【期中真題】浙江省杭州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2022學(xué)年第一學(xué)期期中測試高三數(shù)學(xué)試題卷選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（）．A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用補集及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.故選：B.2. 已知復(fù)數(shù)，則等于（）．A. B. 0 C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用計算出，即可得到答案【詳解】因為，所以，，所以，故選：D3. 已知，，則在上投影向量為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用投影向量公式可求得在上投影向量.【詳解】由題意可知，在上投影向量為.故選：B.4. 正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為（）．A. 20 B. 28 C. 40 D. 50【答案】C【解析】【分析】將正整數(shù)2160分解質(zhì)因數(shù)，由此確定其正因數(shù)的個數(shù).【詳解】因為，所以其質(zhì)因數(shù)屬于集合，該集合的元素個數(shù)為，所以正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個數(shù)為40，故選：C.5. “北溪”管道泄漏事件的爆發(fā)，使得歐洲能源供應(yīng)危機成為舉世矚目的國際公共事件．隨著管道泄漏，大量天然氣泄漏使得超過8萬噸類似甲烷的氣體擴散到海洋和大氣中，將對全球氣候產(chǎn)生災(zāi)難性影響．假設(shè)海水中某種環(huán)境污染物含量P（單位：）與時間t（單位：天）間的關(guān)系為：，其中表示初始含量，k為正常數(shù)．令為之間海水稀釋效率，其中，分別表示當(dāng)時間為和時的污染物含量．某研究團隊連續(xù)20天不間斷監(jiān)測海水中該種環(huán)境污染物含量，按照5天一期進行記錄，共分為四期，即，，，分別記為Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，則下列哪個時期的稀釋效率最高（）．A. Ⅰ期 B. Ⅲ期 C. Ⅲ期 D. Ⅳ期【答案】A【解析】【分析】利用兩點的斜率公式及函數(shù)圖象的特點即可求解.【詳解】由題意可知，表示兩點和間的斜率絕對值，但函數(shù)的圖象特點是遞減同時后面會越減越慢.故選：A.6. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式化簡，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】由對數(shù)運算公式可得，因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即，所以，故選：B.7. 設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，且∴∴ 即得∴[點評]本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外，隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力. 8. 已知實數(shù)x，y滿足：，，則的值是（）．A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】對后面式子變形，構(gòu)造成同一種形式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題.【詳解】解：∵，則即，令，，則，令，由顯然為增函數(shù)，且，可知，從而．故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，連接點A和坐標(biāo)原點O的直線交拋物線準(zhǔn)線于點D，則（）．A. F坐標(biāo)為 B. 最小值為4C. 一定平行于x軸 D. 可能為直角三角形【答案】BC【解析】【分析】對A選項直接由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)即可判定，對于B選項設(shè)線，設(shè)點得到，利用基本不等式即可得到其最小值，對于C選項利用B選項中得到的結(jié)論，即可證明即可證明平行，對于D選項，對三個內(nèi)角進行判定其向量點乘是否為0或是斜率乘積是否為即可.【詳解】對A選項，，，，即，故A錯誤,對B選項，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線得，則，，兩式相乘得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，故B正確；對C選項，,令，則，故,因為,故一定平行于軸，故C正確，對D選項，因為,故不為直角,兩式作差得，故，即，,故不為直角,同理故不為直角，故D錯誤，故選：BC.10. 四邊形是邊長為2的正方形，E、F分別為、的中點，分別沿、及所在直線把、和折起，使B、C、D三點重合于點P，得到三棱錐，則下列結(jié)論中正確的有（）．A. 三棱錐的體積為B. 平面平面C. 三棱錐中無公共端點的兩條棱稱為對棱，則三棱錐中有三組對棱相互垂直D. 若M為的中點，則過點M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面，判斷B，根據(jù)錐體體積公式求三棱錐的體積判斷A，由線面垂直的性質(zhì)判斷C，由球的截面的性質(zhì)判斷D.【詳解】由已知，，翻折前，，，翻折后，則有，，，因為，，，平面，所以平面，因平面，，又，，所以，A錯誤，因為平面，又平面，所以平面平面，B正確，因為平面，平面，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，所以三棱錐中有三組對棱相互垂直，C正確，將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球球心為體對角線的中點，且，即球的半徑為，所以，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面圓的半徑設(shè)為，設(shè)球心到截面圓的距離為，則，、分別為、的中點，則，則，又，所以當(dāng)時，取最小值，所以過點M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為，D正確，故選：BCD.11. 已知函數(shù)，（）．A. 若在區(qū)間上單調(diào)，則B. 將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到曲線C，若曲線C對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，最小值為C. 函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則D. 關(guān)于x的方程在上有兩個不同的解，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可判斷A，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)可判斷CD.【詳解】對于A，，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以，綜上，或，A錯誤；對于B，的圖象向左平移個單位得到，若為偶函數(shù)，則有，解得，，而，所以最小值為，B正確；對于C，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有三個極值點，則有，解得：，C正確；對于D，，即，，，則，解得：，D正確.故選：BCD12. 已知和都是定義在R上的函數(shù)，則（）．A. 若，則的圖象關(guān)于點中心對稱B. 函數(shù)與的圖象關(guān)于關(guān)于直線對稱C. 若是不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有，則D. 若方程有實數(shù)解，則不可能是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)判斷A，分析函數(shù)與的圖象關(guān)系與和的圖象關(guān)系，由此判斷B，由函數(shù)關(guān)系取特殊值結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值判斷C，證明方程有實數(shù)解等價于方程有解，由此判斷D.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點中心對稱；A正確；因為函數(shù)的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的，因為，所以的圖象是的圖象向右平移1個單位得到的；又因為與的圖象是關(guān)于軸（直線）對稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，B錯誤因為函數(shù)是定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，所以在中令，可得，即令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，又，所以，則所以，所以，C正確，設(shè)是方程的一個根，則，故再令，則，即方程有解；又方程無解，所以不可能是.