目標(biāo)導(dǎo)航
知識精講
知識點01 弧長公式
1.在半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：；
2.n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)
【微點撥】
（1）對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；
（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；
（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
【即學(xué)即練1】已知圓心角度數(shù)為60°，半徑為30，則這個圓心角所對的弧長為（ ）
A．20πB．15πC．10πD．5π
【答案】C
【解析】解：圓心角是60°，半徑為30的扇形的弧長是＝10π．
故選：C
知識點02 扇形面積公式
1.扇形的定義 ：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.
2.扇形面積公式 ：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：
3.n°的圓心角所對的扇形面積公式：
【即學(xué)即練2】如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓．若⊙O的半徑為5，則半徑OA，OB與圍成的扇形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓．
∴∠AOB=
∴OB與圍成的扇形的面積是
故選B．
能力拓展
考法01 弧長的計算
【典例1】如圖，在Rt△ABC中，，點O是AB邊上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AC邊相切于點D，與邊AB、BC分別相交于點E、F，連接DF、OF．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】(1)解：連結(jié)OD，
∵AC與半圓相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)解：在Rt△ABC中，，，
∴，
設(shè)的半徑為r，則，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴，，，
∴．
考法02 扇形面積的有關(guān)計算
【典例2】如圖，⊙O的圓心O在△ABC的邊AC上，AC與⊙O分別交于C，D兩點，⊙O與邊AB相切，且切點恰為點B．
（1）求證：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，⊙O的半徑為，求圖中陰影部分的面積．（不求近似值）
【答案】（1）∠A＋2∠C＝90°；（2）
【解析】證明：（1）連接OB.
∵OB＝OC
∴∠AOB＝2∠C
∵AB且⊙O于B
∴∠ABO＝90°
∴∠A＋2∠C＝90°
（2）解：連接，作于E，則，
在中，，
，
，
是等邊三角形，
，，
是直徑，
，
，
，，
，
圖中陰影部分的面積
．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．半徑為6的圓中，一個扇形的圓心角為60°，則該扇形的面積為（ ）
A．6πB．3πC．2πD．π
【答案】A
【解析】解：S．
故選：A．
2．制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料．試計算如圖所示的管道的展直長度，即的長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：，所以
的長
．
因此，管道的展直長度約為．
故選：D
3．已知，在圓中圓心角度數(shù)為45°，半徑為10，則這個圓心角所對的扇形面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：在圓中圓心角度數(shù)為45°，半徑為10，則這個圓心角所對的扇形面積為：，
故選：D．
4．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：由勾股定理得，OC＝OD＝＝2，
則OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
∵四邊形OACB是正方形，
∴∠COB＝45°，
∴，，，
陰影部分的面積為
故選：C．
5．若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為___________．
【答案】π
【解析】解：∵扇形的圓心角為120°，半徑為，
∴它的弧長為：
故答案為：
6．已知圓弧的度數(shù)為，弧長為，則圓弧的半徑為______
【答案】18
【解析】∵圓弧的度數(shù)為，弧長為，
又∵，
∴，
解得，
故答案為：18．
7．已知圓弧的半徑為24，所對的圓心角為60°，則此圓心角所對的弧長為_____（結(jié)果可保留π）．
【答案】8π
【解析】解：圓弧的半徑為24，所對的圓心角為60°，
則此圓心角所對的弧長，
故答案為：8π．
8．在半徑為3的圓中，圓心角為20°的扇形面積是_______．
【答案】
【解析】扇形面積==
故答案為：．
9．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．
【答案】8π
【解析】解：=．
故答案為：．
10．如圖，在半徑為6的中，點是的中點，與相交于點，，圖中陰影部分面積是_________．
【答案】
【解析】解：如圖，連接OA，OB
∵點C為的中點
∴
∵CD=3
∴OD=6-3=3
在中，sin=
∴
∵為等腰三角形
∴
由勾股定理可得=
∴AB=
∴

．
故答案為：．
題組B 能力提升練
1．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以點B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點E，以點C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點F，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．4π﹣8B．8π﹣8C．8π﹣16D．16π﹣16
