北京四中2022-~2023學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷高三數(shù)學(xué)（試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）A.  B. 1 C.  D. 53. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 數(shù)列滿足（，），，其前n項和為，若，則（    ）A. 47 B. 46 C. 45 D. 445. 若點在角的終邊上，則（    ）A.  B.  C.  D. 6. 在中，若，，，則角的大小為（    ）A.  B.  C.  D. 或7. 如果是公比為q的等比數(shù)列，為其前n項和，那么“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件8. 函數(shù)，則函數(shù)零點個數(shù)為（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 聲音的等級（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足. 噴氣式飛機(jī)起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度的（    ）A. 105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍10. 已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11. 函數(shù)的定義域是______.12. 計算：______.13. 已知等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的公比______；______.14. 若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是______.15. 已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個零點，則下列結(jié)論中正確的是______.①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②在區(qū)間上有且僅有3個極大值點；③在區(qū)間上有且僅有2個極小值點；④取值范圍是.三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16. 已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間，上最大值和最小值.17. 在△ABC中，c＝2，C＝30°．再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）△ABC的面積．條件①：；條件②：A＝45°；條件③：．18. 某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中使用了一種新材料.該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值是這種新材料的含量x（單位：克）的函數(shù)，且性能指標(biāo)值越大，該產(chǎn)品的性能越好.當(dāng)時，y和x的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均為常數(shù).當(dāng)時，，其中m為常數(shù).研究過程中部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（單位：克）02610……y88…… （1）指出模型①②③中最能反映y和x（）關(guān)系的一個，并說明理由；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）求該新合金材料的含量x為多少時，產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳.19. 已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上最小值；（3）求證：“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.20. 已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在兩個極小值點，，求證：.21. 已知正整數(shù)，集合.對于中元素，，定義，令.（1）直接寫出的兩個元素及的元素個數(shù)；（2）已知，，…，，滿足對任意，都有，求m的最大值；（3）證明：對任意，，…，，總存在，使得.

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