長春外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級數(shù)學(xué)試卷(理)第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：的焦點坐標(biāo)為，故選D.【考點】拋物線的性質(zhì)【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握． 2. 直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為A. 相切B. 相交但直線不過圓心C. 直線過圓心D. 相離【答案】B【解析】【詳解】試題分析：求出圓心到直線的距離d，與圓的半徑r比較大小即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系，同時判斷圓心是否在直線上，即可得到正確答案．解：由圓方程得到圓心坐標(biāo)（0，0），半徑r=1則圓心（0，0）到直線y=x+1的距離d==＜r=1，把（0，0）代入直線方程左右兩邊不相等，得到直線不過圓心．所以直線與圓的位置關(guān)系是相交但直線不過圓心．故選B考點：直線與圓的位置關(guān)系． 3. 設(shè)橢圓長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，則過焦點且垂直于長軸的弦長是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，由此可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓焦點在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將或代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，，解得，因此，過焦點且垂直于長軸的弦長是.故選：D.4. 將圓x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直線是A. x+y-1=0 B. x+y+3=0 C. x-y+1=0 D. x-y+3=0【答案】C【解析】【詳解】直線過圓心(1,2)，選項C符合題意． 5. 若，滿足，則的最大值為A. 0 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由圖可得在處取得最大值，由最大值，故選C.考點：線性規(guī)劃.【方法點晴】本題考查線性規(guī)劃問題，靈活性較強，屬于較難題型.考生應(yīng)注總結(jié)解決線性規(guī)劃問題的一般步驟（1）在直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為；（3）作平行線：將直線平移，使直線與可行域有交點，且觀察在可行域中使最大（或最?。r所經(jīng)過的點，求出該點的坐標(biāo)；（4）求出最優(yōu)解：將（3）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出的最大（?。┲?/span>.6. 已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【詳解】，故，即，故漸近線方程為.【考點】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力. 7. 已知橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)出這條弦與橢圓的交點，將點代入橢圓方程，兩式作差求出直線的斜率，再利用點斜式即可求解.【詳解】設(shè)這條弦與橢圓交于，，由在橢圓內(nèi)，由中點坐標(biāo)公式知，，把，代入，可得 ，①②可得，，這條弦所在的直線方程為，即為.則所求直線方程為.故選：A8. 兩個圓與圓的公切線有且僅有（    ）A. 條 B. 條 C. 條 D. 條【答案】B【解析】【分析】利用幾何法判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可得出兩圓的公切線條數(shù).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，兩圓心分別為、，半徑分別為，，，兩圓相交，因此，兩圓有條公切線，故選：B.【點睛】本題考查兩圓公切線條數(shù)的判斷，本質(zhì)上還是要判斷兩圓的位置關(guān)系，同時也考查熟悉兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置之間的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（    ）A.  B. ， C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求得點坐標(biāo)，設(shè)過點的直線方程與拋物線方程聯(lián)立消去，根據(jù)判別式大于等于0求得的范圍.【詳解】，，為準(zhǔn)線與軸的交點），設(shè)過點的直線方程為.與拋物線有公共點，方程組有解，即有解.△，即.，故選：C.10. 已知，為橢圓的兩個焦點 ，是橢圓上任意一點，若，則的面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用橢圓焦點三角形面積公式，即可求解.【詳解】由題意知：，為橢圓的兩個焦點 ，是橢圓上任意一點，所以是焦點三角形，且，，所以，故選：B11. 過拋物線焦點F的直線，與拋物線交于A、B兩點，設(shè)，，則 （    ）A. -4 B. 4 C. 4 D. -4【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出【詳解】解：設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去化為，所以，所以，所以，故選：A【點睛】結(jié)論點睛：此題考查拋物線的焦點弦問題，焦點弦有如下常用的結(jié)論設(shè)是過拋物線的焦點的弦，若，則（1）；（2）弦長（是直線的傾斜角）；（3）12. （2016新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知F1，F2是雙曲線E：的左，右焦點，點M在E上，M F1與軸垂直，sin ,則E的離心率為A.  B. C.  D. 2【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由已知可得，故選A.考點：1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率.【方法點晴】本題考查雙曲線及其方程、雙曲線離心率.，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型. 由已知可得，利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計算量，提高解題速度. 第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13. 已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為__________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，則，故圓C的方程為【考點】直線與圓位置關(guān)系【名師點睛】求圓的方程有兩種方法：（1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F的方程組求解．（2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 14. 已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.【答案】【解析】【詳解】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是. 15. 