2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期中五校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷出題學(xué)校：寶坻一中  靜海一中一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1. 已知全集，集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用列舉法即可.【詳解】由題知，，則，故選:C.2. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 既不充分也不必要條件 D. 充要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，故，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A3. 函數(shù)（，且）的圖像大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性和函數(shù)值的特點(diǎn)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B,C當(dāng)時(shí)，，，所以排除A故選：D4. 對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，命題：①若，，則；    ②若，則；③若，則；    ④若，則；其中真命題的個(gè)數(shù)是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，故①錯(cuò)；②當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)；③若，則且，則，故③正確；④若，則，故④錯(cuò).故選：B.5. 已知，，，則（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】，，，∴.故選：B.6. 已知，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解【詳解】因，所以，所以，故選：D7. 中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第一天走的路程為（    ）A. 63里 B. 126里 C. 192里 D. 228里【答案】C【解析】【分析】由題意知，每天走的路程構(gòu)成一個(gè)公比為等比數(shù)列，已知和求首項(xiàng)，代入公式即可得到.【詳解】由已知，設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，    公比為,，則 ，等比數(shù)列首項(xiàng).故選：C.8. 已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（    ）A. 函數(shù)的最小正周期為B. 函數(shù)的最大值為2C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為【答案】C【解析】【分析】首先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A和B，，所以的最小正周期為，的最大值為1，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，故D不正確，故選：C9. 已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】把函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為和有兩個(gè)交點(diǎn).利用圖像法解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以和有兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)的圖像如圖所示：因?yàn)?/span>時(shí)，和相交，所以只需和再有一個(gè)交點(diǎn). .當(dāng)時(shí)，若與相切，則有的判別式，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若與相切，則有的判別式，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為.則有，解得：.所以要使函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，只需或或，解得：或或.故選：D【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10. 設(shè)命題，.若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分析可知命題的否定為真命題，可得出，即可解得的取值范圍.【詳解】命題的否定為：，，由題意可知，命題的否定為真命題，所以，，解得.故答案為：.11. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)公式列方程組即可.【詳解】由題知：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為， ，， ， ， ， ，當(dāng)或時(shí)，取得最小值， ， .故答案為：.12. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，成等差數(shù)列，若，則b邊的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到，然后利用正弦定理和和差公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可.【詳解】由題意得，，又，所以，則，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2.故答案為：2.13. 已知函數(shù)在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】令，解得，然后根據(jù)在上有且只有2個(gè)零點(diǎn)列不等式，解不等式即可.【詳解】令，則，解得，因?yàn)?/span>在上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.14. 已知函數(shù)，若正數(shù)a、b滿足，則______，的最小值為______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】分析出函數(shù)為上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，由已知條件可得出，將所求不等式變形得出，然后再利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，故函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，，可得，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為:；.15. 已知函數(shù)，若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為______，若關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.【答案】    ①. ；    ②. 【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研的的圖象，再作出的圖象,恰有2個(gè)零點(diǎn)，則與有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得實(shí)數(shù)a的值;若關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，通過分析可得有2個(gè)不等根,且，，再數(shù)形結(jié)合即可建立的不等式組，即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，時(shí)，,單調(diào)遞減,再根據(jù)題意可作出圖象如下: 若有2個(gè)零點(diǎn),則與有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知;若關(guān)于x的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故，與都有2個(gè)交點(diǎn)或者與僅1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與僅1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，，解得，故，解得或，舍去；故兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，，所以解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想作出函數(shù)的圖象，再通過圖象得到與僅1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，并通過分析得到，三、解答題（本題共5小題，共75分）16. 已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo).【答案】（1），；    （2），.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求和單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用整體代入法求對(duì)稱軸和對(duì)稱中心即可.【小問1詳解】，因?yàn)?/span>最小正周期為，所以，解得，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】令，解得，所以對(duì)稱軸方程為；令，解得，所以對(duì)稱中心為.17. 已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；    （2）；    （3）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，然后利用和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到，即可得到；（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；（3）利用面積公式得到，利用余弦定理得到，兩式結(jié)合可得，然后求周長(zhǎng)即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理得，，∵，∴，則，∵，∴.【小問2詳解】∵,∴，，，，∴.【小問3詳解】∵面積為，且，∴，整理得①，根據(jù)余弦定理可得，②， 聯(lián)立①②，可得，所以周長(zhǎng)為8.18. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m取值范圍.【答案】（1）答案見詳解    （2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求得，得到，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得到，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線斜率為4，且在處取得極值，可得，即，解得，   所以，可得，令，解得或．解，得或，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；解，得，即在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；單調(diào)遞增區(qū)間是，．【小問2詳解】解：由（1）得，，則，由（1）知，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.所以，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足或，即或，解得或， 所以的取值范圍為或．19. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列，通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）求證；.【答案】（1），；    （2）；    （3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程，解得，即可得到，利用時(shí)，，得到數(shù)列為等比數(shù)列，然后求即可；（2）根據(jù)（1）得到，然后利用裂項(xiàng)相消的方法求和即可；（3）利用放縮的方法得到，然后用錯(cuò)位相減的方法求和，得到，即可證明.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，∴，由①可得，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，②，①②相減得，，整理得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，.【小問2詳解】由（1）可得，，所以.【小問3詳解】由（1）可得，，又，∴，設(shè)，則，兩式相減得，，∴，∴.20. 已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線相切，求k的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；    （2）證明見解析；    （3）.【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程，解方程即可得到；（2）證明即證明，然后求導(dǎo)，利用單調(diào)性求最值，即可證明；（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性得到，然后代入解不等式即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，則.【小問3詳解】由題可知，，則不等式恒成立，即，即，即，即在上恒成立，令，易知在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即， 令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，所以，解得，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立?；（2）恒成立?.
  

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