北師大長春附屬學(xué)校2021—2022學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)期中考試  數(shù)學(xué)（理）試卷考試時(shí)間：120分鐘        滿分：150分           2021年11月15日一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）一、單選題1．已知集合，，（    ）A． B． C． D．2．若命題“，”是假命題，則（    ）A．的最小值    B．的最小值     C．的最大值    D．無最大值3．已知集合A={x|x>5}，集合B={x|x>a}，若命題“x∈A“是命題”x∈B“的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥54．若，則（   ）A． B． C． D．5． 已知，且，函數(shù)與的圖象只能是圖中的（    ）A．B．C．D．6．牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：（t為時(shí)間，單位為分鐘，為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度，環(huán)境溫度，常數(shù)，大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為？（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．8 B．7 C．6 D．57．已知函數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減8．已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，（為常數(shù)），則（    ）A． B． C． D．9．已知定義在上的函數(shù)滿足，①，② 為奇函數(shù)，③當(dāng)時(shí)，恒成立.則、、的大小關(guān)系正確的是（    ）A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（    ）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，．若存在個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．12．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（    ）A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.14．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為________15．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，則不等式的解集是___________.16．，若存在互不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則下列結(jié)論中正確的為___________.①；②，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；③函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn).  三、解答題：（本大題共6小題，18小題10分，17、19、20、21、22小題12分，共80分）  17．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且________．（1）求角；（2）若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．    18．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并判斷該曲線是什么曲線？（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求弦長度的取值范圍．     19．是指大氣中直徑小于或等于的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，我國標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在以上空氣質(zhì)量為污染.某市生態(tài)環(huán)境局從該市年上半年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）.（1）從這天的數(shù)據(jù)中任取天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這天的數(shù)據(jù)中任取天的數(shù)據(jù)，記表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）以這天的的日均值來估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況（一年按天來計(jì)算），則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)？    20．如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面夾角的余弦值．     21．已知如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過兩點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若是橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓與兩點(diǎn)，試探究直線與的交點(diǎn)是否在一定直線上，若在，請(qǐng)求出該直線方程，若不在，請(qǐng)說明理由.       22．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案1．D  2．A  3．C  4．C  5．B  6．C  7．C  8．B  9．C  10．D  11．C  12．B13．   14．或   15．   16．①②③17． 解：（1）方案一：選條件①，，，，又.方案二：選條件②又.方案三：選條件③整理得，，又，.（2），在中，，在中，，整理得，.18． 解析：（1）由，可得：，而，∴，即，故曲線的直角坐標(biāo)方程為，該曲線是橢圓．（2）將，代入橢圓方程，可得：，即：．由直線參數(shù)方程的幾何意義，設(shè)，，則，，∵，∴，則．19． （1）記“從這天的數(shù)據(jù)中任取天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件，則；（2）由題意，可知的可能取值有、、、，，，，.所以的分布列為：P；（3）依題意，可知一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率約為.設(shè)一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的天數(shù)為，則，所以.所以一年中約有天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí).20． （1）證明：由題設(shè)知，平面平面，交線為．因?yàn)?/span>，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以．因?yàn)?/span>M為上異于C，D的點(diǎn)，且為直徑，所以．又，所以平面．而平面，故平面平面．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn)．由題設(shè)得，，，設(shè)是平面的法向量，則即可取．是平面的法向量，因此，由圖可知面與面所夾的角為銳角，所以面與面所夾的角的余弦值是21． （1）可得，所以，令，可得，由可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）當(dāng)斜率為時(shí)，直線與都和軸重合，當(dāng)斜率不為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程可得，設(shè)，有，，，所以直線方程為，直線方程為，聯(lián)立兩直線方程可得： ，所以，解得，故直線與的交點(diǎn)在定直線上.22． 解：（1）由，函數(shù)可化為，所以，當(dāng)時(shí)，所以在點(diǎn)處切線的斜率為.又即切點(diǎn)為，所以切線方程為，即所求切線方程為.（2）因?yàn)?/span>，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不滿足條件；當(dāng)即或時(shí)，令，設(shè)方程的兩根為和，因?yàn)?/span>為極小值點(diǎn)，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，，所以，所以則.因?yàn)?/span>，，令，，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.又恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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