2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式可得集合，進(jìn)而求交集即可.【詳解】解得：，所以，所以.故選：A2. 已知點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則“存在，使得”是“三點(diǎn)共線”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】充分性：由得，故，則，故三點(diǎn)共線，所以充分性成立，必要性：若三點(diǎn)共線，由共線向量定理可知，從而，所以，所以，所以必要性成立.綜上所述：”是“三點(diǎn)共線”的充要條件.故選：C3. 已知等比數(shù)列，則（    ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，所以，故，得.故選：B.4. 三角形的三邊分別為a，b，c，秦九韶公式和海倫公式，其中，是等價(jià)的，都是用來(lái)求三角形的面積．印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多在公元7世紀(jì)的一部論及天文的著作中，給出若四邊形的四邊分別為a，b，c，d，則，其中，為一組對(duì)角和的一半.已知四邊形四條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，則四邊形最大面積為（　　）A. 21 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得，由已知可推出，即可得出答案．【詳解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，∴，又易知，，則，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為.故選：D．5. 已知為第三象限角，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)關(guān)系即可求得，進(jìn)而代入原式即可求解.【詳解】由，且，解得：或，又因?yàn)?/span>為第三象限角，所以，，所以.所以.故選：B6. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)區(qū)間與極大值點(diǎn)，再令求得有唯一零點(diǎn)，從而排除選項(xiàng)BCD，而選項(xiàng)A的圖象滿(mǎn)足的性質(zhì)要求，由此得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)為，且，令，則，得，且，即在上有唯一大于的零點(diǎn).對(duì)于B，其圖象的極大值點(diǎn)為，矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，其圖象先減后增，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，其圖象有兩個(gè)零點(diǎn)，矛盾，故D錯(cuò)誤；對(duì)于A，其圖象滿(mǎn)足上述結(jié)論，又排除了BCD，故A正確.故選：A.7. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，點(diǎn)為外心，則（    ）A.  B.  C. 10 D. 20【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用垂徑定理得到，再利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】記的中點(diǎn)為，連結(jié)，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，為的中點(diǎn)，所以，則，所以.故選：C. 8. 設(shè)方程和的根分別為和，函數(shù)，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】方法一：先利用方程的根與圖象的交點(diǎn)的關(guān)系，及互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)系推得，由此得到，再由函數(shù)的單調(diào)性易得，構(gòu)造函數(shù)與，利用導(dǎo)數(shù)證得與，從而解出.【詳解】方法一：由得，由得，因?yàn)榉匠?/span>的根為，所以函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理：函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>與互為反函數(shù)，所以?xún)珊瘮?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，易知直線與直線互相垂直，所以兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，即的中點(diǎn)一定落在，亦即點(diǎn)為與的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，即，所以，故，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，而，，，則，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故，令，則，令，得，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，故，綜上：.故選：B.方法二：前面部分同方法一得，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，而，，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，下面比較的大小關(guān)系，設(shè)，，所以，故上遞增，，即有，亦即，綜上：.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 方程在區(qū)間上有解，則解可能為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AC【解析】【分析】先由輔助角公式得到，再逐一代入檢驗(yàn)選項(xiàng)中的解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10. 已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. 的最大值為C. 的最小值為 D. 【答案】ACD【解析】【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，故A正確，對(duì)于B, 數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，的最大值為，故B錯(cuò)，對(duì)于C, 由得的最小值為,即，故C正確，對(duì)于D, 故D正確.故選：ACD11. 已知，則下列不等式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)A用“1”的妙用進(jìn)行變形即可，對(duì)C利用柯西不等式可求最值，對(duì)BD利用基本不等式式及其變形即可得解.【詳解】由得：對(duì)A，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，時(shí)取等，兩邊平方可得，故B正確；對(duì)C，由柯西不等式可得：，取等，故C正確；對(duì)D，由，時(shí)取等，所以成立，故D正確；故選：BCD12. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. B. 若，則為直角三角形C. 若面積為1，則三條高乘積平方的最大值為D. 若為邊上一點(diǎn)，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)值即可得到；對(duì)于B，利用余弦定理得到，將代入解得，從而得到，由此得證；對(duì)于C，利用三角形面積公式得到，從而得到，利用基本不等式得證；對(duì)于D，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算得到，從而利用基本不等式“1”的妙用即可證得.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以，則由正弦定理得，則，因?yàn)?/span>，所以，故，又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理得，因?yàn)?/span>，即，代入上式得，整理得，解得或（舍去），則，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)邊上的高分別是，則由三角形面積公式易得，則，此時(shí)，得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，可得，整理得，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知，則與夾角的余弦值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先求出的坐標(biāo)和模長(zhǎng)，然后利用平面向量數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，又因?yàn)?/span>，，由平面向量的數(shù)量積公式可知：，所以與夾角的余弦值為，故答案為：.14. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】分段函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在兩個(gè)分段區(qū)間上都單調(diào)遞增，且在上的任意函數(shù)值要不大于上的最小值，據(jù)此解答即可.【詳解】因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，且，所以，解得或，由于上述條件要同時(shí)成立，所以或，故的取值范圍為.