【期中真題】吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（理科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知全集，，，（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：B.2. 已知向量，，若，則（）A B. 2 C. D. 6【答案】B【解析】【分析】利用向量共線(xiàn)列方程，由此求得.【詳解】由于，所以.故選：B3. 已知l、m是兩條不同的直線(xiàn)，是平面，，，則“”是“” 的（）A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，利用充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】依題意，l、m是兩條不同的直線(xiàn)，是平面，，，若，則與可以相交，也可以平行，故推不出；若，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，.故“”是“” 的必要不充分條件.故選：C.4. 已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7%.某校為高一年級(jí)1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，則適合身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制（）A. 683套 B. 954套 C. 972套 D. 997套【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布可得身高在155~175cm范圍內(nèi)的概率為95.4%，即可求出答案.【詳解】因?yàn)閷W(xué)生的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布，所以身高在155~175cm范圍內(nèi)即在內(nèi)取值，概率為95.4%，所以身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制套.故選：B.5. 設(shè)i是虛數(shù)單位，若，則（）A. B. 4 C. D. 2【答案】D【解析】分析】先化簡(jiǎn)求出，得出，即可求出答案.【詳解】，，，.故選：D.6. 在中，，則的形狀為（）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等邊三角形 D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用給定條件結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，再利用正弦定理角化邊即可判斷得解.【詳解】因，則有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故選：B7. 已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10．若數(shù)列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則k的最大值是（）A. 5 B. 6C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】由an＝，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性即可得解.【詳解】由二項(xiàng)式定理知an＝ (n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)具有對(duì)稱(chēng)性，且最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，且從第1項(xiàng)到第6項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，第6項(xiàng)到底11項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小，∴k最大值為6.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8. 函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用排除法，先由函數(shù)的取值情況判斷，再由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值即可得答案【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，可知C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得極小值，故選項(xiàng)B正確.故選：B.9. 已知，，，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)可得，即可選出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以故選：B10. 已知球O，過(guò)其球面上A，B，C三點(diǎn)作截面，若點(diǎn)O到該截面的距離是球半徑的一半，且，，則球O的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出的外接圓半徑，則可建立關(guān)系求出球半徑，得出表面積.【詳解】設(shè)球半徑為，的外接圓半徑為，因?yàn)?/span>，，，由正弦定理可得，則，因?yàn)辄c(diǎn)O到平面的距離是球半徑的一半，所以，即，解得，則球O的表面積為.故選：A.11. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與C交于兩點(diǎn).若，，則C的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，，利用橢圓的定義，求得，，，可得，，由于，由二倍角公式列方程可得結(jié)果.【詳解】如圖，由題意可得：，，，，所以，故，可得，，，，利用，則為等腰三角形，所以，，，,可得，可得．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用以及橢圓的離心，屬于難題．離心率的求解在圓錐曲線(xiàn)的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)求解．12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，對(duì)于任意的，總有成立，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），對(duì)任意，存在，使得成立，則滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由的特性結(jié)合函數(shù)圖象平移變換可得是奇函數(shù)，由可得函數(shù)的周期，由此探討出的值域，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式在上有解即可.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)是奇函數(shù)，由任意的，總有成立，即恒成立，于是得函數(shù)的周期是4，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，而是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又，f(-2)=-f(2)，從而得，即時(shí)，，而函數(shù)的周期是4，于是得函數(shù)在上的值域是，因?qū)θ我?/span>，存在，使得成立，從而得不等式，即在上有解，當(dāng)時(shí)，取，成立，即得，當(dāng)時(shí)，在上有解，必有，解得，則有，綜上得，所以滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合為.故選：A二?填空題：本題共4小題，每小題5分.13. _______________;【答案】【解析】【詳解】.14. 已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值．【詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由得y＝﹣x+z，平移直線(xiàn)y＝﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y＝﹣x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y＝﹣x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．15. 已知函數(shù)，若將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，并求出平移后的函數(shù)解析式，利用所得函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，求出的表達(dá)式，即可得出正數(shù)的最小值.【詳解】，將其圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象的函數(shù)解析式為，由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，，，由于，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)的最值，同時(shí)也考查了三角函數(shù)的圖象變換，解題的關(guān)鍵就是要結(jié)合對(duì)稱(chēng)性得出參數(shù)的表達(dá)式，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.16. 芻甍，中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”如圖為一個(gè)芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則該茅草屋頂?shù)拿娣e為___________. 【答案】32【解析】【分析】由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.【詳解】如圖：E，F在平面ABCD內(nèi)垂足分別為Q，G，則QG=FG=4， H為AB的中點(diǎn)，則GH=2，于是FH=，FA=.點(diǎn)G在DA邊上的垂足為P，則AP=2.FP=，∴S△ABF=AB·FH=×4×2=4，S梯形ADEF= (AD+EF)·FP=(8+4)×2=12，所以茅草屋頂?shù)拿娣e為2×(4+12)=32.