已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，若|AB|＝，則m＝________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意圓心到直線的距離為，再利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，圓心為，，若|AB|＝，則圓心到直線的距離為，即，解得.故答案為：.16. 已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，到直線的距離為d2，求d1＋d2的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形：根據(jù)拋物線的定義將問題轉(zhuǎn)化為焦點到直線的距離減去，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形：拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，，準(zhǔn)線為，在拋物線上有一動點P到y軸的距離為d1，到直線的距離為d2，根據(jù)拋物線的定義可知：  d1＋d2的最小值為焦點到直線的距離減去，最小值為.故答案為：三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要證明過程或演算步驟17. 已知拋物線y2＝2px經(jīng)過點M(4，－4)，雙曲線右焦點恰為拋物線的焦點，且雙曲線的離心率為2，求拋物線與雙曲線的方程.【答案】 ，【解析】【分析】利用拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)直接求解即可【詳解】由拋物線y2＝2px經(jīng)過點M(4，－4)得，，解得，所以拋物線焦點為，又因為雙曲線的右焦點恰為拋物線的焦點，故，又由雙曲線的離心率為2，可得，，所以拋物線方程為：，雙曲線方程為：故答案為：和18. 已知橢圓的一個頂點為，離心率為，過點及左焦點的直線交橢圓于兩點，右焦點設(shè)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點及離心率直接求解即可；（2）寫出直線的方程，利用弦長公式可求得，并可計算點到直線的距離，故.【小問1詳解】解：橢圓的一個頂點為，，又離心率為，，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：，直線的方程為，由，消去，得，所以直線與橢圓有兩個公共點，設(shè)為，則，，又點到直線的距離，故【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19. 已知圓上上任取一點，過點作軸的垂線段，垂足為，當(dāng)在圓上運動時，線段中點為.（1）求點的軌跡方程；（2）若直線l的方程為y＝x－1，與點的軌跡交于，兩點，求弦的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)、，利用相關(guān)點法即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，點線段中點，，又在圓上，，即點的軌跡方程為.（2）聯(lián)立，消去可得，，，設(shè)，，則，， .【點睛】方法點睛：本題考查了軌跡問題、求弦長，求軌跡的常用方法如下：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義求解.（2）相關(guān)點法：由已知點的軌跡進行求解.（3）直接法：根據(jù)題意，列出方程即可求解.20. 已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.（1）若直線的傾斜角為，求線段的長；（2）若，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點、，求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出的值，再利用拋物線的焦點弦長公式可求得線段的長；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，可得出，由求得的值，利用韋達定理以及拋物線的方程求得的值，利用拋物線的定義可求得的長.【詳解】（1）設(shè)點、，拋物線的焦點為，由于直線過點，且該直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達定理可得，由拋物線的焦點弦長公式可得；（2）設(shè)點、，由題意可知，直線不可能與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達定理可得，，，可得，，，則，，因此，.【點睛】有關(guān)直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．21. 已知點在圓上.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）設(shè)，則，可視為直線在軸上的截距，利用線性規(guī)劃知識即可求解；（2）可視為點與原點連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得與圓相切時可取最值，設(shè)出過原點的切線，利用圓心到切線的距離等于半徑即可得的范圍，也即是的范圍；（3）表示圓上的點 到定點的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心到定點的距離與半徑的和或差，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，可視為直線在軸上的截距，∴的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，∴的最大值為，最小值為.（2）可視為點與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.設(shè)過原點的直線的方程為，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或.∴的最大值為，最小值為（3）求它的最值可視為求點 到定點的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心到定點的距離與半徑的和或差.又圓心到定點的距離為，∴的最大值為，最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對代數(shù)式最大值、最小值的研究，常用數(shù)形結(jié)合的思想方法；將要研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，關(guān)鍵是如何發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的特點，利用幾何意義對其進行轉(zhuǎn)化.22. 已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別是的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點和，且(其中為原點)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出橢圓的焦點和頂點，即得雙曲線的頂點和焦點，從而易求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得的取值范圍，設(shè)，由韋達定理得則代入可求得的范圍．【詳解】(1)設(shè)雙曲線的方程為，則，再由，得故的方程為 (2)將代入，得由直線與雙曲線交于不同的兩點，得①設(shè)則又，得，，即，解得②由①②得＜k2＜1，故的取值范圍【點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線相交中的范圍問題．應(yīng)注意：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系．(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．

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