山東師大附中2018級數(shù)學(xué)2020年11月學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測題（滿分：150分  考試時間：120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式確定集合B，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】由，得，解得，所以，又，所以.故選：D2. 設(shè)i為虛數(shù)單位，，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)“是“”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先化簡z，求出a，再判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，，是的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則這個三角形的形狀為（    ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 銳角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由條件和余弦定理可得，然后化簡可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形狀為直角三角形故選：A4. 已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由已知條件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【詳解】由題意可知，點(diǎn)在直線上，則，可得，因此，.故選：D.5. 標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式，此表中各行均為正方形“E”形視標(biāo)，且從視力5.2的視標(biāo)所在行開始往上，每一行“E”的邊長都是下方一行“E”邊長的倍，若視力4.2的視標(biāo)邊長為，則視力5.1的視標(biāo)邊長為（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)第行視標(biāo)邊長為，第行視標(biāo)邊長為由題意可得：則數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列即則視力5.1的視標(biāo)邊長為故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題.6. 向量，滿足，，，則在方向上投影為（    ）A. -1 B.  C.  D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題條件，先求出，再由向量數(shù)量積的幾何意義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，滿足，，，所以，即，則，所以在方向上的投影為.故選：B.7. 已知函數(shù)，若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函數(shù)為上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由，推導(dǎo)出，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】對任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，由于內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，，可得.因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列求和，利用函數(shù)在上的單調(diào)性與奇偶性推導(dǎo)出是求解的關(guān)鍵.8. 已知變量，且，若恒成立，則m的最大值為（為自然對數(shù)的底數(shù)）（    ）A. e B.  C.  D. 1【答案】A【解析】【分析】不等式兩邊同時取對數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】，，恒成立，設(shè)函數(shù)，，，在上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，即函數(shù)的增區(qū)間是，則的最大值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是對已知等式變形，，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分；部分選對的得3分；有選錯的得0分．9. 下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（    ）A. 設(shè)，為非零向量，則“”是“”的充要條件B. 設(shè)，為非零向量，若，則，的夾角為銳角C. 設(shè)，，為非零向量，則D. 若點(diǎn)G為的重心，則【答案】AD【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用數(shù)乘及數(shù)量積定義可判斷C，利用向量的線性運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>所以“”是“”的充要條件，A正確；對于B，若，則，的夾角為銳角或零角，B錯誤；對于C，表示與共線的向量，表示與共線的向量，所以兩者不一定相等，故C錯誤；對于D，如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，因?yàn)?/span>G為的重心，所以，即，D正確.故選：AD10. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，若，，則（    ）A.  B. C.  D. 當(dāng)且僅當(dāng)時，【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及可分析出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，所以，又，所以，所以，，故AB正確，C錯誤；
因，故D錯誤，故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題突破口在于由得到，結(jié)合，進(jìn)而得到，考查學(xué)生邏輯推理能力.11. 已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向左平移個單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. 的圖象關(guān)于對稱 D. 在上的最大值是1【答案】ABC【解析】【分析】先由最小正周期求出，再根據(jù)函數(shù)的變換求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?/span>，，解得，，將的圖象向左平移個單位長度得，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得，即，則，故A正確；，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；，的圖象關(guān)于對稱，故C正確；當(dāng)時，，則，即，故在上的最大值為，故D錯誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：判斷對稱軸和對稱中心的方法：對于，若函數(shù)滿足，則關(guān)于點(diǎn)對稱；若函數(shù)滿足，則關(guān)于對稱.12. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）A. 函數(shù)是偶函數(shù)，且在上不單調(diào)B. 函數(shù)是奇函數(shù)，且在上不單調(diào)遞增C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增D. 對任意，都有，且【答案】AD【解析】【分析】先化簡，根據(jù)函數(shù)偶函數(shù)的定義，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A；求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系和偶函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且即函數(shù)是偶函數(shù)，且在上不單調(diào)，故A正確；又由，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∵恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B不正確；當(dāng)時，，，∴上恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C不正確；∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴對任意，都有，當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴，故D正確，故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）通過導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系：奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法和復(fù)數(shù)相等的知識得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，利用復(fù)數(shù)的模長公式可得出的值.【詳解】，則，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，涉及復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)相等等知識的應(yīng)用，建立方程組是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________.【答案】【解析】【詳解】，令，此時函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為考點(diǎn)：：導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 15. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為__________．【答案】16【解析】分析】由可推出，即，故利用基本不等式，結(jié)合“乘1法”即可求出的最值.【詳解】由題可知，則由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式可得：，化簡得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用基本不等式破解三角形中的最值問題時，當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值.16. 如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，則實(shí)數(shù)的值為__________，若M，N是線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為_______． 