故答案：.15. 已知是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，為奇函數(shù)，則__________.【答案】68【解析】【分析】由和均是奇函數(shù)可推出，賦值可得，從而根據(jù)遞推公式可知.【詳解】而是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)，故有，且，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，而，所以，用替換得：，令，則有，即；令，則，則，即；令，則有；所以.；；； 所以.故答案為：6816. 若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為牛頓數(shù)列.如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則__________；數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】（1）由定義可得，從而，得出是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，從而可求得；（2）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，，則，，則有，則，所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，解得：.（2），所以.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求的對(duì)稱(chēng)軸.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)型，再求其最小正周期即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，求得的解析式，再求對(duì)稱(chēng)軸即可.【小問(wèn)1詳解】，故的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】的圖象先向右平移個(gè)單位得到的圖象；再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象；令，解得，故的對(duì)稱(chēng)軸為.18. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且有.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列的前11項(xiàng)和.【答案】（1）,    （2）748【解析】【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)已知條件列出方程，即可得到兩數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式求出的前11項(xiàng)和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由得：，，，解得：，【小問(wèn)2詳解】由（1）知， .19. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，可將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)得出結(jié)果；（2）由（1）可推得，.進(jìn)而根據(jù)余弦定理可推出，，求解即可得到.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?/span>，所以，又，∴，即，又且為三角形內(nèi)角，，則，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由正弦定理可得，根據(jù)余弦定理可知，，，聯(lián)立可得，.又，則，所以，則，則，又，則.20. 已知三次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）討論的單調(diào)性.【答案】（1）；    （2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，，利用直線點(diǎn)斜式即可得解；（2）求導(dǎo)可得，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論即得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，，整理可得曲線在點(diǎn)處切線方程為；【小問(wèn)2詳解】，若，由可得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，可得或，所以在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若，，在上為減函數(shù)，若，在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上可得：若， 在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)， 在 為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若，，在上為減函數(shù)，若，在 為減函數(shù)，在上為增函數(shù).21. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，且.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將題設(shè)條件變形得到，從而證得是等差數(shù)列，進(jìn)而求得；（2）由（1）得，分類(lèi)討論與兩種情況，利用放縮法與裂項(xiàng)法即可證得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，故，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，則，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；綜上：.22. 已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）證明：對(duì)任意；（3）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】（1）；    （2）見(jiàn)詳解；    （3）時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】（1）進(jìn)行求導(dǎo)可得，討論函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值滿(mǎn)足小于0即可；（2）取，時(shí)，成立，代入（）整理即可得證；（3）由導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性，結(jié)合圖象即可求得零點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】求導(dǎo)可得：，若，對(duì)任意的，，為減函數(shù)，所以，符合題意；若，考查函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)，有，符合題意；當(dāng)，即時(shí)，令可得：，，所以，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，不符題意，綜上可得：的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，成立，即時(shí)，恒有，即當(dāng)時(shí)，成立.取（），有，即，，所以，,將上述不等式相加可得：，整理可得，即成立；【小問(wèn)3詳解】由（），當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，又，，此時(shí)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得或（舍），此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，考查函數(shù)，若，即時(shí)，，所以為減函數(shù)，由，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)；若，時(shí)，有兩解，，，此時(shí)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由可知，所以極小值,極大值，由，取，，令，，令，則，由所以，所以為減函數(shù)，所以，所以減函數(shù)，所以，所以，可得，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，綜上可得：時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了恒成立問(wèn)題和不等式證明問(wèn)題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想，計(jì)算量較大，屬于難題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：（1）分類(lèi)討論解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要找到討論點(diǎn)；（2）用函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式時(shí)，注意取值和相消法的應(yīng)用；（3）在討論零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)注意零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用以及參數(shù)的替換.  

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