長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高三年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求出，，從而求出交集.【詳解】，，解得：，所以，故.故選：A2. 等比數(shù)列4，x，9，…，則實(shí)數(shù)x的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義列方程求即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列4，x，9，…為等比數(shù)列，所以數(shù)列4，x，9為等比數(shù)列，所以，所以，C正確，故選：C.3. 在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】求出，從而得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故位于第三象限.【詳解】，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C4. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的單減區(qū)間為，即，列出不等關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故函數(shù)的單減區(qū)間為，即，故，解得：，則a的取值范圍是.故選：D5. 的展開式中，的系數(shù)等于（    ）A.  B.  C. 10 D. 45【答案】B【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)式的展開式，確定，從而確定的系數(shù)等于-10.【詳解】的展開式為，令，解得：，故，所以的系數(shù)等于-10.故選：B6. 在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會(huì)開幕正逢立春，開幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取4個(gè)介紹給外國(guó)的朋友，則這4個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出從24個(gè)節(jié)氣中選擇4個(gè)節(jié)氣的情況，和四個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的情況，利用古典概型求概率公式進(jìn)行求解.【詳解】從24個(gè)節(jié)氣中選擇4個(gè)節(jié)氣，共有種情況，這四個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的情況有種情況，故這4個(gè)節(jié)氣中含有“立春”的概率為.故選：B7. 已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，記M到l的距離為d，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 的最小值為 B. 的最小值為C. 的最小值為 D. 的最小值為【答案】D【解析】【分析】作圖，根據(jù)條件結(jié)合垂線段的幾何性質(zhì)確定的最小值.【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，由垂線段的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，又直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，D正確，故選：D.8. 如圖，函數(shù)圖象與x軸交于，與y軸交于P，其最高點(diǎn)為.若，則A的值等于（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出周期，再根據(jù)求，最后求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而由長(zhǎng)度列方程求解即可.【詳解】由圖可知：，得，所以，將代入方程得：，，又，,，，所以，，所以解得：或（舍）.故選：B9. 已知矩形中，，，將沿折起至，當(dāng)與所成角最大時(shí)，三棱錐的體積等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)垂直時(shí)異面直線所成角最大，再結(jié)合等體積法可求解.【詳解】如圖,當(dāng)時(shí), 與所成角最大為,因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形,所以,且,,平面,平面,所以平面,因?yàn)?/span>平面,所以,在中， 又因?yàn)?/span> 所以 即,所以.故選:C.10. 已知拋物線C的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線m與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在l上的投影為D.若，則（    ）A  B. 2 C.  D. 3【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，分析出點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，作，垂足為點(diǎn)，，所以，四邊形為矩形，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，故，由拋物線的定義可得，，所以，，即.故選：A.11. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，．若與的圖象交于點(diǎn)、、、，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分析可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，作出圖形，結(jié)合對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，且，故點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，作出函數(shù)的圖象如下圖所示： 且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.且直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖可知，直線與曲線有個(gè)不同的公共點(diǎn)，故，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于分析函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，利用圖象并結(jié)合對(duì)稱性來(lái)處理.12. 已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，從而作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】令，原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)..令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，從而，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增.所以，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，易知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選：D  二?填空題：本題共4小題，每小題5分.13. 已知，為單位向量，，則___________.【答案】【解析】【分析】由可得，即可求出，再代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，為單位向量，，所以，所以.則故答案為：.14. 曲線在處的切線方程為___________.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得到，再利用切線方程公式計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，.