專題10　含參函數(shù)的極值、最值討論 考點(diǎn)一　含參函數(shù)的極值【例題選講】[例1]　設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．(1)若曲線y＝f(x)在(2，f(2))處的切線與直線y＝－x＋1垂直，求切線方程．(2)求函數(shù)f(x)的極值．     [例2]　已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值；(2)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．     [例3]　設(shè)f(x)＝xlnx－ax2＋(3a－1)x．(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上單調(diào)，求a的取值范圍；(2)已知f(x)在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．    [例4]　(2016·山東)設(shè)f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R．(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x＝1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．    [例5]　已知函數(shù)f(x)＝ex＋1，其中e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，常數(shù)a>0．(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝f(x)，是否存在無(wú)數(shù)個(gè)a∈(1，4)，使得lna為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．     【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函數(shù)g(x)的極值．    2．設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex．(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．      3．已知函數(shù)f (x)＝x2－3x＋．(1)若a＝4，討論f (x)的單調(diào)性；(2)若f (x)有3個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．    4．已知函數(shù)f(x)＝ax－x2－ln x(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)存在極值，且這些極值的和大于5＋ln2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
5．(2018·全國(guó)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝(2＋x＋ax2)·ln(1＋x)－2x．(1)若a＝0，證明：當(dāng)－1<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0．(2)若x＝0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a．       考點(diǎn)二　含參函數(shù)的最值【例題選講】[例1]　已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1，2]上的最小值．     [例2]　已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x.(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)在上的最小值．    [例3]　已知函數(shù)f (x)＝－1．(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)設(shè)m>0，求函數(shù)f (x)在區(qū)間[m，2m]上的最大值．    [例4]　已知函數(shù)f(x)＝＋n，g(x)＝x2(m，n，a∈R)，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1.(1)求實(shí)數(shù)m，n的值及函數(shù)f(x)的最大值；(2)當(dāng)a∈時(shí)，記函數(shù)g(x)的最小值為b，求b的取值范圍．     [例5]　(2019·全國(guó)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0，1]的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說(shuō)明理由．      【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知函數(shù)g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．
2．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上的最小值．     3．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，F(x)＝ex＋ax，其中x>0，a<0．(1)若f(x)和F(x)在區(qū)間(0，ln 3)上具有相同的單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a∈，且函數(shù)g(x)＝xeax－1－2ax＋f(x)的最小值為M，求M的最小值．     4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值．     5．已知函數(shù)f (x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x，其中a∈R．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線方程；(2)當(dāng)a>0時(shí)，若f (x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．
考點(diǎn)三　含參函數(shù)的極值與最值的綜合問(wèn)題【例題選講】[例1]　已知函數(shù)f(x)＝，其中a為正實(shí)數(shù)，x＝是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求a的值；(2)當(dāng)b>時(shí)，求函數(shù)f(x)在[b，＋∞)上的最小值．     [例2]　已知函數(shù)f(x)＝aln (x＋b)－．(1)若a＝1，b＝0，求f(x)的最大值；(2)當(dāng)b>0時(shí)，討論f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．      [例3]　設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋e－x(a＞1)．(1)求證：f(x)有極值；(2)若x＝x0時(shí)f(x)取得極值，且對(duì)任意正整數(shù)a都有x0∈(m，n)，其中m，n∈Z，求n－m的最小值．    [例4]　已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a＞0)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．   [例5]　已知函數(shù)f (x)＝(ax－1)ln x＋．(1)若a＝2，求曲線y＝f (x)在點(diǎn)(1，f (1))處的切線l的方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f ′(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值．     [例6]　已知函數(shù)g(x)＝＋x＋lnx．(1)若函數(shù)g′(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)函數(shù)f(x)＝g(x)－mx，若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)x1，x2(x1＜x2)是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若m≥，求f(x1)－f(x2)的最小值．     【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．已知函數(shù)f(x)＝xlnx．(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．     2．已知函數(shù)f(x)＝(1)求f(x)在區(qū)間(－∞，1)上的極小值和極大值；(2)求f(x)在[－1，e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值．    3．已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2－ax(a∈R)．(1)若x＝3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)＝f(x)－2x在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．     4．已知常數(shù)a≠0，f(x)＝aln x＋2x．(1)當(dāng)a＝－4時(shí)，求f(x)的極值；(2)當(dāng)f(x)的最小值不小于－a時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
5．已知函數(shù)f(x)＝asin x＋sin2x，a∈R．(1)若f(x)在上有極值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若a＝1，x∈時(shí)，f(x)≥bxcosx，求b的最大值．    6．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－ax＋a(a∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在x＝x1和x＝x2處取得極值，且x2≥x1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，求f(x2)－f(x1)的最大值

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)電子課本

5.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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