考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
考點一 已知一元二次方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求另一個解
例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關(guān)于x的方程有一個根是2，則另一個根是（ ）
A．6B．3C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇南京·二模）關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．
2．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為 _____．
考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
例題：（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（ ）
A．B．C．或3D．或3
2．（2022·四川瀘州·二模）已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個實數(shù)根，且，則a＝______．
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
例題：（2021·江西九江·九年級期中）若，是方程的兩個根，則的值為__________．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川眉山·中考真題）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．
2．（2022·全國·九年級）如果m、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式2n2﹣mn＋2m＋2021＝___．
考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
例題：（2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍．
(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值？若不存在，請說明理由．
2．（2022·湖北荊門·一模）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．
一、選擇題
1．（2022·寧夏固原·一模）已知方程的一個根是1，則它的另一個根是（ ）
A．1B．2C．D．3
2．（2022·江蘇·濱?？h第一初級中學(xué)三模）若、是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·二模）設(shè)方程兩個根為、，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·廣東汕頭·一模）若、是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A．6B．9C．12D．13
5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，且滿足，則的值為（ ）
A．4B．-4C．4或-2D．-4或2
二、填空題
6．（2022·山東濟南·二模）已知關(guān)于x的方程的一個根為，則它的另一個根為__________．
7．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．
8．（2022·山東·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）已知m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于___________．
9．（2022·四川眉山·九年級期中）設(shè)a、b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為__________．
10．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根分別為，．若，則m的值為______．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級）已知關(guān)于x的方程．
(1)k取什么值時，方程有兩個實數(shù)根；
(2)如果方程有兩個實數(shù)根，且，求k的值．
12．（2022·四川攀枝花·九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩根x1，x2，滿足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
13．（2022·福建泉州·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)如果是方程的兩個解，令，求w的最大值．
14．（2021·湖南湘西·九年級期中）已知關(guān)于x的方程
(1)求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
(2)若等腰三角形ABC的一邊長為，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
15．（2021·四川內(nèi)江·一模）已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若原方程的兩個實數(shù)根為、，且滿足，求的值．
專題03 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
考點一 已知一元二次方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求另一個解
考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
考點一 已知一元二次方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求另一個解
例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關(guān)于x的方程有一個根是2，則另一個根是（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由根和系數(shù)的關(guān)系即可求得方程的另一個根．
【詳解】
解：設(shè)另一個根為m，由根和系數(shù)的關(guān)系有：
解得
故選：B．
【點睛】
本題考查一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇南京·二模）關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
設(shè)方程的另一個根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．
【詳解】
解：設(shè)方程的另一個根為t，
根據(jù)題意得1×t=-2，解得t=-2．
故答案為：-2．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．
2．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為 _____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
設(shè)該方程的兩根為x1，x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和，結(jié)合“已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1”，即可得到答案．
【詳解】
設(shè)該方程的兩根為x1，x2，
則x1+x2＝﹣3，
∵該方程的一個根為1，
∴另一個根為：﹣3﹣1＝﹣4，
故答案為：﹣4．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，正確掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
例題：（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1和x2，且x1+x2＝4，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，
解得：m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（ ）
A．B．C．或3D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用根與系數(shù)的關(guān)系以及求解即可．
【詳解】
解：由題意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故選：A
【點睛】
本題考查根與系數(shù)的關(guān)系以及根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵是求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出或（舍去）．
2．（2022·四川瀘州·二模）已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個實數(shù)根，且，則a＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得．
