期末專題復(fù)習(xí)03：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系-2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)（蘇科版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

根與系數(shù)考察比較靈活，月考，期中期末考試都是常考題，中考也是重點(diǎn)考察內(nèi)容，考察的難度經(jīng)常為中等題和難題的形式出現(xiàn)，也就要求學(xué)生對(duì)根與系數(shù)要掌握扎實(shí)的同時(shí)學(xué)會(huì)靈活變通，比如復(fù)雜代數(shù)式如何變形成跟韋達(dá)定理相關(guān)的代數(shù)式等，所以遇到比較復(fù)雜的情況，一定是想辦法變形，找與韋達(dá)定理得關(guān)系，比如：，這樣就找到了與韋達(dá)定理之間的關(guān)系
（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問(wèn)題：
①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．
②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．
③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．
④判斷兩根的符號(hào)．
⑤求作新方程．
⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問(wèn)題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．
知識(shí)點(diǎn)一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)應(yīng)用
根與系數(shù)的關(guān)系
（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=-p，x1x2=q，反過(guò)來(lái)可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問(wèn)題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=? ba，x1x2=ca
考點(diǎn)一：韋達(dá)定理基礎(chǔ)應(yīng)用
1．（2022?鹽城一模）設(shè)α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的兩個(gè)根，則α?β的值是（）
A．5B．﹣5C．99D．﹣99
【答案】D
【難度】基礎(chǔ)題
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單根與系數(shù)關(guān)系
【易錯(cuò)點(diǎn)】韋達(dá)定理公式
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值即可．
【詳情解析】解：∵α，β是一元二次方程x2+5x﹣99＝0的兩個(gè)根，
∴α?β＝﹣99，
故選：D．
【提優(yōu)突破】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系
2．（2022?秦淮區(qū)二模）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，則關(guān)于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是（）
A．y1＝4，y2＝﹣4B．y1＝2，y2＝﹣6C．y1＝4，y2＝﹣6D．y1＝2，y2＝﹣4
【答案】B
【難度】中等題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理、轉(zhuǎn)化思想
【易錯(cuò)點(diǎn)】轉(zhuǎn)化思想
【分析】設(shè)t＝y(tǒng)+1，則原方程可化為at2+bt+c＝0，根據(jù)關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，得到t1＝3，t2＝﹣5，于是得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)t＝y(tǒng)+1，
則原方程可化為at2+bt+c＝0，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，
∴t1＝3，t2＝﹣5，
∴y+1＝3或y+1＝﹣5，
解得y1＝2，y2＝﹣6．
故選：B．
【提優(yōu)突破】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想比較關(guān)鍵
3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2?2x?m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論中不一定正確的是（）
A．x1+x2>0B．x1?x20時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出x1+x2，x1x2的值，分析后即可判斷A項(xiàng)，B項(xiàng)是否符合題意；再結(jié)合判別式，分析后即可判斷C項(xiàng)，D項(xiàng)是否符合題意．
【詳情解析】解：A、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=2>0，結(jié)論A正確，不符合題意；
B、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1x2=?m2≤0，結(jié)論B不一定正確，符合題意；
C、根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ=4+4m2>0，由此即可得出x1≠x2，結(jié)論C正確，不符合題意；
D、由x1x2=?m2≤0，故方程的根有可能為0，結(jié)論D正確，不符合題意；
故選：B．
【提優(yōu)突破】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.