故答案為：32【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀(guān)察三視圖并將其“翻譯”成直觀(guān)圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線(xiàn)與虛線(xiàn)以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀(guān)圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要證明過(guò)程或演算步驟.17. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的概念求出公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合分組求和的方法，可得結(jié)果.【詳解】解：（1），為與的等比中項(xiàng)，，即，由，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和，掌握求和的基本題型，比如：分組求和，裂項(xiàng)相消，錯(cuò)位相減等，屬基礎(chǔ)題.18. 很多新手拿到駕駛證后開(kāi)車(chē)上路，如果不遵守交通規(guī)則，將會(huì)面臨扣分的處罰，為讓廣大新手了解駕駛證扣分新規(guī)定，某市交警部門(mén)結(jié)合機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛?cè)擞羞`法行為一次記12分?6分?3分?2分的新規(guī)定設(shè)置了一份試卷（滿(mǎn)分100分），發(fā)放給新手解答，從中隨機(jī)抽取了12名新手的成績(jī)，成績(jī)以莖葉圖表示如圖所示，并規(guī)定成績(jī)低于95分的為不合格，需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，成績(jī)不低于95分的為合格.（1）求這12名新手的平均成績(jī)與方差；（2）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，若從該市新手中任選4名參加座談會(huì)，用X表示成績(jī)合格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）平均數(shù)92分，方差（2）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為3【解析】【分析】（1）先讀出12個(gè)數(shù)據(jù)，直接套公式求平均值和方差；（2）X服從二項(xiàng)分布，直接求出分布列及數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】這12名新手的成績(jī)分別為68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，則平均成績(jī)?yōu)?/span>，其方差為.【小問(wèn)2詳解】抽取的12名新手中，成績(jī)低于95分的有3個(gè)，成績(jī)不低于95分的有9個(gè)，故抽取的12名新手中合格的頻率為，故從該市新手中任選1名合格的概率為.X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，.所以X的分布列為X01234P.19. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD為等腰梯形，，，，為等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取PC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，證明四邊形ABFE為平行四邊形即可得出；（2）取AB中點(diǎn)O，以O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABE和平面CBE的一個(gè)法向量，利用向量關(guān)系可求出.【小問(wèn)1詳解】如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵，，∴，，∵，，∴，且.∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴.∵平面PBC，平面PBC，故平面PBC.【小問(wèn)2詳解】取AB中點(diǎn)O，CD中點(diǎn)M，以O為原點(diǎn)，OM為x軸，AB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，則，，，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為，平面CBE的一個(gè)法向量為，則，令，則，，，則，設(shè)與的夾角為，則，由二面角為鈍角，則余弦值為.20. 已知：函數(shù)（）．（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)在區(qū)間上滿(mǎn)足，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）遞減區(qū)間為，；遞增區(qū)間為；（3）.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得切線(xiàn)斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程并整理；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，注意在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間；（3）利用（2）的單調(diào)性，分類(lèi)討論在上的最小值，由最小值可得結(jié)論．【詳解】解：（1）若，則，，所以，即切線(xiàn)的斜率等于—2；又，切點(diǎn)為；所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即；（2）的定義域?yàn)?/span>，（），當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以的遞減區(qū)間為，；遞增區(qū)間為；（3）①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，因此；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，解得，因此； ③當(dāng)時(shí)，定義域是，但在要有定義，故排除；④當(dāng)，在上單調(diào)遞減，，與矛盾，因此無(wú)解；綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，研究不等式恒成立問(wèn)題．在解決不等式恒成立求參數(shù)范圍時(shí)，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由最值滿(mǎn)足的不等關(guān)系得參數(shù)范圍，由于含有參數(shù)，因此常常需要分類(lèi)討論得函數(shù)單調(diào)性，得最值．21. 已知橢圓：的離心率與等軸雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線(xiàn)：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)的斜率分別為，，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率為和直線(xiàn)和圓相切得到，，得到橢圓方程。（2）考慮直線(xiàn)斜率不存在和存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到代入直線(xiàn)得到定點(diǎn)。【小問(wèn)1詳解】等軸雙曲線(xiàn)離心率為，故橢圓的離心率．，故．由與圓相切，即，得，．橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】①若直線(xiàn)的斜率不存在，設(shè)方程為，則點(diǎn)，．由已知，得．此時(shí)方程為．②若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)方程為，依題意．設(shè)，，由得．則，．由已知，可得，，即，將，代入得，．故直線(xiàn)的方程為，即．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．綜上，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．22. 已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn).（1）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，及曲線(xiàn)的普通方程；（2）若點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；；（2）2.【解析】【分析】（1）將代入可得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)可得曲線(xiàn)的普通方程；（2）得出直線(xiàn)的參數(shù)方程為代入曲線(xiàn)，利用韋達(dá)定理可求.【詳解】（1）由，得，將代入，所以直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，由，消去參數(shù)得，所以曲線(xiàn)的普通方程為.（2）顯然點(diǎn)在直線(xiàn)：上，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線(xiàn)可得，即，設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)參數(shù)方程的幾何意義，解題的關(guān)鍵是得出直線(xiàn)參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)，利用直線(xiàn)參數(shù)的幾何意義求解.23. 已知函數(shù).（1）解不等式;（2）若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式即可；（2）依題意可得即，利用絕對(duì)值三角不等式可得，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：(1)①當(dāng)時(shí)，，所以②當(dāng)時(shí)，，所以③當(dāng)時(shí)，，所以綜上，不等式的解集為(2)原式即由絕對(duì)值三角不等式，，即，即【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的能成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．

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