【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】求出，由利用數(shù)量積公式求解的值即可；建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)配方法求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以；建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，，，可得，設(shè)，因?yàn)?/span>，則，所以，，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，故答案為：,. 【點(diǎn)睛】平面向量數(shù)量積的計(jì)算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已如函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先將函數(shù)整理，得到，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性，列出不等式求解，即可得出結(jié)果；（2）由（1）根據(jù)題中條件，先求出，根據(jù)余弦定理，求出，進(jìn)而可求出三角形面積的最值.【詳解】（1），由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）∵，∴，即，∵為銳角三角形，∴，∴．中，由余弦定理得：，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形中有關(guān)邊長、角、面積的最值（范圍）問題時，常利用正弦定理、余弦定理與三角形面積公式，建立，，之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用函數(shù)或基本不等式求解.18. 在①，②，③這三個條件中選擇兩個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足__________，__________；又知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）答案見解析；（2）．【解析】【分析】（1）選擇①②，可以判斷為，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；選擇②③，由可判斷為，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；不能選擇①③；根據(jù)的條件建立關(guān)系即可求出公差，得出通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法可求解.【詳解】（1）選擇①②：當(dāng)時，由得，兩式相減，得，即，由①得，即，∴，得．∴，∴為，公比為的等比數(shù)列，∴．選擇②③：當(dāng)時，由③，得，兩式相減，得，∴，又，得，∴，∴為，公比為的等比數(shù)列，∴．選擇①③，由于和等價，故不能選擇；設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，且，，成等比數(shù)列．，即，解得，（舍去），∴．（2），，，∴，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.19. 如圖，在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2）點(diǎn)在棱上，且，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接PO，OB，先證，再證，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計(jì)算.【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)O，連接PO，OB，因?yàn)?/span>是正三角形，所以，因?yàn)?/span>，所以.在中，，，，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知，，，，，所以，，設(shè)平面ABM的法向量為，所以，令，得.取平面ABC的一個法向量為，記二面角的平面角為，，易知為銳角，所以二面角為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空間想象能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.20. 已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，若恒成立，求k的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解. （2）利用裂項(xiàng)求和法可得，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，由，得，兩式相減并化簡得，由于，所以，即，故是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，所以．（2）．故，由于是單調(diào)遞增數(shù)列，，所以．故k的最小值為．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)；或者前面剩下幾項(xiàng)，后面也剩幾項(xiàng).（2）將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.21. 冬天的北方室外溫度極低，若輕薄保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，可愛的醫(yī)務(wù)工作者行動會更方便．石墨烯發(fā)熱膜的制作：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜．從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶．現(xiàn)有A材料、B材料供選擇，研究人員對附著在A、B材料上再結(jié)晶各做了50次試驗(yàn)，得到如下等高條形圖． （1）由上面等高條形圖，填寫列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)？（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層．每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立．已知生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進(jìn)行修復(fù)，且生產(chǎn)1噸石塑烯發(fā)熱膜的每個環(huán)節(jié)修復(fù)費(fèi)用均為1000元．如何定價，才能實(shí)現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利可達(dá)1萬元以上的目標(biāo)？附：參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828 【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)；（2）2.1萬元/噸.【解析】【分析】（1）根據(jù)所給等高條形圖，得到的列聯(lián)表，利用公式，求得的觀測值，比較即可得到結(jié)論；（2）設(shè)修復(fù)費(fèi)用為萬元．得出可得0，0.1，0.2，0.3，求得相應(yīng)的概率，得到的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）根據(jù)所給等高條形圖，得到的列聯(lián)表： A材料B材料合計(jì)成功453075不成功52025合計(jì)5050100的觀測值，由于，故有99%的把握認(rèn)為試驗(yàn)成功與材料有關(guān)．（2）生產(chǎn)1噸的石墨烯發(fā)熱膜，所需的修復(fù)費(fèi)用為萬元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．，，，，則Ｘ的分布列為：（分布列也可以不列）X00.10.20.3P修復(fù)費(fèi)用的期望：．所以石墨烯發(fā)熱膜的定價至少為萬元/噸，才能實(shí)現(xiàn)預(yù)期的利潤目標(biāo)．【點(diǎn)睛】求隨機(jī)變量的期望與方差的方法及步驟：1、理解隨機(jī)變量的意義，寫出可能的全部值；2、求取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量的分布列；3、由期望和方差的計(jì)算公式，求得數(shù)學(xué)期望；4、若隨機(jī)變量的分布列為特殊分布列（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.22. 已知函數(shù)，，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集；（2）用表示m，n的最大值，記，討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】（1）增函數(shù)；；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，得到，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可判定其單調(diào)性，進(jìn)而可求出不等式的解集.（2）時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，故的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)，討論在的零點(diǎn)個數(shù)得到答案.【詳解】（1），當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，，∴，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，即在R上是增函數(shù)；又，所以的解集為．（2））函數(shù)的定義域?yàn)?/span>由（1）得，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，又，所以時，恒成立，即時，無零點(diǎn).當(dāng)時，恒成立，所以的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)下面討論函數(shù)在的零點(diǎn)個數(shù)：，所以①當(dāng)時，因?yàn)?/span>， 又函數(shù)在區(qū)間遞減，所以即當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，由得：當(dāng)時，遞增當(dāng)時，遞減當(dāng)時，，當(dāng)時又，當(dāng)時，函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有3個零點(diǎn)；②當(dāng)時，，由①得：當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，所以，，所以當(dāng)時函數(shù)有2個零點(diǎn)③當(dāng)時，，，即成立，由，所以當(dāng)時函數(shù)有1個零點(diǎn)綜上所述：當(dāng)或時，函數(shù)有1個零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有3個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的零點(diǎn)時，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，極值或最值等，有時需要借助數(shù)形結(jié)合的方法求解. 

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