4．（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若兩實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，且，求m的值．
【答案】m＞﹣1，m的值為1
【難度】基礎(chǔ)題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形
【易錯(cuò)點(diǎn)】當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【分析】（1）根據(jù)題意可得Δ＞0，繼而求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且，可得方程m2+2m﹣3＝0，解關(guān)于m的方程求得答案．
【詳情解析】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣m，
∵，
∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值為1．
知識(shí)點(diǎn)一：韋達(dá)定理與復(fù)雜代數(shù)式
注意：這類的考察比較靈活，所以要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，找與韋達(dá)定理得關(guān)系
常見(jiàn)類型：1、
考點(diǎn)二：韋達(dá)定理與復(fù)雜代數(shù)式
1．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）如果x、y是兩個(gè)實(shí)數(shù)（xy≠1）且3x2?2023x+2=0，2y2?2023y+3=0，則x2y+xy2的值等于（）
A．20233B．20232C．40469D．2023
【答案】C
【難度】基礎(chǔ)題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形，構(gòu)建方程思想
【易錯(cuò)點(diǎn)】新方程思想轉(zhuǎn)化
【分析】由2y2?2023y+3=0，可得y≠0，可得3×1y2?2023×1y+2=0，可得x，1y是方程3m2?2023m+2=0的兩個(gè)根，x+1y=20233，xy=23，從而可得答案．
【詳情解析】解：∵2y2?2023y+3=0，
∴y≠0，
∴3×1y2?2023×1y+2=0，而3x2?2023x+2=0，x?y≠1，
∴x，1y是方程3m2?2023m+2=0的兩個(gè)根，
∴x+1y=20233，xy=23，
∴x2y+xy2=xyx+1y=23×20233=40469；
故選C
【提優(yōu)突破】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的構(gòu)建一元二次方程的解本題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，那么x1+x2=?ba，x1x2=ca，這一結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，它的應(yīng)用很多，請(qǐng)完成下列各題：
(1)已知a、b是方程x2+15x+5=0的兩根，求ab+ba的值．
(2)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是關(guān)于x，y的方程組x2?y+k=0x?y=1的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得y1y2?x1x2?x2x1=2？若存在，求出該式的k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)43；
(2)存在，k=?2．
【難度】中等題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形，二元一次方程
【易錯(cuò)點(diǎn)】復(fù)雜代數(shù)式變形
【分析】（1）根據(jù)a，b是方程x2+15x+5=0的兩根，求出a+b，ab的值，即可求出ab+ba的值；
（2）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2?x1x2?x2x1=2，即可求出k的值．
【詳情解析】（1）解：∵a，b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=?15，ab=5，
∴ab+ba=a+b2?2abab=?152?2×55=43，
∴ab+ba=43；
（2）解：存在，當(dāng)k=?2時(shí)，y1y2?x1x2?x2x1=2．理由如下：
∵x2?y+k=0①x?y=1②，
由①得：y=x2+k，
由②得：y=x?1，
∴x2+k=x?1，即x2?x+k+1=0，
由題意思可知，x1，x2是方程x2?x+k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴?12?4k+1>0x1+x2=1x1x2=k+1，
則kβ）是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，s1=α+β，s2=α2+β2，…，sn=αn+βn．
(1)直接寫出s1，s2的值：s1= ，s2= ；
(2)經(jīng)計(jì)算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當(dāng)n≥3時(shí)，請(qǐng)猜想Sn，Sn?1，Sn?2之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．
【答案】(1)1，3
(2)sn=sn?1+sn?2，見(jiàn)解析
【難度】難題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形，
【易錯(cuò)點(diǎn)】新方程思想轉(zhuǎn)化、復(fù)雜代數(shù)式變形
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合完全平方公式的變形解答即可；
（2）根據(jù)根的定義可得α2?α?1=0，進(jìn)而可得αn?αn?1?αn?2=0①，同理可得βn?βn?1?βn?2=0②，兩式相加并整理即得結(jié)論．
【詳情解析】（1）∵α，β（α>β）是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴s1=α+β=1，α?β=?1，
∴s2=α2+β2=α+β2?2αβ=1??2=3．
故答案為：1，3；
（2）猜想：sn=sn?1+sn?2．
證明：根據(jù)根的定義，α2?α?1=0，
兩邊都乘以αn?2，得 αn?αn?1?αn?2=0①，
同理，βn?βn?1?βn?2=0②，
①+②，得（αn+βn）?（αn?1+βn?1）?（αn?2+βn?2）=0，
因?yàn)閟n=αn+βn，sn?1=αn?1+βn?1，sn?2=αn?2+βn?2，
所以sn?sn?1?sn?2=0，即sn=sn?1+sn?2．
【提優(yōu)突破】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解，正確變形、掌握求解的方法是關(guān)鍵．
4．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市科利華中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?k+4x+4k=0．
(1)求證：無(wú)論k為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，滿足1x1+1x2=34，求k的值．
【答案】(1)見(jiàn)詳情解析
(2)k=2
【難度】中等題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形
【易錯(cuò)點(diǎn)】復(fù)雜代數(shù)式變形
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，先求出△，若△≥0，則此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，先求出x1＋x2和x1x2的值，將1x1+1x2=34 整理成x1+x2x1x2=34，然后將x1＋x2，x1x2的值代入即可求出k的值.