【答案】C
【解析】過點A作AD⊥BC交于點D，如圖所示，
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴點D為BC中點，，∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=4，
∴= = ，
故選：C．
2．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，半徑為6，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（ ）
A．4，B．3，πC．2，D．3，2π
【答案】D
【解析】解：連接、，
六邊形為正六邊形，
，
，
為等邊三角形，
，
，
，
的長為．
故選：D．
3．如圖，以邊長為2的等邊△ABC頂點A為圓心、一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊相切，分別交AB，AC于D，E，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】過點A作AF⊥BC，交BC于點F．
∵△ABC是等邊三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故選：D．
4．如圖，在中，，以為直徑的交邊于D，E兩點，，則的長是____________．
【答案】
【解析】連接OE，OD，
∵，OB=OD，OA=OE，
∴∠B=∠ODB =65°，∠A=∠OEA =50°，
∴∠BOD =50°，∠AOE =80°，
∴∠DOE=50°，半徑為1，
的長是．
故答案為：．
5．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，為半徑的扇形（鐵絲的粗細(xì)忽略不計），則所得扇形的面積是_____________．
【答案】1
【解析】解：根據(jù)圖象可得：AB=AD=1，
，
∴，
故答案為：1．
6．在⊙O中，OA=2，∠C=45°，則圖中陰影部分的面積為_______
【答案】
【解析】，
，
，
，
圖中陰影部分的面積為，
故答案為：．
7．如圖，已知矩形中，，．分別以，為圓心，為半徑畫弧，兩弧分別交對角線于點，，則圖中陰影部分的面積為________（用含的式子表示）
【答案】4π
【解析】∵S△ABD=5π×8÷2=20π；設(shè),
S扇形BAE=；S扇形DFM=；
∴陰影面積=20π-=20π-16π=4π．
故答案為：4π．
8．如圖，AB=4cm，∠ACB=60°．
(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，求扇形AOB的面積．
【答案】(1)見解析
(2)扇形AOB的面積為cm2．
【解析】(1)解：如圖，⊙O即為所求．
；
(2)解：連接OA，OB，設(shè)EF與AB交于點G．
∵∠AOB=2∠ACB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵AB=4cm，
∴AG=GB=2cm，
∴AO=4(cm)，
∴扇形AOB的面積=(cm2)．
9．如圖，四邊形內(nèi)接于，且為直徑，，過A點的的垂線交的延長線于點E．
(1)求證：；
(2)如果，求圖中陰影的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】(1)證明：∵BD是直徑，
∴∠BAD=90°．
∵過A點的的垂線交的延長線于點E，
∴∠EAC=90°．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC-∠BAC=∠BAD-∠BAC，即∠EAB=∠CAD．
∵∠ADB和∠ACB都是所對的圓周角，∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°．
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=45°．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠ADC．
∴．
∴BE=CD．
(2)解：如下圖所示，連接OA．
∵AB=AD，O為BD中點，
∴AO⊥BD．
∴∠AOD=90°．
∵，
∴．
∴．
∴OA=OD=1．
∴，S扇形OAD．
∴S陰=S扇形OAD-=．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如圖，在等腰直角中，點E在OA上，以點O為圓心、OE為半徑作圓弧交OB于點F，連接EF，已知陰影部分面積為，則EF的長度為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意可得：OE=OF，∠O=90°，
設(shè)OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故選：C．
2．如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊，分別以點A，B，C為圓心，以長為半徑作，，，三弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．如果一個曲邊三角形的周長為，則此曲邊三角形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：設(shè)等邊三角形ABC的邊長為r，
解得，即正三角形的邊長為2，
此曲邊三角形的面積為
故選A
3．如圖，正方形ABCD的邊長為1，和都是以1為半徑的圓弧，兩部分陰影的面積分別記為和，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD=1，∠BCD=90°，
∴，
設(shè)兩塊空白部分的面積為x，
則，．
∴．
故選：A．
4．如圖，在中，，，AO是的中線，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，分別交AB，AC于點D，E，交BC于點F，G．則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：連結(jié)OD，OE，
在中，∵， ，AO是的中線，
∴OA平分∠BAC，OA⊥BC，∠B=∠C=，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∵OD=OA=OE，
