判別式及根與系數(shù)的關系1．已知：關于x的方程x2＋2kx＋k2﹣1＝0（1）試說明無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）如果方程有一個根為3，試求2k2＋12k＋2019的值．         2．已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當時，用配方法解此一元二次方程．         3．已知關于x的一元二次方程．（1）若這個一元二次方程有實數(shù)根，求m的取值范圍．（2）若方程的兩個實數(shù)根，，滿足，求m的值．          4．關于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一根小于1，求的取值范圍．         5．已知關于的一元二次方程．（1）求證：方程總有實數(shù)根（2）若方程的一個根為1，求方程的另一個根．          6．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若為不大于的整數(shù)，且方程的根為整數(shù)，求滿足條件的的值及對應的方程的根．           7．已知關于一元二次方程有兩個實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若滿足，求m的值．           8．已知，是關于的一元二次方程的兩實數(shù)根．（1）若方程有兩個相等實數(shù)根，求的值．（2）已知等腰的一邊長為7，若，恰好是另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長．           9．關于的一元二次方程的實數(shù)解是和．（1）求的取值范圍；（2）如果且為整數(shù)，求的值．        10．己知關于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根．          11．已知△ABC的兩邊AB、AC （AB＜AC）的長是關于x的一元二次方程x2﹣（2k＋1）x＋k2＋k＝0的兩個實數(shù)根，第三邊長為5（1）當k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）當k為何值時，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周長．          12．已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若方程的兩實數(shù)根，.滿是，求的值         13．已知關于的一元二次方程．其中分別為三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由．         14．關于x的一元二次方程x2-(k-3)x-2k+2=0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩根分別為x1、x2，且x1+x2=-6，求方程的兩根．         15．已知關于x的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，當m為取值范圍內的最小整數(shù)時，求此方程的根．            16．已知關于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍  （2）若兩實數(shù)根分別為x1和x2，且，求m的值．          17．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）當取滿足條件的最大整數(shù)時，求方程的根．           18．已知關于的方程有兩個實數(shù)根，，（1）求的取值范圍；（2）當兩個實數(shù)根，，兩個實數(shù)根，，滿足時．求實數(shù)的值．         19．已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值及方程的根．           20．已知關于x的方程x2＋kx－2＝0．（1）求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為2，求它的另一個根．          21．已知關于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b-a）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．（1）如果是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．          22．已知關于x的方程x2－3x－m＋3＝0總有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若它的一個實數(shù)根是2，求m的值和另一個實數(shù)根．         23．設a、b、c是△ABC的三邊，關于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，且方程3cx+2b＝2a的根為0．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）若a、b為方程x2+mx﹣3m＝0的兩根，求m的值．         24．已知關于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得x12﹣x22＝0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．           25．已知關于x的一元二次方程（m為常數(shù)）．求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根．         26．已知關于x的方程x2-3x+m=0有兩個不相等實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m是符合條件的最大整數(shù)，求此時一元二次方程的解．         27．已知關于x的一元二次方程無實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）當k取最小非負整數(shù)值時，求該方程的解；（3）求方程兩根的和與積（用k表示）．            28．已知關于的一元二次方程.（1）求證：該一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個根是一個矩形的一邊長和對角線的長，且矩形的另一邊長為3，試求的值．         29．已知：關于的一元二次方程．  （1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若該方程有一個根是1，求另一個根．         30．關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若，請用配方法求該方程的根．            31．關于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個實數(shù)根為負數(shù)，求正整數(shù)m的值．          32．對于實數(shù)m，n定義一種新運算“*”為：m*n=m2+mn，如3*2=32+3×2=15．（1）若x*3=0，求x的值；（2）如果關于x的方程*=－5有兩個相等的實數(shù)根，求a的值．          33．已知關于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．（1）若該方程有一根為2，求a的值及方程的另一根；（2）當a為何值時，方程僅有一個根或是相同的根？求出此時a的值及方程的根．          34．已知關于x的方程x2+2kx+k2-1=0（1）試說明無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程有一個根為3，試求2k2+12k+2021的值．          35．已知關于x的方程(x－m)2－(x－m)＝0．（1）求證：無論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的兩個根互為倒數(shù)，求m的值．          36．已知關于x的方程（1）試說明無論取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有一個根為3，求的值．          37．閱讀理解：法國數(shù)學家韋達在研究一元二次方程時有一項重大發(fā)現(xiàn)：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的兩個根分別是x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1x2＝，以上定理稱為韋達定理．例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的兩根分別為x1，x2，則：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝＝﹣請閱讀后，運用韋達定理完成以下問題：（1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的兩根分別為x1，x2，求x1+x2和x1x2的值．（2）已知方程x2+3x﹣5＝0的兩根分別為x1，x2，求的值．（3）當k取何值時，關于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)？        38．已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0．（1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一個根x2．（2）如果方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍．        39．已知：關于x的方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）設方程的兩個根為如果，求k的取值范圍．       40．已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22＝14，求k的值．          41．已知：關于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且x12+x22＝14，求m的值．          42．已知關于x的一元二次方程．（1）求證：對于任意實數(shù)m，方程都有實數(shù)根；（2）當m為何值時，方程的兩個根互為相反數(shù)？請說明理由．          43．已知x1和x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的兩個根，且x1+x2＝2+x1x2，求m的值．            44．已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在k使得成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．          45．已知關于x的方程 (k2+1)x2+(2k2+1)x+k2?1=0．（1）證明：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）是否存在實數(shù)k，使方程兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值，如不存在，說明理由．          46．已知關于x的一元二次方程x2＋（2m﹣3）x＋m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根α，β滿足＋＝1，求m的值．         47．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）設此方程的兩個根分別為，，若，求的值．         48．己知關于x的一元二次方程．（1）判斷該方程根的情況，并說明理由；（2）若、是方程的兩根，其和為正，且，求k的值；（3）若等腰三角形的一邊長為7，方程的兩根、恰好是該三角形的另兩條邊長，求這個三角形的周長．          49．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）如果，滿足不等式，且為整數(shù)，求的值．          50．已知關于x的一元二次方程x2－（2m＋1）x＋m2－4＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實數(shù)m的值．          51．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求實數(shù)的取值范圍．（2）如果方程的兩個實數(shù)根為、，且滿足等式，求的值．          52．關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣1=0，（1）求證：無論x取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．（2）若方程的兩根為x1、x2，是否存在這樣的k值，使方程的兩根的平方和為2，若存在，求出這樣的k值；若不存在，請說明理由．         53．已知關于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根、滿足，求的值．          54．已知關于x的一元二次方程，是否存在實數(shù)k，使得方程有兩根分別為且滿足，若有求出k的值；若沒有，請說明理由．           55．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．(1)求的取值范圍(2)若兩實數(shù)根分別為和，且求的值．            56．已知關于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設方程的兩實根分別為x1與x2，求代數(shù)式x1?x2﹣x12﹣x22的最大值． 
 

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