(一)教材梳理填空1．函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是 的曲線，那么它必有最大值和最小值．[微提醒](1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最值，開區(qū)間內的連續(xù)函數不一定有最值．若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值．(2)函數的最大值和最小值是一個整體性概念．(3)函數y＝f(x)在[a，b]上連續(xù)，是函數y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要條件．
2．求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟(1)求函數y＝f(x)在區(qū)間 上的極值；(2)將函數y＝f(x)的 與端點處的函數值 比較，其中 的一個是最大值， 的一個是最小值．
[微提醒]　函數極值與最值的關系(1)函數的極值是函數在某一點附近的局部概念，函數的最大值和最小值是一個整體性概念．(2)函數的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數值得出的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的，函數的極值可以有多個，但最值只能有一個．(3)極值只能在區(qū)間內取得，最值則可以在端點處取得．有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極值．
(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)函數的最大值一定是函數的極大值．(　　)(2)開區(qū)間上的單調連續(xù)函數無最值．(　　)(3)函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得．(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．若函數f(x)＝－x4＋2x2＋3，則f(x)(　　)A．最大值為4，最小值為－4B．最大值為4，無最小值C．最小值為－4，無最大值D．既無最大值，也無最小值答案：B
3．函數f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值為________．答案：14．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在區(qū)間[－2，－1]上的最大值就是函數f(x)的極大值，則m的取值范圍是________．答案：(－4，－2)
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：∴當x＝0時，f(x)取最小值0；當x＝2π時，f(x)取最大值π.
求解函數在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎上，還需注意以下幾點：(1)對函數進行準確求導；(2)研究函數的單調性，正確確定極值和區(qū)間端點的函數值；(3)比較極值與區(qū)間端點函數值的大?。　?br/>2．[含參的函數最值問題]已知a∈R，函數f(x)＝x2(x－a)．求函數y＝f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值．
題型二　由函數的最值確定參數的值 [學透用活][典例2]　已知函數f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．[解]　由題設知a≠0，否則f(x)＝b為常函數，與題設矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)當a>0，且x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
由表可知，當x＝0時，f(x)取得極大值，也就是函數在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3g(x)＋k恒成立，則需滿足什么條件？提示：kg(x2)恒成立，則需滿足什么條件？提示：f(x)min>g(x)max.4．若存在不等式a>f(x)成立，則需滿足什么條件？提示：a>f(x)min.　　
[學透用活][典例3]　設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，∴當x＝－t時，f(x)取得最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)＋2t＝－t3＋3t－1.則g′(t)＝－3t2＋3＝－3(t－1)(t＋1)．
令g′(t)＝0，得t1＝1，t2＝－1(舍去)．當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如表所示：由表可知，g(t)在(0,2)內有最大值1.∵h(t)g(t)在(0,2)內恒成立．∴m>1.即實數m的取值范圍是(1，＋∞)．
恒成立問題向最值轉化的方法(1)要使不等式f(x)f(x)max，則上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)>h在區(qū)間[m，n]上恒成立，可先在區(qū)間[m，n]上求出函數f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，則不等式f(x)>h恒成立．　　
二、應用性——強調學以致用2.如圖，已知一罐圓柱形紅牛飲料的容積為250 mL，求它的底面半徑等于多少時(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最?。?

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5.3 導數在研究函數中的應用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第二冊

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