∴△ADO與△AEO均為等邊三角形，
∴AD=OD=OE=AE，∠AOD=∠AOE=60°，
∴∠DOB=90°-∠AOD=30°，∠EOC=90°-∠AOE=30°，
∴∠B=∠DOB=∠C=∠EOC=30°，
∴BD=OD=CE=OE=OA=，
∴BO=CO=，
∴S陰影=2（S△ABO-S△ADO-S扇形ODF）=2
=．
故選：A．
5．新定義：在中，點D、E分別是邊的中點，如果上的所有點都在的內(nèi)部或邊上，那么稱為的中內(nèi)?。阎谥?，，，點D、E分別是邊的中點，如果是的中內(nèi)弧，那么長度的最大值等于_________．
【答案】
【解析】解：由題知，在△ABC內(nèi)部以DE為直徑的半圓弧，就是△ABC的最長中內(nèi)弧，
∵點D、E分別是邊的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∵∠A=90°，，
∴，
∴長度，
故答案為：π．
6．如圖，△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝2，以 AB為直徑畫半圓；以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，則陰影部分面積為 ______．（結(jié)果保留π）
【答案】
【解析】解：如圖，以為直徑的半圓圓心是，連接，過點作于，
在中，，，，
，，，
，，是等邊三角形，
，

．
故答案為：．
7．如圖1，扇形AOB中，，點C，D分別為OA，OB的中點，連接CD，AD，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖2），若，則圖2中弧AB，線段AD，BD構(gòu)成的陰影部分的面積為__________．
【答案】
【解析】解：依題意得：，
過D作DE⊥AO于E，
∴，
∴，，
∴，
∴
=
=
=．
故答案為：．
8．如圖，△ABC內(nèi)接于，AB為的直徑，點D為上的一點，且，，則劣弧的長為______（結(jié)果保留）．
【答案】
【解析】解：連接OD，如圖，
∵AB為的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠ACD=75°，
∴∠AOD=150°，
∵，
∴OA=2，
∴．
故答案為：．
9．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC切⊙O于點A，BC交⊙O于點D，∠C＝50°．
(1)求∠B的度數(shù)；
(2)求的長．
【答案】(1)∠B＝40°
(2)的長為
【解析】(1)∵AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝40°．
(2)如圖，連結(jié)OD，
∵∠AOD＝2∠B＝2×40°＝80°，⊙O的半徑為6，
∴的長為＝π，
10．如圖，已知AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點，OE⊥AB、BC⊥AD，垂足分別為E、F．
(1)求證：2OE=CD；
(2)若∠BAD+∠EOF=150°，AD=4，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析；(2)2π-
【解析】(1)證明：連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，B為圓上的點，
∴，
∵OE⊥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直徑，即O為AD的中點，
∴E為AB的中點，
∴．
∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點， BC⊥AD，
∴，
∴，即．
(2)解：∵，
又∵∠BAD+∠EOF=150°，
∴，即．
∵，
∴，
∴，．
如圖，連接BD，
∵AD=4，AD是⊙O的直徑，，
∴．
同理，，，，
∴，．
∵AD是⊙O的直徑，B、C為圓上的點， BC⊥AD，
∴．
∵AD=4，，
∴．
，
，
，
∴．
11．如圖，是的直徑，是的切線，交于另一點，且
(1)求證：；
(2)若為的中點，，連接，求的長及陰影部分的面積．
【答案】(1)45°
(2)的長為；陰影部分面積為
【解析】(1)解：連接，∵是的直徑，
∴，
又∵，
∴，
∵是的切線，
∴，
∴；
(2)過點作于點，連接，，
∵，，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴，


∴的長為；
12．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在線段AB的延長線上，，．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑4，求BD與兩條線段BC，CD圍成的陰影部分面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【解析】(1)證明：連接OD，BD．∵OA＝OD，∠DAB＝30°，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°．
∴∠BOD＝∠DAB＋∠ODA＝60°．
∵OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形．
∴BD＝OB，∠OBD＝∠ODB＝∠DOB＝60°．
∵OB＝BC，
∴BD＝BC．
∴∠OBD＝∠BDC＋∠BCD＝2∠BDC＝60°．
∴∠BDC＝30°．
∴∠ODC＝∠ODB＋∠BDC＝90°．
即OD⊥DC于點D．又∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線．
(2)∵⊙O的半徑為4，
∴OB＝BC＝OD＝4．
∴OC＝8．
由（1）證得∠ODC＝90°，∠BOD＝60°．
∴在Rt△DCO中，．
∴．
∴．
∴陰影部分的面積．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
會計算圓的弧長、扇形的面積
1.掌握弧長的計算公式，并運用弧長公式計算弧長。
2.掌握扇形的面積公式，并能夠運用扇形面積公式計算扇形面積。

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