【詳情解析】（1）證明：∵a=1，b=?（k+4），c=4k
∴△＝b2?4ac
=?（k＋4）2?4×1×4k
=k2＋8k＋16?16k
=k2?8k+16
=(k?4)2
∵無(wú)論k為任何實(shí)數(shù)時(shí)(k?4)2≥0，即△≥0
∴無(wú)論k為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2=k＋4，x1x2=4k
由 1x1+1x2=34 得
x1+x2x1x2=34
∴k+44k=34
得k=2
【提優(yōu)突破】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.
知識(shí)點(diǎn)三：韋達(dá)定理與新定義/閱讀材料
新定義與閱讀材料重點(diǎn)是理解新定義或者閱讀材料的意思，其次因?yàn)槎x解題。
一般情況：第一問(wèn)屬于簡(jiǎn)單的應(yīng)用，只要學(xué)會(huì)按照定義或者要求解題就行
第二問(wèn)屬于靈活變通，需要我們理解定義并應(yīng)用，同時(shí)要考慮到其他的數(shù)學(xué)知識(shí)解題
考點(diǎn)三：韋達(dá)定理與新定義/閱讀材料
1．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）閱讀理解：
材料一：若三個(gè)非零實(shí)數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.
材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
問(wèn)題解決：
（1）請(qǐng)你寫出三個(gè)能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實(shí)數(shù) ；
（2）若x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，x3是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解．求證：x1，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；
（3）若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，且三點(diǎn)的縱坐標(biāo)恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】（1）65，2，3（答案不唯一）；（2）見(jiàn)解析；（3）m=﹣4或﹣2或2．
【難度】難題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形、新定義理解、函數(shù)
【易錯(cuò)點(diǎn)】復(fù)雜代數(shù)式變形、新定義應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)“和諧三數(shù)組”的定義可以先寫出后2個(gè)數(shù)，取倒數(shù)求和后即可寫出第一個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出1x1+1x2，然后再求出1x3，只要滿足1x1+1x2=1x3即可；
（3）先求出三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3，然后由“和諧三數(shù)組”可得y1，y2，y3之間的關(guān)系，進(jìn)而可得關(guān)于m的方程，解方程即得結(jié)果．
【詳情解析】解：（1）∵12+13=56，
∴65，2，3是“和諧三數(shù)組”；
故答案為：65，2，3（答案不唯一）；
（2）證明：∵x1，x2是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，
∴x1+x2=?ba，x1?x2=ca，
∴1x1+1x2=x1+x2x1?x2=?baca=?bc，
∵x3是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解，
∴x3=?cb，∴1x3=?bc，
∴1x1+1x2=1x3，
∴x1 ，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；
（3）∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個(gè)點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，
∴y1=4m，y2=4m+1，y3=4m+3，
∵三點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1，y2，y3恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，
∴1y1=1y2+1y3或1y2=1y1+1y3或1y3=1y1+1y2，
即m4=m+14+m+34或m+14=m4+m+34或m+34=m4+m+14，
解得：m=﹣4或﹣2或2．
【提優(yōu)突破】本題是新定義試題，主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和對(duì)新知“和諧三數(shù)組”的理解與運(yùn)用，正確理解題意、熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：對(duì)于非零實(shí)數(shù)a，b，若關(guān)于x的分式x?ax?bx的值為零，則解得x1=a，x2=b．又因?yàn)閤?ax?bx=x2?a+bx+abx=x+abx?a+b，所以關(guān)于x的方程x+abx=a+b的解為x1=a，x2=b．
(1)理解應(yīng)用：方程x2+2x=3+23的解為：x1=______，x2=______；
(2)知識(shí)遷移：若關(guān)于x的方程x+3x=5的解為x1=a，x2=b，求a2+b2的值；
(3)拓展提升：若關(guān)于x的方程4x?1=k?x的解為x1，x2，且x1x2=1，求k的值．
【答案】(1)3，23
(2)a2+b2=19
(3)k=?3
【難度】難題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形、新定義理解、函數(shù)
【易錯(cuò)點(diǎn)】復(fù)雜代數(shù)式變形、新定義應(yīng)用
