第五章　一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末整合提升知識(shí)體系構(gòu)建核心知識(shí)歸納1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明確“過點(diǎn)P(x0，y0)的曲線y＝f (x)的切線方程”與“在點(diǎn)P(x0，y0)處的曲線y＝f (x)的切線方程”的異同點(diǎn)．2．圍繞著切點(diǎn)有三個(gè)等量關(guān)系：切點(diǎn)(x0，y0)，則k＝f ′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到．3．利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時(shí)，要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)求解．求解參數(shù)范圍的步驟為：(1)對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f ′(x)；(2)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則f ′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍；(3)驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常函數(shù)，舍去此參數(shù)值．4．求連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f (x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或遞減，則f (a)與f (b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值；(2)若函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出[a，b]上的極值，再與f (a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．5．已知函數(shù)的極值(最值)情況求參數(shù)的值(取值范圍)的方法根據(jù)極值和最值的關(guān)系，與最值有關(guān)的問題一般可以轉(zhuǎn)化為極值問題．已知f (x)在某點(diǎn)x0處有極值，求參數(shù)的值(取值范圍)時(shí)，應(yīng)逆向考慮，可先將參數(shù)當(dāng)作常數(shù)，按照求極值的一般方法求解，再依據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列等式(不等式)求解．6．解決優(yōu)化問題的步驟(1)要分析問題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域．(2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具．(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實(shí)際意義．要點(diǎn)專項(xiàng)突破y＝3x－2C (2023·山東威海高三檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值．[解析]　(1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝3＋2a＋b，過曲線上P點(diǎn)的切線方程為y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知該切線方程為y＝3x＋1， 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋aln(1＋x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x10)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048))，則銀行獲得最大收益的存款利率為( 　　)A．3.2% B．2.4%C．4% D．3.6%A[解析]　依題意知，存款量是kx2，銀行應(yīng)支付的利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的利息是0.048kx2，所以銀行的收益y＝0.048kx2－kx3，所以y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.032或x＝0 (舍去)．因?yàn)閗>0，所以當(dāng)0

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