【詳解】
解：由題意，此方程根的判別式，
解得，
是關(guān)于的一元二次方程兩個實數(shù)根，
，
，
，
，
解得或（舍去），
故答案為：2．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
例題：（2021·江西九江·九年級期中）若，是方程的兩個根，則的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【詳解】
解：∵，是方程的兩個根，
∴，，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川眉山·中考真題）設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．
【答案】10
【解析】
【分析】
由根與系數(shù)的關(guān)系，得到，，然后根據(jù)完全平方公式變形求值，即可得到答案．
【詳解】
解：根據(jù)題意，
∵，是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∴；
故答案為：10．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握得到，．
2．（2022·全國·九年級）如果m、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式2n2﹣mn＋2m＋2021＝___．
【答案】2032
【解析】
【分析】
由題意得m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，則2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，代入求解即可．
【詳解】
由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，
所以m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，
所以2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032；
故答案為：2032．
【點睛】
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是把所求代數(shù)式化成兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系式求值．
考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
例題：（2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍．
(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．
【答案】(1)k；
(2)k=3
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開代入計算即可得到k值．
(1)
解：∵一元二次方程有實數(shù)根．
∴?0，即32-4（k-2）0，
解得k
(2)
∵方程的兩個實數(shù)根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【點睛】
此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值？若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在；或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出m的范圍即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，把x1的值代入計算求出x2，進而求出m的值即可；
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，代入已知等式計算，判斷即可．
(1)
解：∵關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根，
∴，
解得；
(2)
解：∵，，，
∴，
∴，
解得；
(3)
解：存在，理由如下：∵，，，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
解得，．
【點睛】
此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式意義是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖北荊門·一模）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．
【答案】(1)見解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判別式判斷即可；
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方公式的變形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程，
，
∴無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)
解：依題意得，，，
∵，∴，
∴，即，
（3a+1）（a-1）=0，
解得，；
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，．
一、選擇題
1．（2022·寧夏固原·一模）已知方程的一個根是1，則它的另一個根是（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)兩根之積等于，即可得出關(guān)于x1的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)方程的另一個根為x1，根據(jù)題意得： =2，解得 x1=2．
故選:B．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢記一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·濱?？h第一初級中學(xué)三模）若、是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計算求值即可；
【詳解】
解：∵、是一元二次方程的兩根，
∴，
故選：D．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若、是一元二次方程的兩根，則，．
3．（2022·湖北省直轄縣級單位·二模）設(shè)方程兩個根為、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
，由韋達定理可知，，，代入即可求解．
【詳解】
由韋達定理可知，，，
則，
故選A．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練利用完全平方公式進行變形是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣東汕頭·一模）若、是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A．6B．9C．12D．13
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，再根據(jù)一元二次方程的解的意義得，即，再把代入計算即可．
【詳解】
∵、是一元二次方程的兩個根，
∴，，
∴，
∴
．
故選D．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的解的意義和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，且滿足，則的值為（ ）
A．4B．-4C．4或-2D．-4或2
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式及解一元二次方程可求出m的值，即可求解．
【詳解】
關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，
，
，
，即，
解得或，
，
，
故選：B．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式及解一元二次方程，如果方程的兩個實數(shù)根是，那么，；也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商．
二、填空題
6．（2022·山東濟南·二模）已知關(guān)于x的方程的一個根為，則它的另一個根為__________．
【答案】0
【解析】
【分析】
由于已知方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)，所以要求方程的另一根，可利用一元二次方程的兩根之和與系數(shù)的關(guān)系．
【詳解】
解：設(shè)a是方的另一個根，
則a+（-3）=-3，
即a=0．
故答案為：0．
【點睛】
此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)方程有解，即b2-4ac≥0時，設(shè)方程的解分別為x1，x2，則有．
7．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】
運用根與系數(shù)關(guān)系定理，具體化求解即可．
【詳解】
解：∵是關(guān)于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的兩個根，，