【分析】（1）類比題目中的例子可得x=3或x=23；
（2）由題意可得a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得a2+b2=a+b2?2ab=19；
（3）方程變形為x2?k+1x+4+k=0，根據(jù)x1x2=1，得方程，求解即可．
【詳情解析】（1）解：∵x+abx=a+b的解為x1=a，x2=b，
∴x2+2x=x+2x=3+23的解為x=3或x=23，
故答案為：3，23；
（2）解：∵x+3x=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=a+b2?2ab=25?6=19；
（3）解：4x?1=k?x可化為x2?k+1x+4+k=0，
∵x1x2=1，
∴4+k=1，
∴k=?3．
【提優(yōu)突破】本題考查分式方程的解，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，靈活求分式方程的解，并結(jié)合完全平方公式對(duì)代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料，解答問(wèn)題：
材料一：已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2+3a?1=0，b2+3b?1=0，則可將a，b看作一元二次方程x2+3x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
材料二：已知實(shí)數(shù)a，bab≠1滿足2a2?3a+1=0，b2?3b+2=0，將b2?3b+2=0兩邊同除以b2，得1?3b+2b2=0，即21b2?31b+1=0，則可將a，1b看作一元二次方程2x2?3x+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
請(qǐng)根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問(wèn)題：
(1)已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b2?7b?2=0，求2a+2b?3ab的值；
(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a2?5a+1=0，b2?5b+3=0，且ab≠1，求3ab+3ab+4a+1的值．
【答案】(1)20
(2)53
【難度】難題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理，代數(shù)式的變形、材料理解、函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想
【易錯(cuò)點(diǎn)】復(fù)雜代數(shù)式變形、材料應(yīng)用、轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；
（2）根據(jù)材料二，采用換元法解一元二次方程，即可求解．
【詳情解析】（1）解：∵實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b2?7b?2=0，
∴可將a，b看作方程x2?7x?2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+b=7，ab=?2，
∴2a+2b?3ab
=2a+b?3ab
=2×7?3×?2
=14+6
=20；
（2）解：在方程b2?5b+3=0的兩邊同時(shí)除以b2得31b2?51b+1=0，
又∵實(shí)數(shù)a滿足3a2?5a+1=0，且ab≠1，
∴可將a，1b看作方程3x2?5x+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+1b=53，ab=13，
∴3ab+3ab+4a+1=3a+1ba+1b+4ab=3×5353+4×13=53．
【提優(yōu)突破】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，換元法解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問(wèn)題．
5.【例2】（2022春?宜秀區(qū)校級(jí)月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問(wèn)題：
（1）通過(guò)計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
【難度】難題
【考點(diǎn)】韋達(dá)定理、新定義理解、轉(zhuǎn)化思想
【易錯(cuò)點(diǎn)】新定義應(yīng)用、轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義判斷即可；
（2）根據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到＝1，整理即可得到b2＝a2+4a．
【解答】解：（1）①設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，
∴|x1﹣x2|＝＝＝6，
∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；
②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴|x1﹣x2|＝＝＝1，
∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；
（2）x2+2ax＝0，
因式分解得：x（x+2a）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2a，
∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，
∴2a＝±1，即a＝±；
（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣，x1?x2＝，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴|x1﹣x2|＝＝1，即＝1，
∴b2＝a2+4a．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多