?5.3.2　函數(shù)的極值與最大(小)值
第1課時(shí)　函數(shù)的極值
(教師獨(dú)具內(nèi)容)
課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，并把形成的解題方法應(yīng)用于其他函數(shù)問題中.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)極值時(shí)的一般性和有效性．
教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．
教學(xué)難點(diǎn)：極值的判斷和與極值有關(guān)的參數(shù)問題.




知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)極大值、極小值的定義
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)0.類似地，函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)0，右側(cè)f′(x)f(x1)．

(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有極值，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)．一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的．
2．極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)的辨析
(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即“點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”是“f′(x0)＝0”的充分不必要條件．
(2)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f′(x)的符號(hào)不同．
(3)如果在x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)相同，則x0不是f(x)的極值點(diǎn)．

1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)y＝f(x)在給定區(qū)間上不一定有極值，極大值不一定比極小值大．(　　)
(2)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2個(gè)極值．(　　)
(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合．(　　)
(4)函數(shù)f(x)＝有極值．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)
(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.

(2)函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1有極值的充要條件是________.
(3)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，則f(x)的極小值是________.
(4)y＝2x＋的極小值為________，極大值為________.
(5)函數(shù)y＝(x>0)的極小值為________.
答案　(1)2　(2)a或x0；
當(dāng)－0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．

一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題時(shí)，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，分類討論時(shí)做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏．
[跟蹤訓(xùn)練4]　設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．
解　(1)f′(x)＝3x2－3a，
因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，
所以即解得
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
當(dāng)a0恒成立，即函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
f(－)
↘
f()
↗
因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)，此時(shí)x＝－是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．



1．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為(　　)
A．1，－3 B．1,3
C．－1,3 D．－1，－3
答案　A
解析　∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.?、?br /> 又當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－2，∴a＋b＝－2.　②
聯(lián)立①②解得經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意，故a，b的值分別為1，－3.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則(　　)
A．x＝為f(x)的極大值點(diǎn)
B．x＝為f(x)的極小值點(diǎn)
C．x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)
D．x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)
答案　D
解析　∵f(x)＝＋ln x，x>0，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2.當(dāng)00，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)0恒成立，所以0?xex>，
所以當(dāng)x>0時(shí)，不等式f(x)>g(x)成立．
B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練
1．已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)，其中a∈R.當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．
解　∵f(x)＝，
∴f′(x)＝.
由于a≠0，以下分兩種情況討論：
①當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x

－

a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
∴f(x)在區(qū)間，(a，＋∞)上為減函數(shù)，
在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)f(x)在x1＝－處取得極小值f，且f＝－a2，
函數(shù)f(x)在x＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1.
②當(dāng)a0時(shí)，由g′(x)＝ex－2a＝0，得x＝ln (2a)．
當(dāng)x0，f′(x)在(ln (2a)，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)由于f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，即f′(x)＝0在x∈R上有兩解x1，x2，f′(x)＝0即ex－2a(x＋1)＝0，顯然x≠－1，故等價(jià)于＝2a有兩解x1，x2.
設(shè)h(x)＝，則h′(x)＝，
當(dāng)x

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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