長春外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（文科）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知全集，，，（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B.2 已知向量，，若，則（      ）A.  B. 2 C.  D. 6【答案】B【解析】【分析】利用向量共線列方程，由此求得.【詳解】由于，所以.故選：B3. 已知l、m是兩條不同的直線，是平面，，，則“”是“” 的（    ）A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】依題意，l、m是兩條不同的直線，是平面，，，若，則與可以相交，也可以平行，故推不出；若，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，.故“”是“” 的必要不充分條件.故選：C.4. 從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數(shù)學(xué)、外語3門統(tǒng)一高考成績和考生選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績構(gòu)成．等級(jí)性考試成績位次由高到低分為，，，，，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：等級(jí)15%，等級(jí)40%，等級(jí)30%，等級(jí)14%，等級(jí)1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取1000人作為樣本，則該樣本中獲得或等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（    ）A. 275 B. 400 C. 550 D. 450【答案】C【解析】【分析】由題意，，等級(jí)人數(shù)所占比例依次為等級(jí)15%，等級(jí)40%，則或等級(jí)所占比例為55%，然后算出即可.【詳解】由題意，，等級(jí)人數(shù)所占比例依次為等級(jí)15%，等級(jí)40%，則或等級(jí)所占比例為55%，人的樣本中，獲得或等級(jí)的學(xué)生一共有人故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是分層抽樣，較簡單.5. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)得到答案.【詳解】.故選：B.6. 歐拉是一位杰出的數(shù)學(xué)家，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)，著名的歐拉公式：，將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.結(jié)合歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（   ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用歐拉公式代入直接進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可求解.【詳解】所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D.7. 在中，，則的形狀為（    ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合對數(shù)運(yùn)算可得，再利用正弦定理角化邊即可判斷得解.【詳解】因，則有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故選：B8. 函數(shù)的大致圖象是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用排除法，先由函數(shù)的取值情況判斷，再由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值即可得答案【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，可知C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，故選項(xiàng)B正確.故選：B.9. 已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用作商法，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式可得可知b、c的大小，再結(jié)合指對數(shù)的性質(zhì)可知a、c的大小.【詳解】，即，∵，∴綜上，.故選：B10. 已知球O，過其球面上A，B，C三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)O到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球O的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出的外接圓半徑，則可建立關(guān)系求出球半徑，得出表面積.【詳解】設(shè)球半徑為，的外接圓半徑為，因?yàn)?/span>，，，由正弦定理可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)O到平面距離是球半徑的一半，所以，即，解得，則球O的表面積為.故選：A.11. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與C交于兩點(diǎn).若，，則C的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由，，利用橢圓的定義，求得，，，可得，，由于，由二倍角公式列方程可得結(jié)果.【詳解】如圖，由題意可得：，，，，所以，故，可得，，，，利用，則為等腰三角形，所以，，，,可得，可得．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用以及橢圓的離心，屬于難題．離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，對于任意的，總有成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），對任意，存在，使得成立，則滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為（   ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由的特性結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得是奇函數(shù)，由可得函數(shù)的周期，由此探討出的值域，再將所求問題轉(zhuǎn)化為不等式在上有解即可.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即函數(shù)是奇函數(shù)，由任意的，總有成立，即恒成立，于是得函數(shù)的周期是4，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，而是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，f(-2)=-f(2)，從而得，即時(shí)，，而函數(shù)的周期是4，于是得函數(shù)在上的值域是，因?qū)θ我?/span>，存在，使得成立，從而得不等式，即在上有解，當(dāng)時(shí)，取，成立，即得，當(dāng)時(shí)，在上有解，必有，解得，則有，綜上得，所以滿足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：A第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分．13. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則___________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和的意義即可作答.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.故答案為：814. 已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由得y＝﹣x+z，平移直線y＝﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y＝﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y＝﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．15. 已知函數(shù)，若將其圖象向右平移個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡為，并求出平移后的函數(shù)解析式，利用所得函數(shù)圖象過原點(diǎn)，求出的表達(dá)式，即可得出正數(shù)的最小值.【詳解】，將其圖象向右平移個(gè)單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，，由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的對稱性求參數(shù)的最值，同時(shí)也考查了三角函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵就是要結(jié)合對稱性得出參數(shù)的表達(dá)式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.16. 芻甍，中國古代算數(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”如圖為一個(gè)芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則該茅草屋頂?shù)拿娣e為___________.  【答案】32【解析】【分析】由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.【詳解】如圖：E，F在平面ABCD內(nèi)的垂足分別為Q，G，則QG=FG=4，  H為AB的中點(diǎn)，則GH=2，于是FH=，FA=.點(diǎn)G在DA邊上的垂足為P，則AP=2.FP=，∴S△ABF=AB·FH=×4×2=4，S梯形ADEF= (AD+EF)·FP=(8+4)×2=12，所以茅草屋頂?shù)拿娣e為2×(4+12)=32.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要證明過程或演算步驟．（一）必考題：第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．17. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的概念求出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合分組求和的方法，可得結(jié)果.【詳解】解：（1），為與的等比中項(xiàng)，，即，由，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和，掌握求和的基本題型，比如：分組求和，裂項(xiàng)相消，錯(cuò)位相減等，屬基礎(chǔ)題.18. 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù)，由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”，符合“低碳出行”的理念，已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了50人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這50人根據(jù)其滿意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第1組80.16第2組▆第3組200.40第4組▆0.08第5組2 合計(jì)▆▆（1）求的值；（2）若在滿意度評(píng)分值為的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求所抽取的2人中至少一人來自第5組的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布表可得b.先求得內(nèi)的頻數(shù),即可由總數(shù)減去其余部分求得.結(jié)合頻率分布直方圖,即可求得的值.（2）根據(jù)頻率分布表可知在內(nèi)有4人,在有2人.列舉出從這6人中選取2人的所有可能,由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布表可得內(nèi)的頻數(shù)為,∴∴內(nèi)的頻率為∴∵內(nèi)的頻率為0.04∴（2）由題意可知,第4組共有4人,第5組共有2人,設(shè)第4組的4人分別為、、、；第5組的2人分別為、從中任取2人的所有基本事件為：,,,,,,,,,,,,,,共15個(gè).至少一人來自第5組的基本事件有：,,,,,,,共9個(gè).所以.∴所抽取2人中至少一人來自第5組的概率為.19. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，△PAB為等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥底面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）求證：AE∥平面PBC；（2）求三棱錐P－EBC的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，由三角形中位線定理可得EF∥CD，CD＝2EF，再結(jié)合已知條件可得AB∥EF，且EF＝AB，從而可得四邊形ABFE為平行四邊形，所以AE∥BF，進(jìn)而由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由于AE∥平面PBC，所以VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，則可證得OP⊥平面ABCD，在等腰直角三角形PAB可求得OP＝1，在等腰梯形ABCD中可求出S△ABC＝1，從而可求出三棱錐P－EBC的體積【詳解】(1)如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵PE＝DE，PF＝CF，∴EF∥CD，CD＝2EF，∵AB∥CD，CD＝2AB，∴AB∥EF，且EF＝AB.∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴AE∥BF.∵BF?平面PBC，AE平面PBC.故AE∥平面PBC.(2)由(1)知AE∥平面PBC，∴點(diǎn)E到平面PBC的距離與點(diǎn)A到平面PBC的距離相等，∴VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC.如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，∵PA＝PB，∴OP⊥AB.∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OP?平面PAB，∴OP⊥平面ABCD.∵△PAB為等腰直角三角形，PA＝PB，AB＝2，∴OP＝1.∵四邊形ABCD為等腰梯形，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，AD＝，∴梯形ABCD的高為1，∴S△ABC＝×2×1＝1.故VP－EBC＝VP－ABC＝×1×1＝.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定，考查幾何體體積的求法，解題的關(guān)鍵是利用等體積法轉(zhuǎn)化，即VP－EBC＝VE－PBC＝VA－PBC＝VP－ABC，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題20. 已知：函數(shù)（）．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)在區(qū)間上滿足，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）遞減區(qū)間為，；遞增區(qū)間為；（3）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線斜率，寫出切線方程并整理；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，注意在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間；（3）利用（2）的單調(diào)性，分類討論在上的最小值，由最小值可得結(jié)論．【詳解】解：（1）若，則，，所以，即切線的斜率等于—2；又，切點(diǎn)；所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）的定義域?yàn)?/span>，    （），    當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增； 所以的遞減區(qū)間為，；遞增區(qū)間為；（3）①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，因此；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，解得，因此；    ③當(dāng)時(shí)，定義域是，但在要有定義，故排除；④當(dāng)，在上單調(diào)遞減，，與矛盾，因此無解；綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問題．在解決不等式恒成立求參數(shù)范圍時(shí)，注意問題的轉(zhuǎn)化，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由最值滿足的不等關(guān)系得參數(shù)范圍，由于含有參數(shù)，因此常常需要分類討論得函數(shù)單調(diào)性，得最值．21. 已知橢圓：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．【答案】（1）    （2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為和直線和圓相切得到，，得到橢圓方程。（2）考慮直線斜率不存在和存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)得到代入直線得到定點(diǎn)。【小問1詳解】等軸雙曲線離心率為，故橢圓的離心率． ，故 ．由與圓相切，即，得，．橢圓的方程為．【小問2詳解】①若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，則點(diǎn)，．由已知，得．此時(shí)方程為．②若直線的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．設(shè)，，由得．則，．由已知，可得，，即，將，代入得，．故直線的方程為，即．直線過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)．（二）選考題：請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 已知直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線交于，兩點(diǎn).（1）求直線的直角坐標(biāo)方程，及曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；；（2）2.【解析】【分析】（1）將代入可得直線的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)可得曲線的普通方程；（2）得出直線的參數(shù)方程為代入曲線，利用韋達(dá)定理可求.【詳解】（1）由，得，將代入，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，由，消去參數(shù)得，所以曲線的普通方程為.（2）顯然點(diǎn)在直線：上，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線可得，即，設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程的幾何意義，解題的關(guān)鍵是得出直線參數(shù)方程，代入曲線，利用直線參數(shù)的幾何意義求解.選修4－5：不等式選講23. 已知函數(shù).（1）解不等式;（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式即可；（2）依題意可得即，利用絕對值三角不等式可得，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：(1)①當(dāng)時(shí)，，所以②當(dāng)時(shí)，，所以③當(dāng)時(shí)，，所以綜上，不等式的解集為(2)原式即由絕對值三角不等式，，即，即【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的能成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想．
 

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【期中真題】河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（文）試題.zip：

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