∴＝k，＝k﹣2，
∴＝1﹣2＝﹣1．
故答案為﹣1．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)三模）已知m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值等于___________．
【答案】2022
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的定義得到，得到，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出式子的值．
【詳解】
解：∵m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
即，
∴
故答案為：2022．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，根據(jù)題意得出，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系：，，是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·四川眉山·九年級期中）設(shè)a、b是方程的兩個實數(shù)根，則的值為__________．
【答案】2022
【解析】
【分析】
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b、ab的值，再把展開再整體代入即可求得結(jié)果．
【詳解】
∵a、b是方程的兩個實數(shù)根，
∴a+b=1，ab=2022，
∴，
故答案為：2022．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，多項式乘法，整體代入法求代數(shù)式的值等知識，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并用多項式乘法展開是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根分別為，．若，則m的值為______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，，代入求出即可．
【詳解】
∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，
∴，，
∵，
即有，
∴4-(m+1)=6，
解得：m=-3，
經(jīng)檢驗當(dāng)m=-3時，方程有兩個解，
故答案為-3．
【點睛】
本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)系式和是解此題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級）已知關(guān)于x的方程．
(1)k取什么值時，方程有兩個實數(shù)根；
(2)如果方程有兩個實數(shù)根，且，求k的值．
【答案】(1)k≥
(2)k=
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；
（2）分兩種情況討論：當(dāng)x1≥0時， x1=x2；當(dāng)x1＜0時，得x2=-x1，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式，即可求解．
(1)
解：△=[-（k+1）]2-4（k2+1）=2k-3，
∵當(dāng)△≥0，方程有兩個實數(shù)根，
∴2k-3≥0，解得∶k≥，
∴當(dāng)k≥時，方程有兩個實數(shù)根；
(2)
解∶由|x1|=x2，①當(dāng)x1≥0時， x1=x2，
∴方程有兩個相等實數(shù)根，
∴△=0，即2k-3=0，
∴k=．
又當(dāng)k=時，有x1=x2=＞0，
∴k=符合條件；
②當(dāng)x1＜0時，得x2=-x1，
∴x1+x2=0，
由根與系數(shù)關(guān)系得k+1=0，
∴k=-1，
由（1）知，與當(dāng)k≥矛盾，
∴k=-1舍去，
綜上可得，k=．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·四川攀枝花·九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩根x1，x2，滿足（x1+1）（x2+1）＝4，求k的值．
【答案】(1)k≥﹣3且k≠1
(2)2
【解析】
【分析】
（1）由方程有兩個實數(shù)根，結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，并使k﹣1≠0，即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再將它們代入（x1+1）（x2+1）＝4，即可求出k的值．
(1)
解：（1 ）∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有兩個實數(shù)根．
∴k﹣1≠0，?＝b2﹣4ac≥0，即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0，
∴k≥﹣3且k≠1．
(2)
解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
∵（x1+1）（x2+1）＝4，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝4，即﹣+1＝4，
整理，得：k﹣1＝1，
解得：k＝2，
經(jīng)檢驗，k＝2是方程的解，
∴k＝2．
∴k的值為2．
【點睛】
本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)關(guān)系列出方程或不等式．
13．（2022·福建泉州·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)如果是方程的兩個解，令，求w的最大值．
【答案】(1)
(2)8
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1＋x2＝3，x1?x2＝k＋1，結(jié)合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增減性可求w的最大值．
(1)
解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2?3x＋k＋1＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝b2?4ac＝（?3）2?4×1×（k＋1）≥0，
解得：k≤，
∴k的取值范圍為k≤；
(2)
∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?3x＋k＋1＝0的兩個解，
∴x1＋x2＝3，x1?x2＝k＋1．
∴w＝x1x22＋x12x2＋k＝x1x2（x1＋x2）＋k＝3（k＋1）＋k＝4k＋3，
∴k＝時，w的最大值為4×＋3＝5＋3＝8．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)Δ≥0時，方程有實數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合w＝x1x22＋x12x2＋k，根據(jù)增減性可求w的最大值．
14．（2021·湖南湘西·九年級期中）已知關(guān)于x的方程
(1)求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
(2)若等腰三角形ABC的一邊長為，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【答案】(1)證明見解析
(2)△ABC的周長為10
【解析】
【分析】
（1）由題意知，?，判斷?與0的大小關(guān)系，進而可證結(jié)論；
（2）由題意知，，分兩種情況求解：①當(dāng)邊長為底邊時，則，根據(jù)?，計算求解的值，然后判斷三邊關(guān)系是否能構(gòu)成等腰三角形，進而可求周長；②當(dāng)邊長為等腰三角形的腰時，則4是方程的根，將，代入一元二次方程得，計算求解的值，然后判斷三邊關(guān)系是否能構(gòu)成等腰三角形，進而可求周長．
(1)
證明：由題意知，?
∴?0，
∴不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根．
(2)
解：由題意知，，
①當(dāng)邊長為底邊時，則，
∴?，
∴，
∴，
∵，
∴不滿足三角形三邊的關(guān)系，舍去；
②當(dāng)邊長為等腰三角形的腰時，則4是方程的根，
將，代入一元二次方程得，
解得，
∴，，
∴此時，的三邊長為2，4，4，
∴，
∴此時的周長為10，
綜上所述，的周長為10．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的根的個數(shù)，一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程的解．
15．（2021·四川內(nèi)江·一模）已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若原方程的兩個實數(shù)根為、，且滿足，求的值．
【答案】(1)且
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到∴Δ=（1-2k）2-4k2>0且k2≠0，然后求出兩個不等式的公共部分即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，，加上k

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