吉林省長(zhǎng)春北師大附屬學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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北師大長(zhǎng)春附屬學(xué)校2021—2022學(xué)年度上學(xué)期
高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)（文）試卷
考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
命題人：審題人：高三數(shù)學(xué)備課組 2021年11月15日
第I卷選擇題
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，則（）
A． B． C． D．
2．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，且，則實(shí)數(shù) （）
A． B． C．3 D．
5．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（）
A． B． C． D．
6．如圖，矩形的長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300顆黃豆，落在橢圓外的綠豆數(shù)為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為（）
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
7．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
8．空間中，設(shè)m、n是兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，如果m?α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β ”的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．公比為2的等比數(shù)列中，，則的值是（）
A． B． C． D．
10．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，1]上是減函數(shù)，則有（）
A． B．
C． D．
11．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，則此三角形面積的最大值為（）
A． B． C． D．
12．關(guān)于函數(shù)，有如下列結(jié)論：①函數(shù)有極小值也有最小值；②函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根；④若時(shí)，，則的最小值為2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷非選擇題
二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．已知向量，且，則．
14．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為．則“將軍飲馬”的最短總路程為__________．
15．將正整數(shù)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，則數(shù)陣中第行的第85個(gè)數(shù)是___________．

16．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．若平面⊥平面，，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為___________．
三、解答題：（本大題共6小題，共70分）
17．（本小題10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線l的最大距離．

18．（本小題12分）設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且f（A）＝，△ABC的面積為S＝6，a＝2，求b，c的值．

19．（本小題12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；
（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

20．（本小題12分）某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試，從中隨機(jī)挑出5名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)x與物理成績(jī)y如下表：
數(shù)學(xué)成績(jī)x
145
130
120
105
100
物理成績(jī)y
110
90
102
78
70
（1）數(shù)據(jù)表明y與x之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到125分為優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到100分為優(yōu)秀．若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%，且除去抽走的5名同學(xué)外，剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人，請(qǐng)把下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？

物理優(yōu)秀
物理不優(yōu)秀
合計(jì)
數(shù)學(xué)優(yōu)秀

數(shù)學(xué)不優(yōu)秀

合計(jì)

60

參考數(shù)據(jù)：，，
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（>)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

21．（本小題12分）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，且直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．

22．（本小題12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

北師大長(zhǎng)春附屬學(xué)校2021—2022學(xué)年度上學(xué)期
高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)（文）答案
考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分
命題人：審題人：高三數(shù)學(xué)備課組 2021年11月15日
一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．已知集合，則（ C ）
A． B． C． D．
2．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ A ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，且，則實(shí)數(shù) （ C ）
A． B． C．3 D．
5．以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（ B ）
A． B． C． D．
6．如圖，矩形的長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300顆黃豆，落在橢圓外的綠豆數(shù)為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為（ A ）

A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68

7．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ D ）
A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
8．空間中，設(shè)m、n是兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，如果m?α，α∥β，那么“m⊥n”是“n⊥β”的（　B?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
9．公比為2的等比數(shù)列中，，則的值是（ D ）
A． B． C． D．
10．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x＋2）＝－f（x），且在[0，1]上是減函數(shù)，則有
（ C ）
A． B．
C． D．
11．中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（ A ）
A． B． C． D．
12．關(guān)于函數(shù)，有如下列結(jié)論：①函數(shù)有極小值也有最小值；②函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)實(shí)根；④若時(shí)，，則的最小值為2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13．已知向量，且，則．
14．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為．則“將軍飲馬”的最短總路程為 5 ．
15．將正整數(shù)排成如圖所示的三角形數(shù)陣，則數(shù)陣中第行的第85個(gè)數(shù)是 2021 ．

16．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．若平面⊥平面，，，三棱錐的體積為9，則球的表面積為．
三、解答題：（本大題共6小題，共70分）
18．（本小題12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線l的最大距離．
解：（1）直線的普通方程為
曲線的直角坐標(biāo)方程為．
（2）曲線C為圓，圓心直線的距離為
所以點(diǎn)到直線l的最大距離為．
18．（本小題12分）設(shè)函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且f（A）＝，△ABC的面積為S＝6，a＝2，求b，c的值．
解：（1）f（x）＝sin x＋cos x＋1－cos x＝sin x－cos x＋1＝．
∴ 函數(shù)f（x）的最小正周期為．
（2）由f（A）＝，得sin＝．
又∵ A∈（0，π），∴ A＝.
∵ S＝bcsin A＝6，∴bcsin ＝6，bc＝24，
由余弦定理，得a2＝（2）2＝b2＋c2－2bccos ＝b2＋c2－24.
∴ b2＋c2＝52，解得b＝4，c＝6或b＝6，c＝4．
19．（本小題12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；
（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，且．得，
又，得，即，解得或（舍）．
所以，．

（2）．
所以，
顯然．所以，．
20．（本小題12分）某高三理科班共有60名同學(xué)參加某次考試，從中隨機(jī)挑出5名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)x與物理成績(jī)y如下表：
數(shù)學(xué)成績(jī)x
145
130
120
105
100
物理成績(jī)y
110
90
102
78
70
（1）數(shù)據(jù)表明y與x之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到125分為優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到100分為優(yōu)秀．若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%，且除去抽走的5名同學(xué)外，剩下的同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有5人，請(qǐng)把下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？

物理優(yōu)秀
物理不優(yōu)秀
合計(jì)
數(shù)學(xué)優(yōu)秀

數(shù)學(xué)不優(yōu)秀

合計(jì)

60

參考數(shù)據(jù)：，，
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（>）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：（1）由題意可得，

所以
故關(guān)于的線性回歸方程是．
（2）由題意可知，該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)及物理優(yōu)秀人數(shù)分別為30，36，抽出的5人中，數(shù)學(xué)優(yōu)秀但是物理不優(yōu)秀的共有1人，故全班數(shù)學(xué)優(yōu)秀但是物理不優(yōu)秀的共有6人，于是得到列聯(lián)表為：

物理優(yōu)秀
物理不優(yōu)秀
合計(jì)
數(shù)學(xué)優(yōu)秀
24
6
30
數(shù)學(xué)不優(yōu)秀
12
18
30
合計(jì)
36
24
36
于是的觀測(cè)值為
因此，可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)。

21．（本小題12分）已知點(diǎn)A（0，－2），橢圓E：的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，且直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程．
解：（1）設(shè),因?yàn)橹本€AF的斜率為
所以，又
解得，所以橢圓的方程為
（2）解：設(shè)直線l的方程為：
聯(lián)立，消去y得
因?yàn)?br /> 所以
解法一：

所以
解法二：

點(diǎn)O到直線l的距離,所以

令
則
此時(shí)滿足條件
所以的面積最大時(shí)，直線l的方程為．

22．（本小題12分）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，，，
所以曲線在點(diǎn)，處的切線方程為，即．
（2）由題意知，存在，，使得不等式成立，
即存在，，使得成立，
令，，，
則，，，
① 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以成立，解得，所以符合題意．
② 當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以（2），解得，與矛盾，舍去．
③ 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意，舍去．
綜上所述，a的取值范圍為

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