∴∠NQD=∠MQH，
∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，
∴∠QND=∠QMH，
∴△QHM∽△QDN，
∴，
∴HM=ND，
∵BM-HM=HB，
∴BM?DN=BC．
故答案為：BM?DN=BC；
（3）MB：MC=3：1，
設(shè)CM=x，
∴MB=3x，
∴CB=CD=4x，
∴HB=2x，
∴HM=x．
∵HM=ND，
∴ND=3x，
∴CN=7x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴ED∥BC，
∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，
∴，
∴，
∴DE=x，
∴，
∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
設(shè)EF=a，則FM=7a，
∴，
∴．
∴EF的長為．
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.
(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.
特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.

補充：其他常見的一線三等角圖形

【題型8 一線三角型】
【例8】（2022秋?灌云縣期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）
【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．
【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．
【答案】【探究】3；【拓展】4或．
【詳解】探究：證明：∵是的外角，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
當PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，即，解得：，
∴AP=ABPB=，
綜上所述：△CPE是等腰三角形時，AP的長為4或．
【變式8-1】（2022?雨城區(qū)校級開學）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求證△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ；
∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
設(shè)，則，

∴
經(jīng)檢驗：是原方程的解，
所以三角形的邊長為：3．
【變式8-2】（2022秋?渝中區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中點，連接AE，tan∠AEB，P是AD邊上一動點，沿過點P的直線將矩形折疊，使點D落在AE上的點處，當是直角三角形時，PD的值為（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】B
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，
∵CD＝4，tan∠AEB，
∴BE＝3，
在Rt△ABE中，AE，
∵E是BC的中點，
∴AD＝6，
由折疊可知，PD＝PD'，
設(shè)PD＝x，則PD'＝x，AP＝6﹣x，
當△APD'是直角三角形時，
①當∠AD'P＝90°時，
∴∠AD'P＝∠B＝90°，
∵AD∥BC，∴∠PAD'＝∠AEB，
∴△ABE∽△PD'A，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
②當∠APD'＝90°時，
∴∠APD'＝∠B＝90°，
∵∠PAE＝∠AEB，
∴△APD'∽△EBA，
∴，
∴，
∴x，
∴PD；
綜上所述：當△APD'是直角三角形時，PD的值為或；
故選：B．
【變式8-3】（2022秋?椒江區(qū)校級月考）【推理】
如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．
（1）求證：．
【運用】
（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，，求線段DE的長．
【拓展】
（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，兩點，若，，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）或
【詳解】（1）如圖，由折疊得到，
，
．
又四邊形ABCD是正方形，
，
，
，
又 正方形
，
．
（2）如圖，連接，
由（1）得，
，
由折疊得，，
．
四邊形是正方形，
，
，
又，
，
．
，，
，．
，
，
（舍去）．
（3）如圖，連結(jié)HE，
由已知可設(shè)，，可令，
①當點H在D點左邊時，如圖，同（2）可得，，
，
由折疊得，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
（舍去）．
②當點在點右邊時，如圖，
同理得，
，同理可得，
可得，
，
，
，
（舍去）．
．

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