故切線方程為：，即.故答案為：.15. 已知等比數(shù)列的公比，，，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及，求得與的值，從而可得.【詳解】解：由得由等比數(shù)列得，所以，即解得或，則或，由，可得，即所以.故答案為：.16. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，，為C的左?右頂點(diǎn)，C的離心率等于2，P為C左支上一點(diǎn)，若平分，直線與的斜率分別為，，且，則等于___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合直線與的斜率分別為，的斜率關(guān)系，角平分線定理以及雙曲線的定義，可得，又由離心率得，又在焦點(diǎn)三角形中用余弦定理得直線傾斜角的余弦值，從而可得直線的斜率的值.【詳解】解：由題意得下圖：則，，，，雙曲線的離心率，所以，則又直線與的斜率分別為，，且，且在第二象限所以，則，因?yàn)?/span>平分，由角平分線定理得：，結(jié)合，即可得，所以又在雙曲線中有，所以則在中，由題意，可得為銳角，所以則.故答案為：.三?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17. 已知等差數(shù)列滿足首項(xiàng)為的值，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解首項(xiàng)，在根據(jù)已知式子求公差，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解前前n項(xiàng)和即可.【小問(wèn)1詳解】解：數(shù)列滿足首項(xiàng)為設(shè)公差為，則，可得，解得所以；【小問(wèn)2詳解】解：所以.18. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知.（1）求A；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)已知式子，結(jié)合正弦定理以及三角形的角度關(guān)系，即可求得角的大?。?/span>（2）又正弦定理可得，再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的正弦型函數(shù)，根據(jù)角的范圍從而可確定的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：由，得：由正弦定理得：又，所以，即，則；【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得：所以又，則，所以故的取值范圍為.19. 北京冬奧會(huì)某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)?禮儀及服務(wù)等方面知識(shí)的測(cè)試，測(cè)試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測(cè)試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2道題者視為合格，若甲能答對(duì)其中的5道題，求：（1）甲測(cè)試合格的概率；（2）甲答對(duì)的試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）    （2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）利用古典概型求概率的公式求概率即可；（2）利用古典概型求概率公式求概率，然后寫分布列，最后求期望即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲測(cè)試合格為事件，則.【小問(wèn)2詳解】甲答對(duì)的試題數(shù)可以為0，1，2，3，，，，，所以分布列為：0123.20. 如圖，在長(zhǎng)方體中，E，F分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）先證明平面OEF平面，再由面面平行的性質(zhì)證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面夾角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】長(zhǎng)方體中，如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O是AC， BD的中點(diǎn)，連接OE, OF.又因?yàn)?/span>F為AC的中點(diǎn)，所以OF.因?yàn)?/span>平面, 平面,所以OF 平面.又E是BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面，平面,所以OE 平面.因?yàn)?/span>OF∩OE=O，平面，平面,所以平面OEF 平面.因?yàn)?/span>平面OEF，平面,所以EF/平面.【小問(wèn)2詳解】連接，，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，，所以，，，所以，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得，即，令，則，，所以，設(shè)平面與平面所成角為，所以.平面與平面所成角的余弦值為.21. 已知橢圓：()的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線與軸相交于定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，、，則，聯(lián)立，根據(jù)，求得的范圍，利用韋達(dá)定理求得，，求得直線的方程，令，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意可知，，，則解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線一定存在斜率，設(shè)斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并化簡(jiǎn)得：，∵，∴，設(shè)、，則，，，∴直線的斜率，則直線的方程為，當(dāng)直線與軸相交時(shí)， 則，∴直線與軸相交于定點(diǎn).22. 已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若在有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.    （2）見解析【解析】【分析】（1）由題意，求導(dǎo)，根據(jù)含參二次函數(shù)的性質(zhì)，由判別式進(jìn)行分類討論，可得答案；（2）由題意，根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)不等式以及明確參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究新函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，求導(dǎo)得，易知恒成立，故看的正負(fù)，即由判別式進(jìn)行判斷，①當(dāng)時(shí)，即，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，即或，令時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)或，，則在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】在上由兩個(gè)極值點(diǎn)，或，且為方程的兩個(gè)根，即，，，，即，將，代入上式，可得：，由題意，需證，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，即，故.

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這是一份吉林省長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題，共2頁(yè)。

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