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13. 在的展開式中，的系數(shù)為___________；【答案】【解析】【分析】先求出二項展開式的通項公式，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求出展開式中項的系數(shù).【詳解】由二項展開式的通項公式得，其中令，即，故展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14. 已知圓上恰有2個點到直線距離為2，當(dāng)r為正整數(shù)時，寫出一個可能的r的值為_____________．【答案】4（答案不唯一）【解析】【分析】計算圓心到直線的距離，由條件確定半徑的大小.【詳解】因為圓的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離，由圓上恰有2個點到直線距離為2，可得，所以，又r為正整數(shù)，所以r的值為4或5或6，故答案為：4(答案不唯一).15. 已知，過點可作曲線的三條切線，則的范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程有3個解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像，觀察圖像確定的范圍.【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為，將代入切線方程，得，即為方程的解，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取極小值，極小值為，當(dāng)時，函數(shù)取極大值，極大值為，因為過點可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的解，與的圖像有三個不同的交點，所以，即的范圍是.故答案：.16. 已知雙曲線，過點的動直線與C交于兩點P，Q，若曲線C上存在某定點A使得為定值，則的值為_____________．【答案】##0.8【解析】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達定理法可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)，，，，則，由，可得，則，，所以，要使為定值，則，可得，，或，，，故．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知數(shù)列中，，成公差為1的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，化簡求數(shù)列的通項公式；(2)利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．【小問1詳解】因為成公差為1的等差數(shù)列，又數(shù)列的首項為，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，可知，所以所以．18. 銳角中，已知．（1）求角B；（2）若，求的面積S的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式化簡，可得，解出B即可；（2）由已知條件，得到A的范圍，將面積公式化簡變形用A的三角函數(shù)表示，求出最值.【小問1詳解】∵∴ 由銳角，可知．【小問2詳解】由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴19. 三棱臺中，為正三角形，，，，．（1）求證：；（2）若二面角的平面角大小為，且在線段上有點D使得平面平分四面體的體積，求與面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點為，通過證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）利用等體積法求得點到平面的距離，再求線面角即可.【小問1詳解】證明：取中點為M，連接，如下所示：∵由為正三角形，∴．∵且，∴為平行四邊形，∴．∵，面，∴面，又∵面，∴．【小問2詳解】∵平面平分四面體體積，∴D為的中點，∴，連接，取中點為，連接，如下所示：由（1）知，為的二面角的平面角，∴，∴為正三角形，又，∴，又面面，故，又，面，故面；在中，，，∴，，設(shè)點D到平面的距離為h，由得：，∴，設(shè)與平面所成的角為，則．20. 某大學(xué)有A，B兩個餐廳為學(xué)生提供午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（1）分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐概率，乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；（2）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1），；（2）分布列見解析，1.9；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)由統(tǒng)計表確定甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐頻率和乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的頻率，由頻率估計概率即可；(2)由條件確定隨機變量X的可能取值，再求取各值的概率，根據(jù)期望的定義求期望；(3)由條件結(jié)合條件概率公式證明，由此證明.【小問1詳解】設(shè)事件C為“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以，．【小問2詳解】由題意知，甲員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，記X為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為：X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】由題知，即，即，即，即，即，即．21. 已知M是橢圓的左頂點，過M作兩條射線，分別交橢圓于，，交直線于，．（1）若，求的最小值；（2）當(dāng)，求證：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)將轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系，利用的正切值將角度轉(zhuǎn)化為AM和BM的斜率的關(guān)系，從而得到C和D點縱坐標(biāo)的關(guān)系，用表示，結(jié)合基本不等式即可得到的最小值；(2)設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理和已知條件求出m的值，從而確定直線AB所經(jīng)過的定點．【小問1詳解】如圖，M(-2，0)，根據(jù)對稱性，設(shè)，，，當(dāng)時，，化簡得：，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴的最小值為．【小問2詳解】由題可知直線AB斜率不為零，故設(shè)直線，代入可得：，由可得，，，直線MC為：，代入可得：，同理．從而，即，將，代入化簡得，從而直線為，過定點．22. 已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)，且，，，求的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分與兩種情況分別討論函數(shù)單調(diào)性即可；（2）首先將已知條件轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到，最后令，再根據(jù)的單調(diào)性求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】已知，得，當(dāng)時，，，得在上遞減；當(dāng)時，有正根，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由題知：，不妨設(shè)，令，則，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，故，即在單調(diào)遞減，從而，即，令，即在遞減，在上恒成立，可知，由（1）可知有，故．【點睛】本題第（2）小問的關(guān)鍵點在于恰當(dāng)?shù)臈l件轉(zhuǎn)化，將已知條件轉(zhuǎn)化為，并通過構(gòu)造函數(shù)，然后依據(jù)的單調(diào)性解決問題，合理的轉(zhuǎn)化條件和構(gòu)造函數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵點.

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