5．3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2　函數(shù)的極值與最大(小)值第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值
?1．能利用導(dǎo)數(shù)求給定閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值．2．體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系．
?1．借助函數(shù)圖象，直觀地理解函數(shù)的最大值和最小值的概念．(直觀想象)2．弄清函數(shù)最大值、最小值與極大值、極小值的區(qū)別與聯(lián)系．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)3．會(huì)用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．(邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
1．基于極值概念的再認(rèn)識(shí)結(jié)合函數(shù)極值的定義，我們有如下結(jié)論：一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，并且函數(shù)的最值必在___________________處取得．
想一想：上述結(jié)論還有怎樣的內(nèi)涵？提示：(1)給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，f(x)在開(kāi)區(qū)間上雖然連續(xù)但不能保證有最大值和最小值．常見(jiàn)的有以下幾種情況：如圖(1)中的函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上有最大值而無(wú)最小值；如圖(2)中的函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上有最小值而無(wú)最大值；如圖(3)中的函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上既無(wú)最大值又無(wú)最小值；如圖(4)中的函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
練一練：如圖所示，函數(shù)f(x)導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線，則( 　　)A．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值B．函數(shù)f(x)有最大值，沒(méi)有最小值C．函數(shù)f(x)沒(méi)有最大值，有最小值D．函數(shù)f(x)有最大值也有最小值[解析]　由函數(shù)圖象可知，函數(shù)只有一個(gè)極小值點(diǎn)x＝1，且函數(shù)在此處取得最小值，沒(méi)有最大值．
2．求函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的_______；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中_____________是最大值，_____________是最小值．
想一想：函數(shù)的極值與最值有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間[a，b]而言．(2)在函數(shù)的定義區(qū)間[a，b]內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒(méi)有)，但最大(小)值只有一個(gè)．(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)．(4)對(duì)于在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．
練一練：已知函數(shù)f(x)＝x3－3x－1，若在區(qū)間[－3,2]上，f(x)的最大值為M，最小值為N，則M－N＝( 　　)A．20 B．18C．3 D．0[解析]　由f(x)＝x3－3x－1得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x＝±1，所以x＝1，x＝－1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．因?yàn)閒(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區(qū)間[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20.
(1)(2023·臨沂高二檢測(cè))y＝x3＋x2－x＋1在區(qū)間[－2,1]上的最小值為( 　　)
[規(guī)律方法]　求函數(shù)最值的四個(gè)步驟：第一步求函數(shù)的定義域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出關(guān)于x，f(x)，f ′(x)的變化表；第四步求極值、端點(diǎn)值，確定最值．特別警示：不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較．
(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋6在區(qū)間[－4,4]上的最大值為( 　　)A．11　　 B．－70C．－14　　 D．21(2)(2023·白山高二檢測(cè))函數(shù)y＝xln x的最小值為( 　　)
[解析]　(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋6的導(dǎo)數(shù)為f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；所以函數(shù)y＝x3－3x2－9x＋6在區(qū)間[－4,4]上的最大值為11.
已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a)．(1)若f ′(1)＝3，求a的值及曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值．[解析]　(1)f ′(x)＝3x2－2ax.因?yàn)閒 ′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又當(dāng)a＝0時(shí)，f(1)＝1，f ′(1)＝3.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為3x－y－2＝0.
[規(guī)律方法]　1.由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，故含參數(shù)時(shí)，需注意是否分類討論．2．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過(guò)比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決．
已知函數(shù)f(x)＝2ex(x＋1)．(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t)．[解析]　(1)f ′(x)＝2ex(x＋2)，由f ′(x)>0，得x>－2；由f ′(x)

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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