①如果在x0附近的左側(cè) f '(x)>0, 右側(cè)f '(x)0, 那么, f(x0)是極小值.
2.在可導(dǎo)函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,而不是充分條件.極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)取到.
3.在某些問題中,往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大,哪個(gè)值最小,而不是極值.
1.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:
觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，你能找出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值、最小值嗎？
發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值， 是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。
思考：如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(a)是最大值呢？
f(x1)、f(x3)、f(x5)
f(x2)、f(x4)、f(x6)
函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f (x)的圖象是一條 的曲線，那么它必有最大值與最小值．
探究：觀察[a,b]上的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，它們?cè)赱a,b]上有最大值、最小值嗎？ 如果有，最大值和最小值分別是什么？
最大值：f(b);最小值：f(a)
最大值：f(x3);最小值：f(x4)
函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大（?。┲凳潜容^整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值．
例1:求函數(shù)y=x4－2x2+5在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值.
從上表可知,最大值是13,最小值是4.
1、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；
2．求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟(1)求函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a，b)上的____；(2)將函數(shù)y＝f (x)的______與____處的函數(shù)值f (a)，f (b)比較，其中最大的一個(gè)是______，最小的一個(gè)是______．
求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):
(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)局部概 念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)整體性的概念.
(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.
(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 但取最值的自變量不一定有一個(gè)，而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點(diǎn)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值(或最小值),則一定是極大值(或極小值).
(4)如果函數(shù)不在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo),則在確定函數(shù)的最值時(shí),不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端點(diǎn)處的值,還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn)處的值.
(5)在解決實(shí)際應(yīng)用問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)(這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù)),那么要根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.
求下列函數(shù)在所給的區(qū)間上的最大值與最小值。
（1）y=x-x3 x∈[0,2]
（2）y=x3+x2 -x x∈[-2,1]
【解題回顧】在求函數(shù)f(x)在[a,b]最值過(guò)程中，判斷極值比較麻煩，可改求可導(dǎo)函數(shù)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)函數(shù)值，再把這些值與函數(shù)在端點(diǎn)的值比較即可。
一般地，求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：
(5).將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b) 比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.
我們知道，如果在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值；那么把閉區(qū)間[a,b]換成開區(qū)間（a,b）是否一定有最值呢？
函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。
有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有無(wú)最值情況不定。
例2. a為常數(shù),求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.
解:f'(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0,則f'(x)≤0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=0時(shí),有最大值f(0)=0.
反思感悟求解函數(shù)在區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f'(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.注意由于參數(shù)的取值范圍不同會(huì)導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化,從而導(dǎo)致最值的變化,所以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論,并結(jié)合不等式的知識(shí)進(jìn)行求解.(3)分類討論后比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值.
練習(xí)：已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.
例3設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)0),∴當(dāng)x=-t時(shí),f(x)取最小值,即f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合題意,舍去).當(dāng)t變化時(shí),g'(t),g(t)的變化情況如下表:
∴g(t)在(0,2)內(nèi)有極大值g(1)=1-m.h(t)

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