5．3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5．3.3　利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的問題
?1．借助教材實(shí)例進(jìn)一步掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象、零點(diǎn)等問題中的應(yīng)用．2．能利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際問題．3．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、解決簡單的實(shí)際問題．
?1．通過分析實(shí)際問題，理解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能夠利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．通過導(dǎo)數(shù)證明不等式以及求參數(shù)或取值范圍等綜合問題．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能夠利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)．(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．通過實(shí)際例子，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
給定函數(shù)f(x)＝ex－x.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的值域；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在區(qū)間[－1,2]上的根的個(gè)數(shù)．
[解析]　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.當(dāng)x變化時(shí)，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表所示：
所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)的極小值f(0)＝1，也是最小值，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)．
[規(guī)律方法]　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，可利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷；另外，也可將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．
[規(guī)律方法]　構(gòu)造函數(shù)法證明不等式一般地，待證不等式的兩邊都含有同一個(gè)變量，可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來證明，其一般步驟如下：1．移項(xiàng)，使不等式的一邊為0，將另一邊構(gòu)造為“左減右”或“右減左”的函數(shù)．2．利用導(dǎo)函數(shù)研究所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性．3．借助構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性可證結(jié)論成立．
有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元與5a元．問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省．[分析]　適當(dāng)選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值．可確定點(diǎn)C的位置．
在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的意義，函數(shù)在x＝30(km)處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20 km.∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最?。?br/>[規(guī)律方法]　用導(dǎo)數(shù)解最值應(yīng)用題，一般應(yīng)分為五個(gè)步驟：①建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；②求y′；③令y′＝0，求出相應(yīng)的x0；④指出x＝x0處是最值點(diǎn)的理由；⑤對題目所問作出回答．求實(shí)際問題中的最值問題時(shí)，可以根據(jù)實(shí)際意義確定取得最值時(shí)變量的取值．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)試問：x為何值時(shí)，廣告位出租的總收入最大？并求出其最大值．
請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖1所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去白色部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E，F(xiàn)兩點(diǎn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x cm.
(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值．
[規(guī)律方法]　解決面積、體積的最值問題，要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．
在半徑為R的半圓內(nèi)，以直徑為一底邊作一個(gè)內(nèi)接等腰梯形，如何使其面積最大？最大面積是多少？[解析]　方法一：設(shè)上底長為2x，如圖所示：
利用參變分離時(shí)忽視自變量的取值范圍 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1，若對任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_____.
[誤區(qū)警示]　本題上述解法中有兩處錯(cuò)誤．(1)是在參數(shù)分離的過程中，要在不等式兩邊同時(shí)除以x3才能實(shí)現(xiàn)參數(shù)的分離，若x的取值范圍在正數(shù)區(qū)間上，可以避免討論；若x的取值范圍中包含零或負(fù)數(shù)，則需要進(jìn)行分類討論．(2)是換元后未求新元t的范圍，t的范圍不再是[－1,1]．
4．從邊長為10 cm×16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為_________cm3.
5．如圖所示，兩個(gè)工廠A，B相距0.6 km，變電站C距A，B都是0.5 km，計(jì)劃鋪設(shè)動(dòng)力線，先由C沿AB的中垂線至D，再與A，B相連，D點(diǎn)選在距AB______km處時(shí)，動(dòng)力線最短．

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5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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